高考专题 解析几何常规题型及方法

高考专题：解析几何常规题型及方法

一、高考风向分析：

高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个

解答题), 共计20多分, 考查的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本,

突出重点, 全面考查。选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知

识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线

中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方

程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知

识分析问题，解决问题。

二、本章节处理方法建议：

纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近

一

半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占

解几分值一

半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析

几何是代数与

几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几

何、数列、向

量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高

中数学综合

能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿

可拿之分”

的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有

时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。

鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很

大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题

较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻

下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就

能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几

分算几分。

三、高考核心考点

1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）

2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）

3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）

4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

四、常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点

为(,)

x y

11，(,)

x y

22

，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公

式，消去四个参数。

典型例题给定双曲线x

y

2

2

2

1

-=。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点

P 1及P

2

，求线段P

1

P

2

的中点P的轨迹方程。

分析：设P x y

111

(,)，P x y

222

(,)代入方程得x

y

1

21

2

2

1

-=，x

y

2

22

2

2

1

-=。两式相减得

()()()()

x x x x y y y y

12121212

1

2

+--+-=。

又设中点P（x,y），将x x x

12

2

+=，y y y

12

2

+=代入，当x x

12

≠时得2

2

2

12

12

x

y y y

x x

-

-

-

=

·。

又k

y y

x x

y

x

=

-

-

=

-

-

12

12

1

2

，

代入得24022x y x y --+=。

当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是24022x y x y --+=

说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 变式练习：

给定双曲线2x 2 - y 2 = 2 ，过点B(1,1)能否作直线L,使L 与所给双曲线交于两点Q 1、Q 2 两点，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？如果直线L 存在，求出它的方程;如果不存在,说明理由. （2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b

222

21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦

点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β

αβαsin sin )

sin(++=

e ；

（2）求|||PF PF 1323+的最值。

分析：（1）设||PF r 11=，|PF r 22=，由正弦定理得

r r c

122sin sin sin()

αβαβ==+。 得

r r c

122++=+sin sin sin()

αβαβ，

（2）()()a ex a ex a ae x ++-=+3332226。 当x =0时，最小值是23a ； 当a x ±=时，最大值是26323a e a +。