【试卷】2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(十)及答案

2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(十)
考试内容：一轮复习
一、单选题
1．（a ）函数2cos 2sin y x x =+，x ∈R 的值域是（ ）
A ．[0,1]
B ．1[,1]2
C ．[1,2]-
D ．[0,2]
2．（a ）已知3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13=-β，β是第三象限角， 则cos()βα-的值是（ ）
A ．3365-
B ．6365
C ．5665
D ．1665
- 3．（a ）已知cos61cos127cos 29cos37a ︒︒︒︒
=⋅+⋅，22tan131tan 13b ︒
︒=+，
c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．a c b <<
4．（a ）将函数()()12sin sin f x x x x =-的图象向左平移
3π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式是（ ）
A ．()2sin 22g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
B ．()2cos2g x x =
C ．()22cos 23g x x π
⎛⎫=+
⎪⎝⎭ D ．()()2sin 2g x x π=+
5．（b ）已知π1sin 23sin()4
αα+=-，则sin 2α=( )
A B ．12 C ．2 D
二、填空题
6．（a ）若tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则225sin 3sin cos 2cos θθθθ-+=________.
7．（a ）已知1sin 62πθ⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.
8．（a ）若函数()2cos 21,,33f x x x x ππ⎡⎤=--∈-
⎢⎥⎣⎦
的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是______.
9．（b ）如果向量()()cos sin 2016cos sin 1a b αααα=+=-，，，，且a b ∥，那么1tan 21cos 2αα
++的值是 _____.
三、解答题
10．（a ）已知函数()sin 2sin(2)cos 233f x x x x a ππ
⎛⎫=+
+-++ ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，恒有()0f x >成立，求实数a 的取值范围.
2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(十)
参考答案
1．A
【解析】
因为函数y ＝cos2x +sin 2x ＝cos2x 1122+
-cos2x 1122=+cos2x ．因为x ∈R ，所以cos2x ∈[﹣1，1]， 所以1122
+cos2x ∈[0，1]． 故选：A ． 2．A
【解析】 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5
α， 因为β是第三象限角，所以5cos 13
β=-， 所以33cos()cos cos sin sin .65βααβαβ-=+=-
3．D
【解析】
由题意，可得
cos61cos127cos 29cos37a ︒︒︒︒=⋅+⋅=()
sin 29cos53cos 29sin53︒︒︒︒⋅-+⋅ ()sin 5329sin 24︒︒︒=-=；
222222sin132tan132sin13cos13cos13sin 26sin 131tan 13cos 13sin 131cos 13b ︒
︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒
====+++；
sin 25c ︒==. 又因为函数sin y x =在[0,
]2π上是增函数，所以b c a >>，故选D .
4．A
【解析】 (
)(
)
212sin sin 12sin cos cos 22f x x x x x x x x x =-+=--=
12cos 2sin 22cos 2cos sin 2sin 2cos 222333x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 将函数()y f x =的图象向左平移3
π个单位，得到的函数为()2cos 233g x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦()2cos 22cos 22sin 22x x x ππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 5．B
【解析】 令π4αβ-=，则π4αβ=-，π222
αβ=-， π1sin 23sin()4
αα+=-可化为1cos23sin ββ+=， 即222sin 3sin ββ-=，22sin 3sin 20ββ+-=，(sin 2)(2sin 1)0ββ+-=， 所以1sin 2β=，则21sin 2cos212sin 2
αββ==-=， 故选B ．
6．75 【解析】
tan tan 144tan tan 4421tan tan 44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++⋅ ⎪⎝
⎭， ∴原式2222225sin 3sin cos 2cos 5tan 3tan 27sin cos tan 15
θθθθθθθθθ-+-+===++. 7．1
【解析】 解：1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则
cos 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
cos cos 311cos cos sin sin 126666662πππθθππππθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故答案为：1.
8．(3,2]--
【解析】
()3sin2cos212sin 216f x x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝
⎭，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()f x 的图象，
可得32m -<≤-.
9．2017
【解析】
由a b ∥，得()cos sin 2016cos sin αααα+=-，∴
cos sin 2016cos sin αααα
+=-. ∴()()22211sin 21sin 2(sin cos )cos sin tan 2cos 2cos 2cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin αααααααααααααααααα++++=+===-+--2016=.
∴1tan 21201612017cos 2αα
++=+=. 故答案为：2017
10．（1）π（2）(1,)+∞
【解析】
解：（1）()sin 2sin 2cos233f x x x x a ππ⎛
⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2cos2224x x a x a π⎛⎫=++=++ ⎪⎝
⎭， ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ=
=. （2）∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦， ∴32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦
，
∴sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦2[4x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 故函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上的最小值为1a -+. 由()0f x >恒成立，故有10a -+>，解得1a >.
故实数a 的取值范围为(1,)+∞.
【点睛】
本题考查正弦函数的性质，两角和与差的正弦公式，及三角函数的周期公式的应用，考查化简、变形能力．。