知识点14 函数间断点的求法及分类

学科：高等数学
第一章 函数与极限
知识点14 函数间断点的求法及分类 精选习题
作者：邹群
例14.1(难度系数0.2) 若有可去间断点，则 ，
e ()(1)()
x b
f x x x a -=--0x =a = .
b =解析： 据为的间断点，可知此时在点必无定义，因此
0x =()f x ()f x 0x =；
0a =再根据可去间断点处的极限一定存在，可得.
00e lim ()lim (1)x x x b
f x x x
→→-=-1b =解：，.
0a =1b =例14.2(难度系数0.2) 函数在上的第一类间断点为
11
(e e)tan ()(e e)
x
x x f x x +=
-[,]ππ-( ) .
x =(A) (B) (C) (D)
012
π
-
2
π
解析：由于函数在、点无定义，故、为间断点. 首先易见
0x =1x =0x =1x =为无穷间断点.
1x =当时，由于在此点须考虑左右极限，因此
0x =1e x
，1112111
0000021e ()e e e e lim ()lim 1,lim ()lim lim 11
e e e e e ()
x
x
x
x x x x x x x x x f x f x x
--+++→→→→→-
++==-===---则是的第一类间断点，故选（A ）.0x =()f x 解：（A ）.
妙招：寻找间断点的方法
在题目没有给出间断点的位置时如何找出所有间断点呢？除了分段函数在分段点可能为间断点之外，针对初等函数的方法是找出函数定义域内使函数无定义但是其去心邻域内有定义的点，它必为间断点.除此之外可断言没有间断点，为什么呢？这是根据初等函数在定义区间内连续，除去定义区间的点即为如上所述的间断点.
注意:在某点有定义,但是在此点的去心邻域无定义的点不算间断点,这根据间断点的定义即可知,此类点称为“孤立点”.如中
均
()f x =2()2
x k k π
π=+∈ 为孤立点.
例14.3(难度系数0.4)
求在内的间断点并判断其类型.
tan()
4
()(1)
x
x f x x π
-=+(0,2)π解析：根据上面的“妙招”找出间断点，然后通过求解极限来确定间断点类型.
解：对于要求，,因此当，
()f x tan()04
x π-≠cos(04
x π-≠tan()04
x π
-=，即，时间断，故在
cos()04x π-=4x k π
π=+34
x k ππ=+()f x tan()4
()(1)x
x f x x π-=+内的间断点为x =、、、.(0,2)π4
π54π34π74π
，故x =
为的第二类间断点；同理，x =
tan()4
4
4
lim ()lim (1)
x
x x x f x x π
π
π
++-→
→
=+=+∞4
π
()f x 54
π为的第二类间断点.
()f x ，故x =
为的第一类间断点；同理，x =tan()
4
334
4
lim ()lim (1)
1x
x x x f x x π
ππ-→
→
=+=34π()f x 74
π为的第一类间断点.
()f x 例14.4(难度系数0.4) 设函数，则有（ ）.
ln ()sin 1
x f x x x =
-()f x (A)1个可去间断点，1个跳跃间断点 (B)1个跳跃间断点，1个无穷间断点(C)2个无穷间断点 (D)2个跳跃间断点
解析：同例14.3的解析知的间断点为.
ln ()sin 1
x f x x x =
-0,1x x ==因为，
00002
1
ln()
lim ()lim ln()lim lim 011
x x x x x x f x x x x x
----→→→→-=-===-，00002
1ln lim ()lim ln lim lim 011
x x x x x x f x x x x x
++++
→→→→====-故是的可去间断点.
0x =()f x 因为，
111ln 1/lim ()sin1lim
sin1lim sin111
x x x x x f x x ---→→→=⋅=⋅=---，111ln 1
lim ()sin1lim sin1lim sin11x x x x f x x x
++-→→→=⋅=⋅=-故是的跳跃间断点. 选(A).
1x =()f x 解：(A).
例14.5(难度系数0.4) 设函数，则（ ）.
1
1
()e 1
x
x f x -=
-(A)都是的第一类间断点.0,1x x ==()f x (B)都是的第二类间断点.
0,1x x ==()f x (C)是的第一类间断点，是的第二类间断点.0x =()f x 1x =()f x (D)是的第二类间断点，是的第一类间断点.
0x =()f x 1x =()f x 解析：可判定均为间断点，然后再通过极限判定间断点的类型.0,1x x ==因为，故是的第二类间断点.
lim ()x f x →=∞0x =()f x 因为，故是的第一类间断点.选(D).
111
lim ()1,lim ()001
x x f x f x -
+→→=
=-=-1x =()f x 解：(D)
例14.6(难度系数0.2)
设，求出的间断点，并指出是哪一类间断点，
()2 2, 0,24, 02 4, 2
x x f x x x x ⎧==±⎪
=-<<⎨⎪
>⎩()f x 若可去，则补充定义，使其在该点连续.
解析：对于分段函数的间断点一定先对分段点进行判断，然后看一看非分段点有无间断点，此题函数除分段点外均连续.补充定义时结合函数连续性的定义.
解：(1)由，，故为第一类间断点中的可去间断点，改
()0
lim 4x f x →=()02f =0x =变在的定义为，即可使在连续.
()f x 0x =()04f =()f x 0x =(2)由，，故为第一类间断点中的跳跃间断点.
()2lim 4x f x +
→=()2lim 0x f x -
→=2x =(3)由，，故为第一类间断点中的跳跃间断点.
()2lim 0x f x +
→-=()2lim 4x f x -
→-=2x =-例14.7(难度系数0.2)
设，求的间断点，并说明其类型.
1
10()ln(1)10
x e x f x x x -⎧⎪
>=⎨⎪+-<<⎩， ， ()f x 解析：类似例14.6.
解：在和处无定义，在内都是连续的.() f x 0 x = 1 x =()f x (1,0)(0,1)(1,)-+∞、、因为，，所以是第一类间断0(00)lim ln(1)0x f x -
→-=+=1
1
01
(00)lim x x f e
e
+
-→+==
0x =点，且为跳跃间断点.
因为，，所以是第二类间断点，
11
1(10)lim 0x x f e
-
-→-==1
1
1
(10)lim x x f e +
-→+==+∞1x =且为无穷间断点.
例14.8(难度系数0.2) 设函数在内有定义，且，
()f x (,)-∞+∞lim ()x f x a →∞
=，则（ ）.1
(0
()0,
0f x g x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩(A)必是的第一类间断点 (B)必是的第二类间断点0x =()g x 0x =()g x (C)必是的连续点
0x =()g x (D)在点处的连续性与的取值有关
()g x 0x =a 解析：通过求极限进行间断点类型的判定，注意复合函数的关系即可.
，，当时，是的连续点，当时001
lim ()lim (x x g x f a x
→→==(0)0g =0a =0x =()g x 0a ≠，是的间断点，故选 (D).
0x =()g x 解：(D).
例14.9(难度系数0.6) 函数的可去间断点的个数为（ ）.
3()sin x x f x x
π-=(A)1 (B)2 (C)3 (D)无穷多个
解析：可判定为间断点，然后再通过极限进行间断点类型的判定，注x k =∈ 意单独对、、时极限的讨论.
0k =1k =1k =-
的间断点为.3
()sin x x f x x
π-=
x k =∈ ，332000011
lim ()lim lim lim sin x x x x x x x x x f x x x ππππ
→→→→---====，32111132
lim ()lim lim sin cos x x x x x x f x x x ππππ
→→→--===，32111132
lim ()lim lim sin cos x x x x x x f x x x ππππ
→-→-→---===（、、）.3
lim ()lim sin x k x k x x
f x x
π→→-==∞0k ≠1k ≠1k ≠-则有3个可去间断点x =0,1, .故选 (C).
3
()sin x x f x x
π-=1-解：(C).
例14.10(难度系数0.4) 设，，讨论2
1()11x x f x x
x ⎧≤=⎨
->⎩2()2(1)2535x
x g x x x x x ≤⎧⎪
=-≤≤⎨⎪+>⎩
的连续性，若有间断点并指出类型.
[()]y f g x =解析：利用复合函数的连续性进行判断，结合间断点的类型进行判定.
解：令. 因为，所以处处连续.
()u g x =2()2(1)2535x
x u g x x x x x ≤⎧⎪
==-≤≤⎨⎪+>⎩
()g x ，当时连续，即当时，连续21
()11u u y f u u u ⎧≤==⎨
->⎩
1u ≠()1g x ≠(1)x ≠[()]y f g x =，对于，由于，所以为跳跃间断点.
1x =11lim 0lim 1x x y y +
-
→→=≠=1x =例14.11(难度系数0.6)
设和在内有定义，为连续函数，且，有间断点()f x ()x ϕ(,)-∞+∞()f x ()0f x ≠()x ϕ，则( ).
（A ）必有间断点 （B ）必有间断点[()]f x ϕ2[()]x ϕ（C ）必有间断点 （D ）
必有间断点
[()]f x ϕ()
()
x f x ϕ解析：此题（A ）、（B ）、（C ）均不易判断，实际上只须判断(D)正确.用反证法证明
必有间断点.若
没有间断点，即为连续函数.因为
()
()
x f x ϕ()
()
x f x ϕ连续，所以=连续，与有间断点矛盾. 故选(D).
()f x ()x ϕ()f x ⋅()
()
x f x ϕ()x ϕ可举反例说明其余3个选项不正确.
对于(A)，设=，为间断点，连续，而=1连续
()x ϕ,0
1,0x x x ≠⎧⎨=⎩
0x =()1f x =[()]f x ϕ，无间断点.
对于(B)，设=，为间断点，而连续，无间断点.()x ϕ1,0
1,
0x x -≤⎧⎨>⎩0x =2[()]1x ϕ=对于(C)，设=，，则=连续，无间断()x ϕ1,0
1,
0x x -≤⎧⎨>⎩2()f x x =[()]f x ϕ2[()]1x ϕ=点.
从而(A)、(B)、(C)必有间断点的说法不正确.解：(D).。