1.31辗转相除法

（2）辗转相除法算法步骤
第一步：输入两个正整数a,b(a>b);
第二步：把a/b的余数赋给r;
第三步：如果r 0, 那么把b赋给a,把r赋给b,转 到第二步;否则转到第四步； 第四步：输出最大公约数b.
案例2 秦九韶算法
一、三维目标 （a）知识与技能 了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶 算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 （b）过程与方法 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙. （c）情感态度与价值观 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家 对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。 二、教学重难点 重点：1.秦九韶算法的特点; 难点: 2.秦九韶算法的先进性理解 .
〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 解：8251＝6105×1＋2146; 6105＝2146×2＋1813; 2146＝1813×1＋333; 1813＝333×5＋148; 333＝148×2＋37; 148＝37×4＋0. 则37为8251与6105的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相 除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在 公元前300年左右首先提出的。
1813=333×5+148 333=148×2+37
148=37×4+0
S1：用大数除以小数
显然37是148和37的最大公约数， S2：除数变成被除数，余数变成除数 也就是8251和6105的最大公约 S3：重复S1，直到余数为0 数
以上我们求最大公约数的 方法就是辗转相除法．也叫欧
几里德算法，它是由欧几里德
〖教学设计〗
[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值的算法,并写出程序.
程序
x=5 f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7
PRINT f
END
点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次 加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能 解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.
（c）情感态度与价值观 1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中 国古代数学对世界数学发展的贡献。 2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程 中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题 的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。 二、教学重难点 重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数 的方法。 难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程 序框图与程序语言。 三、学法 在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更 相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图 与算法语句设计出辗转相除法程序框图与算法程序。
（1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数
（ 1） 5
25
5
35
7
（ 2） 7
49
63
7
9
所以，25和35的最大公约数为5
所以，49和63的最大公约数为7
思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？
[问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求最大 公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察 又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们 的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数?
〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 分析：8251与6105两数都比较大，而且没 有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根 据已有的知识即可求出最大公约数. 解：8251＝6105×1＋2146 显然8251与6105的最大公约数也必是2146 的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251 的约数，所以8251与6105的最大公约数也是 6105与2146的最大公约数。
3 105 108
-6 7 540 2670 534 2677
多项式 的值.
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
练一练:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值. 解:原多项式先化为:
f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0
3 -6 0 605 3040 15170 608 3034 15170 所以,当x=5时,多项式的值是15170. 注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0. 列表 2 x=5 2 -5 10 5 0 -4 25 125 25 121
完整的过程
8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
例： 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然45是90和45的最大公约数，也就是 225和135的最大公约数 思考1：从上面的两个例子中可以看出计 算的规律是什么？
3.辗转相除法与更相减损术的比较:
（1）都是求最大公约数的方法，计算上 辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为 主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少， 特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区 别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法 体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损 术则以减数与差相等而得到.
[问题2]有没有更高效的算法? 分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结 果,以减少计算量, 即先计算x2,然后依次计算
x x,( x x) x,(( x x) x) x
2 2 2
的值. 这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘 法运算,5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运 算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于 计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一 次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到 结果.
[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多 项式的求值问题? v =2 0 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5 4 3 2 =(2x -5x -4x +3x-6)x+7 v =v x-4=5 × 5-4=21 2 1 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108 2 =(((2x -5x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 所以,当x=5时,多项式的值是2677. 这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.
2.更相减损术: 我国早期也有解决求最大公约数问题的算 法，就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下：可 半者半之，不可半者，副置分母· 子之数，以少 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 翻译出来为：第一步：任意给出两个正数； 判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是， 执行第二步。 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把 较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继 续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数 （等数）就是所求的最大公约数。
v5=v4x+7=534×5+7=2677
例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值. 解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5
在公元前300年左右首先提出
的．利用辗转相除法求最大公
约数的。
练习1：利用辗转相除法求两数4081与 20723的最大公约数. (53) 20723=4081×5+318;
4081=318×12+265;
318=265×1+53; 265=53×5+0.
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到 一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0) 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约 数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个 商q1和一个余数r1；(n=r0×q1+r1) 第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约 数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个 商q2和一个余数r2；(r0=r1×q2+r2) …… 依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1 即为所求的最大公约数。
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534
v =v x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多 项式的值是2677.
若将x的值代入变形后的式子中，那么求 值的计算过程是怎样的?
计算的过程可以列表表示为： f(x) =((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7, x=5
思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？
(1)、算法步骤： 第一步：输入两个正整数m,n(m>n). 第二步：计算m除以n所得的余数r.
第三步：m=n,n=r.
第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m； 否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m.
(2)、程序框图：
开始 输入m,n r=m MOD n m=n n=r r=0? 是 输出m 结束 否
秦九韶（约1202--1261），字道 古，四川安岳人。先后在湖北，安 徽，江苏，浙江等地做官，1261 年左右被贬至梅州，（今广东梅 县），不久死于任所。他与李冶， 杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。 早年在杭州“访习于太史，又尝从 隐君子受数学”，1247年写成著 名的《数书九章》。《数书九章》 全书凡18卷，81题，分为九大类。 其最重要的数学成就----“大衍总数 术”（一次同余组解法）与“正负 开方术"(高次方程数值解法），使 这部宋代算经在中世纪世界数学史 上占有突出的地位。
多项式x 系数 2 －5 10 －4 25 21 3 105 108 －6 7
540 2670 534 2677
变形后x 的"系数"
2
5
例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
解法二:列表
2
原多项式 的系数
x=5
2
-5 10 5
-4 25 21
〖创设情景，揭示课题〗
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数 的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？ 2 18 30 先用两个数公有的质因数 3 9 15 连续去除,一直除到所得 3 5 的商是互质数为止,然后 ∴18和30的最大公约 把所有的除数连乘起来. 数是2×3=6.
例：求下面两个正整数的最大公约数：
(3)、程序：
INPUT “m,n=“;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m
END
4. 辗转相除法的程序框图及程序:
开始
输入两个正数m,n m<n?
是
x=n n=m m=x
否
r=m MOD n
r≠0?
n=r m=n
是
否
输出n
结束
INPUT m,n IF m<wk.baidu.com THEN x=n n=m m=x END IF r=m MOD n WHILE r<>0 m=n n=r r=m MOD n WEND PRINT n END
案例1 辗转相除法与更相减损术
一、三维目标 （a）知识与技能 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原 理，并能根据这些原理进行算法分析。 2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完 整的程序框图并写出算法程序。 （b）过程与方法 在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习 过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它 们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严 谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握 把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
更相减损术算法步骤: 第一步：输入两个正整数 a,b(a>b,a,b都不是偶数);
第二步：把a-b的差赋予r; 第三步：如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b; 否则把r赋给a，执行第二步； 第四步：输出最大公约数b.
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数 减小数，并辗转相减， 即：98－63＝35; 63－35＝28; 35－28＝7; 28－7＝21; 21－7＝14; 14－7＝7. 所以，98与63的最大公约数是7。 练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大 公约数。 (12)