1.1映射与函数 同济大学高数(第七版)上册

左邻域与右邻域
一、基本概念
a a0 4.绝对值: a ( a 0) a a 0
运算性质:
a a ; ab a b ; b b
x a (a 0) a x a ;
x a (a 0) x a x a ;
a b a b ab a b .
二、函数的概念及其几种特性
1.函数的概念
X 和Y , 若 x X , 按照某种对应法则 f , 对应 定义 设给定两个非空实数集 唯一确定的一个实数 y Y , 则称 f 是定义在X上的函数, 简记为y f ( x), 其中x为自变量, y为因变量.
X 称为函数f 的定义域, 记为D f , 数x对应的数f ( x)称为x的函数值, 函数值的集合称为函数 f 的值域, 记为R f .
y -x
f ( x )
y
y f ( x)
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
o
x
x
2 （两边对折重合）,如 y x
偶函数图形关于y轴对称
奇函数的图形关于原点对称
3 y x （一边旋转180度得到另一边），如
函数的奇偶性质：
（1）奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的； （2）两个偶函数的和、差、积、商仍是偶函数； （3）两个奇函数的和、差仍是奇函数，两个奇函数的积、商是偶函数； （4）奇函数与偶函数的积、商是奇函数； （5）奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数， （6）任一定义在区间(-a,a)(a＞0)上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
一、基本概念
设X , Y是两个非空集合 , 若存在一个法则 , 使得x X，按照法则 f , 5.映射： 存在唯一的y Y , 则称f 为从X 到Y 的映射.记作f : x y,
集合X为映射 f 的定义域 Df , 其值域为R f { f ( x) | x X }.
映射的几个类型：
D
以上四类函数统称为单调函数！
证明函数在某区间上单调的方法：
选区间I上任意两点 x2 x1 , 证明
(1) f ( x2 ) f ( x1 ) 0(增)或f ( x2 ) f ( x1 ) （减） 0 .
f ( x2 ) f ( x2 ) (2) 当f ( x) 0时， 1(增)或 （减） 1 , f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x2 ) 当f ( x) 0时， （减）或 1 （增） 1 . f ( x1 ) f ( x1 )
有下界. (2)若X D, K2 R, 对x X , 都有 f ( x) K2 成立, 则称函数f ( x)在X上
(3)若X D, M 0, 对x X , 都有 f ( x) M 成立, 则称函数 f ( x)在X上有界. (4)若M 0, x0 X , 使得 f ( x0 ) M , 则称函数 f ( x)在X上无界.
2.函数的几种特性
函数的单调性
(1)设函数 f ( x)的定义域为 D, 区间I D, 如果对于区间 I上任意两点 x1及x2 , 当x1 x2时, 恒有f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数f ( x)在区间I上是单调增加的. (2)设函数 f ( x)的定义域为 D, 区间I D, 如果对于区间 I上任意两点 x1及x2 , 当x1 x2时, 恒有f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数f ( x)在区间I上是单调不减的. (3)设函数 f ( x)的定义域为 D, 区间I D, 如果对于区间 I上任意两点 x1及x2 , 当x1 x2时, 恒有f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数f ( x)在区间I上是单调减少的. (4)设函数 f ( x)的定义域为 D, 区间I D, 如果对于区间 I上任意两点 x1及x2 , 当x1 x2时, 恒有f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数f ( x)在区间I上是单调不增的.
x (,0) (0,)； x (0,)
解
练习 判断下列函数是否相同
f ( x) 3 x 4 x 3
g ( x) x 3 x 1
练习答案 表示同一个函数，因为它们的定义域和对应法则都相同 .
二、函数的概念及其几种特性
2.函数的几种特性
函数的有界性
(1)若X D, K1 R, 对x X , 都有 f ( x) K1 成立, 则称函数f ( x)在X上有上界.
2.函数的几种特性
函数的周期性
设函数f ( x)的定义域为 D, 如果存在一个正数 , 使得x D, 有( x ) D, 且f ( x) f ( x )恒成立, 则称函数f ( x)为周期函数 , 称为f ( x)的周期.
（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.

证明函数在某区间上奇偶性的方法：
选取区间上任意一点 x, 证明 （ 1）f ( x) f ( x )或f ( x) f ( x ) 0 奇函数. （2）f ( x) f ( x )或f ( x) f ( x ) 0 偶函数. (3) f ( x) f ( x )且f ( x) f ( x ) 非奇非偶函数 . （4）f ( x) f ( x )且f ( x) f ( x ) 既奇又偶函数 , f ( x ) 0.
函数的有界性
y M y M x X
y=f(x)
o -M 有界 o -M
x0
X
x
无界
有界函数的性质：
(1) 函数f ( x)在定义域D上有界 函数 f ( x)在定义域D上既有上界又有下界 . (2) 正数M 不是唯一的 . (3) 有界性是函数的局部性 质, 与选定的区间有关 .
例如：
（ 1）f ( x ) sin x,函数在整个定义域内都 有界,即 f ( x ) sin x M , M 可取大于等于1的任何实数. 1 （2）f ( x ) 在开区间（ 0,1 ）内无界（有上界但没 有下界） , x 但在区间（ 1,2）上有界.
实数R：有理数和无理数统称为实数 . R Q I
数集间的关系：N Z , Z Q, Q R.
若A B, 且B A, 就称集合A与B相等.( A B)
一般而言，集合右上角加“*”号表示去0，加“+”号表示去负数和0.
一、基本概念
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的 端点.
元素a1属于集合A , 记为a1 A ; 元素x不属于集合 A , 记为x A .
不含任何元素的集合称 为空集，记为 ，空集是任何集合的子 集.
A {a1, a2 ,, an }
几个数集
Z {， 1 ， 0， 1 ， }， 自然数集： N {0,1,2,} , 整数集： p 有理数集Q：能表示为 ( p, q Z且p, q互质, q 0)的数 . q p 无理数集I：表示不成 形式的数. q
2.函数的几种特性
函数的奇偶性
(1) 设函数f ( x)的定义域 D 关于原点对称, 对于x D, f ( x) f ( x)恒成立, 则称 函数f ( x)为偶函数 .
(2) 设函数f ( x)的定义域 D 关于原点对称, 对于x D, f ( x) f ( x)恒成立, 则称 函数f ( x)为奇函数.
有限区间：{ x a
x b} 称为开区间, 记作 (a, b) { x a x b} 称为半开区间, 记作 [a , b) { x a x b} 称为半开区间, 记作 (a , b] { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a , b] x}
无限区间：[a ,) { x a
求定义域的方法： 一般地，若函数不给出其定义域，我们就默认是自然定义域。 求定义域应注意以下问题： （1） （2） （3） （4） （5） 分式的分母不能为零； 开偶次方的被开方式子不能为负； 对数符号后的式子不能为负； 反正弦、反余弦后式子的绝对值不能大于1； 有限个函数由四则运算得到的新函数，其定义域是各函数定 义域的交集.
x (, 1) (1, )
x [1,4) (4, )
例2 判断下列函数是否相同
(1) f ( x) x,
x (,)； (2) f ( x) lg x 2 , g ( x) 2 lg x, g ( x) x 2 , x (,)
(1)表示不同的函数，因为它们的对应法则不同 . (2)表示不同的函数，因为它们的定义域不同 .
第一章 函数与极限
函数— 研究对象 分析基础 极限— 研究方法 连续— 研究桥梁
1.1 映射与函数
一、基本概念 二、函数的概念及其几种特性 三、反函数 四、复合函数 五、初等函数
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.来自百度文库组成这个集合的事物称为该集合的元素. 有限集（列举法） M {x x所具有的特征 } 无限集（描述法）
( , b) { x x b}
一、基本概念
3.邻域: 设x0与 是两个实数 , 且 0, 数集{x x x0 }称为点 x0的 邻域 ,
记作U ( x0 ) {x x0 x x0 }.

x0
0

x0
x0
x
去心邻域: 记作数集 U ( x0 ) {x 0 x x0 } 半邻域:
3ω 2

ω 2
ω 2
3ω 2
在每个区间长度为ω 的区间上，函数图形有相同的形状!
满射： Y中任一元素y都是X中某元素的像. 单射：若a, b X且a b f (a) f (b). 双射（一一映射）： 既是单射又是满射的映射. 逆映射： 只有单射才存在逆映射. 复合映射：第一个映射的值域包含于第二个映射的定义域. 记作( f g )(x). 注： ( f g )(x)与( g f )(x)是有区别的！
f ( X ) { y y f ( x), x X } Y R f 不一定就是Y，它们是包含关系！
1.函数的概念
单值函数与多值函数 按函数关系的定义，对应于每一个自变量x，仅有一个因变量y 与之对 应，故函数是单值的，称为单值函数. 但是，有的时候，我们常遇到这一类关系，它使得对应于每一个x∈D， y 都有一个以上的值与之对应，根据函数的定义，这不是一个函数关系， 但为了研究的方便，我们也把这类关系称为多值函数关系，简称多值函数. 例如圆 x2+y2=a2. 若不加以特别声明，我们所涉及的函数均指单值函数！
1.函数的概念
函数的定义域
1、根据实际背景中变量 的实际意义确定：如 s 落地的时刻. 1 2 gt , t [0, T ]，T为 2
2、自然定义域：自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成的集合. 若两个函数的定义域相同且对应法则也相同，则这两个函数相同， 否则就是不同的,这两者构成了函数的两个要素.（值域可由其定义域 和对应规则确定！）
函数的单调性
y y
y f ( x)
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x1 )
单调增加 x o
I
f ( x2 )
单调减少 x
o
I
y y f ( x)
f ( x2 )
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x1 )
单调不减 x o
D
f ( x2 )
单调不增 x
o
例1
求下列函数的自然定义域.
1 (1) y 3 x x x (,0) (0,3
练习：求下列函数的自然定义域.
(2) y lg( x2 4)
x (, 2) (2, )
(1) (2)
练习答案
2x y ln x 2 16 x y log5 ( x 2 1)