综合法和分析法(公开课教案)

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例 3 求:证 3725
证明: 因为3 7和2 5都是正证 数 明 :2125
所以要 3证 72 5
215
只需 (3证 7)2(25)2
分 展开 10 得 221 20
析 法
只需证 215 只需2证 125
综 合 法
2 2110
102 2120
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一. 综合法 (由因导果法,顺推法)
1.定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 及运算法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出 所要证明的结论成立.
2.思维特点：由因导果，从“已知”看“可知”，逐步 推向“未知”，其逐步推理 ，实际是寻找 它的必要条件．
2.思维特点：执果索因,从“未知”看“需知”，其逐步推理，实际上是
寻找它的充分条件.
3.框图表示：(用Q表示要证明的结论,P表示充分条件)
结Q 论QP1 P1 P2 P2 P3
明显成立的条件
4.分析法的书写格式：
要证：...... 只需证：...... 只需证：...... ......显然成立 所以,结论成立
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回顾 《必修五》中,我们如何证明基本不等式 的 ,指出其中的证明方法的特点.
ab a(ba0,b0) 2
证明 要证ab ab
证明 : a b ab 2
2
只需 a证 b2 ab
这种 证a思明考b方:法2 2 ab
只需 ab 证 2a b0
大家好
1
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2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(一)
2013-4-16
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复习回顾
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猜想是 否正确？
否定猜想? 肯定猜想?
只要前提和推理
举反例 形式都是正确的,
结论必定是正确的.
证明
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B
3
由余弦 ,有定理
b2a2c22accoBsa2c2ac a2c2a cac
由a, b，c成等比数列，有b2=ac.
(ac)2 0 ac
AC 由上A 可 B知 C 所以△ABC为等边三角形．
3
总结:解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语 言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
aba,b bcb,c cac,a
2
2
2
lg ablga b1(lag lg b),
2
2
lgbclgb c1Fra Baidu biblioteklbglg c),
2
2
lg calgca 1(lcg lg a),
2
2
总结：本题主要综合运用 已知条件,基本不等式,
以上三式相加，且注意到a,b,c不全相等，
不等式性质以及对数的
所 la g 以 b lb g c lc g a la g lb g lc g运算性质来证明. 222
证 :因 明 b 2 为 c 2 2 b,a c 0
所a 以 (b2c2)2abc 因c2 为 a22a,b c0
所b以 (c2a2)2abc
观察这种 证明方法 的特点!
因 ,a (此 b 2 c2) b (c2a 2)4 abc
发现:本题主要是从已知条件出发,利用我们所熟知的基本不等式 及不等式性质来进行证明的!
有什么特点呢?
( a b
)2
0
2
只需 ( a证 b)20
a b ab
2
因为上式显然成立,所以原不等式成立.
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二.分析法 (执果索因法,逆推证明法)
1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,
把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.
证 明 要证 taA n t明 aB n 1
只需s证 inAsinB1 coAscoBs
因 A ,B 为 为 ,所 锐 cA o 以 角 0 ,s cB o 0 s
只c 需 A o cs B o 证 s sA is nB in 只 c需 A o cB s o s 证 s A isn B i n 0
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练习 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b，c,且A,B,C成等差数列, a, b，c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
证明
由 A,B,C成等差 ,有 2数 BA 列 C 由 A ,B ,C 为 A的 BC ,有 内 A B 角 C
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直2接.2证明直中接最证基本明的与两间种证接明证方明法 2.2.1 综合法和分析法(一)
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思 :已 a 考 ,b 0 知 ,求 :a ( b 2 证 c 2 ) b ( c 2 a 2 ) 4 abc
( 37)2(25)2
因为 2125显然成. 立 3 72 5
所以 3 725
在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于 我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难.
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练 习 在 Δ A 锐 中 B ,求 角 C :ta A 证 tn a B 1 n
只需 coA 证 s B ()0
因C 为 为锐 ,所A 角 以 BC 为钝角
所以 coA s(B)0恒成立
所t以 aA n taB n 1
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课时小结 本节课所学的知识结构
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1.综合法和分析法是思维方向相反的两种思考方法. 2.在数学解题中: (1)综合法是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论. (2)分析法是从数学题的待证结论出发，一步一步地探索使它成立的充分条件，最后把要证
3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)
PQ1 Q1 Q2 Q2 Q3
Q结n 论QQ
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例 1 已a知 ,b,c是不全,等的正数
求:证 lgablgbclgcalgalg blg c
2
2
2
证明: a,b,c0