连续型随机变量

§3 连续型随机变量
除了离散型随机变量之外，还有非离散型的随机变量，这些随机变量的取值已不再是有限个或可列个。

在这类非离散型随机变量中，有一类常见而重要的类型，即所谓连续型随机变量。

粗略地说，连续型随机变量可以在某特定区间内任何一点取值。

例如某种树的高度；测量的误差；计算机的使用寿命等等都是连续型随机变量。

对于连续型随机变量，不能一一列出它可能取值，因此不能像对离散型随机变量那样用它取各个可能值的概率来描述它的概率分布，而是要考虑该随机变量在某个区间上取值的概率，我们是用概率密度函数来研究连续型随机变量的。

一． 概率密度和连续型随机变量定义： 对于随机变量X ，如果存在非负可积函数
()()f x x -∞<<+∞，使得对于任意实数， ,()a b a b <都有
{}()b
a
P a X b f x dx <<=
⎰
，
则称X 为连续型随机变量；称()f x 为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度． 由定义可知，分布密度()f x 具有如下基本性质: （１）．()0()f x x ≥-∞<<+∞；
（２）．
()()1f x dx P X +∞
-∞
=-∞<<+∞=⎰
．
这两条性质的几何意义是：概率分布密度曲线不在x 轴下方，且该曲线与x 轴所围的图形面积为1。

性质(1)、(2)可以作为判定一个函数是否可以作为一个连续型随机变量的分布密度的条件。

对于连续型随机变量X 可以证明，它在某一点a 处取值的概率为零，即
对于任意实数a ，有()0P X a ==．
即研究X 在某一点处取值的概率是没有什么实际意义的。

从而可知，研究X 在某区间上取值的概率时，该区间含不含端点，不影响概率值。

即 (３)．对于任意实数， ,()a b a b <都有
{}{}{}{}()b a
P a X b P a X b P a X b P a X b f x dx
<<=≤<=<≤=≤≤=⎰
【例1】
设X 是连续型随机变量，已知X 的概率密度为
其中λ为正常数． 试 确定常数A ．
解： 由概率密度函数性质，知
二．几个常用的一维连续型随机变量：
1. 均匀分布：如果连续型随机变量X 的概率密度为
记作[,]X U a b :．
因此上述定义中的概率密度可以改为
其中λ为一常数，利用概率密度的性质，易得 1b a
λ=-
2. 指数分布:
则称X 服从指数分布（参数为λ），记为
()X E λ:
若X 服从参数为λ的指数分布，则对任意
0a b ≤<， 有
如灯泡、电子元件的寿命，电话的通话时间等都被认为是 服从指数分布的。

3. 正态分布:
（１） 定义：如果连续型随机变量X 的概率密度为
可以证明：
=1
（２） 标准正态分布：当参数μ＝0 而2
1σ= 时，即(0,1)X N :，
称X 服从标准正态分布，记 标准正态分布的概率密度为()x φ，则
212
()2x x e
φπ
-
=
正态分布是概率统计中最重要的一种分布。

一方面，正态分布是实践中最常见的一种分布，例如测量的误差，人的身高、体重，农作物的收获量，大批学生的考试成绩等等，都近似服从正态分布。

一般说来，若某一数量指标受到很多相互独立的随机因素的影响，而每个因素所起的作用都很微小，则这个数量指标近似服从正态分布。

另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布在一定条件下可以用正态分布来近似，因此在概率数理统计的理论和实际应用中，正态分布都有着十分重要的地位。

（３） 性质：
(a) 在直角坐标系内()f x 的图形呈钟形;
(b) 在x μ=处得最大值
(c) 关于直线x μ=对称；在x μσ=±处有拐点；
(d) 如果σ固定，改变μ的值，则()f x 的图形沿x 轴平行移动，而不改变其形状，
可见()f x 形状完全由σ决定，而位置完全由μ来决定．当x →±∞时，曲线以x 轴为渐近线; 当σ大时，曲线平缓, 当σ小时，曲线陡峭．
（４）标准正态分布(0,1)N 的随机变量X 落在区间(,)a b 中的概率：
标准正态分布密度212
()2x x e
φπ
-
=
，记 ()()x
x t dt φ-∞
Φ=
⎰
，当0x ≥，
其函数值可查本书的附表１，
2
12
()2t b
a
P a X b e
dt
π
-
<<=
⎰
2
2
112
2
22t t b
a
e
dt e
dt π
π
-
-
-∞
-∞
=
-
⎰⎰()()b a =Φ-Φ，
其中
（ⅰ）1
(0)(0)2
P X Φ=≤=
； ()1;Φ+∞= ()0Φ-∞=． （ⅱ）,0a b >：可直接查本书的附表１，得
◆()()()P a X b b a <<=Φ-Φ
（ⅲ）0a >： ◆()()P X a a ≤=Φ；
◆()()()1()1()a
a
a P X a t dt t dt a ϕφ--∞
-∞
Φ-=<-=
=-=-Φ⎰
⎰；
◆()1()1()P X a P X a a >=-≤=-Φ
◆()()()()(1())P a X b b a b a -<≤=Φ-Φ-=Φ--Φ
()()1b a =Φ+Φ-；
◆()()2()1P X a P a X a a ≤=-≤≤=Φ-． 【例２】设(0,1)X N :，则
(12)(2)(1)0.97730.84130.1360P X <<=Φ-Φ=-=
(1)(11)2(1)120.841310.6826P X P X <=-<<=Φ-=⨯-=
( 1.96)1(1.96)10.9750.025P X ≤-=-Φ=-=
(12)(2)(1)10.97730.841310.8190P X -<≤=Φ+Φ-=+-=
（５）一般正态分布2
(,)N μσ的随机变量X 落在区间(,)a b 中的概率：
只要搞清楚一般正态分布与标准正态分布的关系，即可利用标准正态分布求得一般正态分布2
(,)N μσ的随机变量X 落在区间(,)a b 中的概率．具体地，
设 2
(,)X N μσ:，则
2
2
1()2()x b
a
P a X b dx μσ
-
-<<=
⎰
令 ,x t μ
σ
-=
则有
212
()(
)(
)b t a b a P a X b dt μ
σ
μσ
μ
μ
σ
σ
-----<<=
=Φ-Φ⎰
，
转化为标准正态分布，查本书的附表１，就可得这概率．
特别地，
()(1)(1)2(1)10.6826P X μσμσ-<<+=Φ-Φ-=Φ-=； (22)(2)(2)2(2)10.954P X μσμσ-<<+=Φ-Φ-=Φ-=；
(33)(3)(3)2(3)10.9974P X μσμσ-<<+=Φ-Φ-=Φ-=， 由上面三式可见，服从正态分布2
(,)N μσ的随机变量X 之值基本上落在 区间[2,2]μσμσ-+内， 而几乎不在区间[3,3]μσμσ-+外取值． 【例３】2
(2,0.3)X N :， 求( 2.4)P X > 解： 2,
0.3,μσ==
2.42
( 2.4)1( 2.4)1(
)1(1.33)0.09180.3
P X P X ->=-≤=-Φ=-Φ= 三．例题：
【例4】 对以下各题随机变量所对应的概率分布，试确定常数a.
【例5】
【例6】设随机变量X的概率密度为
【例设连续型随机变量X的分布面数为
【例7】则
，
四．习题：
P．68―――１，２，４，５，１５。