知识点14 函数间断点的求法及分类

学科：高等数学

第一章 函数与极限

知识点14 函数间断点的求法及分类 精选习题

作者：邹群

例14.1(难度系数0.2) 若有可去间断点，则 ，

e ()(1)()

x b

f x x x a -=--0x =a = .

b =解析： 据为的间断点，可知此时在点必无定义，因此

0x =()f x ()f x 0x =；

0a =再根据可去间断点处的极限一定存在，可得.

00e lim ()lim (1)x x x b

f x x x

→→-=-1b =解：，.

0a =1b =例14.2(难度系数0.2) 函数在上的第一类间断点为

11

(e e)tan ()(e e)

x

x x f x x +=

-[,]ππ-( ) .

x =(A) (B) (C) (D)

012

π

-

2

π

解析：由于函数在、点无定义，故、为间断点. 首先易见

0x =1x =0x =1x =为无穷间断点.

1x =当时，由于在此点须考虑左右极限，因此

0x =1e x

，1112111

0000021e ()e e e e lim ()lim 1,lim ()lim lim 11

e e e e e ()

x

x

x

x x x x x x x x x f x f x x

--+++→→→→→-

++==-===---则是的第一类间断点，故选（A ）.0x =()f x 解：（A ）.

妙招：寻找间断点的方法

在题目没有给出间断点的位置时如何找出所有间断点呢？除了分段函数在分段点可能为间断点之外，针对初等函数的方法是找出函数定义域内使函数无定义但是其去心邻域内有定义的点，它必为间断点.除此之外可断言没有间断点，为什么呢？这是根据初等函数在定义区间内连续，除去定义区间的点即为如上所述的间断点.

注意:在某点有定义,但是在此点的去心邻域无定义的点不算间断点,这根据间断点的定义即可知,此类点称为“孤立点”.如中

均

()f x =2()2

x k k π

π=+∈ 为孤立点.

例14.3(难度系数0.4)

求在内的间断点并判断其类型.

tan()

4

()(1)

x

x f x x π

-=+(0,2)π解析：根据上面的“妙招”找出间断点，然后通过求解极限来确定间断点类型.

解：对于要求，,因此当，

()f x tan()04

x π-≠cos(04

x π-≠tan()04

x π

-=，即，时间断，故在

cos()04x π-=4x k π

π=+34

x k ππ=+()f x tan()4

()(1)x

x f x x π-=+内的间断点为x =、、、.(0,2)π4

π54π34π74π

，故x =

为的第二类间断点；同理，x =

tan()4

4

4

lim ()lim (1)

x

x x x f x x π

π

π

++-→

→

=+=+∞4

π

()f x 54

π为的第二类间断点.

()f x ，故x =

为的第一类间断点；同理，x =tan()

4

334

4

lim ()lim (1)

1x

x x x f x x π

ππ-→

→

=+=34π()f x 74

π为的第一类间断点.

()f x 例14.4(难度系数0.4) 设函数，则有（ ）.

ln ()sin 1

x f x x x =

-()f x (A)1个可去间断点，1个跳跃间断点 (B)1个跳跃间断点，1个无穷间断点(C)2个无穷间断点 (D)2个跳跃间断点

解析：同例14.3的解析知的间断点为.

ln ()sin 1

x f x x x =

-0,1x x ==因为，

00002

1

ln()

lim ()lim ln()lim lim 011

x x x x x x f x x x x x

----→→→→-=-===-，00002

1ln lim ()lim ln lim lim 011

x x x x x x f x x x x x

++++

→→→→====-故是的可去间断点.

0x =()f x 因为，

111ln 1/lim ()sin1lim

sin1lim sin111

x x x x x f x x ---→→→=⋅=⋅=---，111ln 1

lim ()sin1lim sin1lim sin11x x x x f x x x

++-→→→=⋅=⋅=-故是的跳跃间断点. 选(A).

1x =()f x 解：(A).

例14.5(难度系数0.4) 设函数，则（ ）.

1

1

()e 1

x

x f x -=

-(A)都是的第一类间断点.0,1x x ==()f x (B)都是的第二类间断点.

0,1x x ==()f x (C)是的第一类间断点，是的第二类间断点.0x =()f x 1x =()f x (D)是的第二类间断点，是的第一类间断点.

0x =()f x 1x =()f x 解析：可判定均为间断点，然后再通过极限判定间断点的类型.0,1x x ==因为，故是的第二类间断点.

lim ()x f x →=∞0x =()f x 因为，故是的第一类间断点.选(D).

111

lim ()1,lim ()001

x x f x f x -

+→→=

=-=-1x =()f x 解：(D)

例14.6(难度系数0.2)

设，求出的间断点，并指出是哪一类间断点，

()2 2, 0,24, 02 4, 2

x x f x x x x ⎧==±⎪

=-<<⎨⎪

>⎩()f x 若可去，则补充定义，使其在该点连续.

解析：对于分段函数的间断点一定先对分段点进行判断，然后看一看非分段点有无间断点，此题函数除分段点外均连续.补充定义时结合函数连续性的定义.