误差理论及数据处理

我国1999年批准发布了JJF059-1999《测量不
确定评定与表示》的计量技术规范。对于计量 设备和仪器、计量部门的校准实验室已经有较 为成熟的测量不确定评定与表示的论文发表， 而很多领域如理化检验还处于起步阶段。

测量的结果只能近似真值，因此都有不确定性。 在生产场合，没有特殊需要的都用测量误差， 在计量和检验领域才采用“不确定度”。 不确定度与误差的联系与区别：误差是不确定 度的基础，不确定度是误差的发展。

美国的脑磁图定位系统、荷兰的核磁 共振、瑞典的立体定向手术系统、德国 的手术导航系统；为控制误差，将脑磁 图、核磁共振、CT机三项检查的脑部图 象在电脑上叠加、核对，手术误差要求 不超过0.1毫米，否则会造成痴呆或疯癫 。 问题：试用你亲身经历的事例说明 误差理论的重要性。

测量误差
基本概念
测量次数n多少合适？从
标准误差与测量次数的 关系可知 n>10时曲线 下降较少而n太大就难以 保证测量的条件的一致， 所以一般取n=10。
不等精密度测量的数据处理
一般测量实践基本上属于等精密度测 量的问题，有时为了得到更精确的结果 ，往往在不同的测量条件下，用不同的 仪器，不同的测量方法,不同的测量次数 以及不同的测量者进行测量与对比，这 就是不等精密度测量。
时位于最中间的数就是“中位数”。 众数：在n个数中，重复出现次数最多的 数就是“众数”。
切尾平均数：去掉 lmax, lmin以后的平均数。
算术平均数：
l

l
i 1
n
i
n
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
满足最小二乘原则的最优解
精度（中误差）计算方法
一、已知真值X，则
真误差
一、真值不知，则
i X li
手术戒毒―除毒瘾记忆的开颅手术

给病人播放吸毒者注射毒品的录像，观测病 人的脑磁图，局部异常兴奋点闪烁，准确测量兴 奋点的位置，在坐标系上（把兴奋点）定位。用 定位仪把要打击的“靶点”置于虚拟的球心。开 颅（直径1厘米的小孔），顺着定位仪的垂直管道 插入射频电针，相距6毫米平行进入大脑，发射射 频电波使“靶点”周围的离子高速往来摩擦生热 达720C，杀死神经元，形成8毫米高的椭圆形死 海。切断毒瘾记忆。
测量误差基础知识
2
误差分析与实验数据处理
不仅在科学研究领域，测量在国民经济、 国防建设和社会生活中，特别是在司法、商 业贸易、维护权益、保护资源环境、医疗卫 生等诸方面起着越来越大的作用。它对科研、 生产、商贸和国际技术交流等诸多相关领域 影响很大。
为了能选择适当的实验方法以使测量结
果有预期的可靠性和分析测量结果的可 靠程度，都必须对误差进行分析。
二、中误差
[ l ] x n vi x li
二、中误差
[] m n
[vv] m n 1
误差结果描述
精密度低
准确度低
精确度高
枪的准确性和射手的技术分别可以代表哪种误差？
相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。 用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
算术平均值
l1 l2 ln x n
已知：m1 =m2 =….=mn=m
1 1 1 求：mx dx dl dl dl 1 2 n n n n 1 2 2 1 2 2 1 2 2 mx ( ) m1 ( ) m2 ( ) mn n n n 1 m n
x x nmx
这样表示的含义是：x 是最佳值；误差超过 nmx 的概率是很小的。
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关于置信度与不确定度
测量值在某区间内的概率称为测量结果的置信
概率或置信度。 极限误差Δ 常称为测量结果的不确定度，通常 取 Δ ＝ σ，2σ，3 σ 置信系数 1.0 2.0 3.0 置信限 1.0 σ 2.0 σ 3.0 σ 置信概率 0.6827 0.9544 0.9973
“国家标准GB/T228-2002实施要点” 《金属材料 室温拉伸试验方法》
测量数据的处理
1. 有效数字与测量误差
在测量中既然不可避免地存在误差， 因此数据只
能是一个近似数。 当我们用这个数表示一个量时， 通常规定误差不得超过末位单位数字的一半， 即 0.5误差原则。 这种误差不大于末位单位数字一 半的数， 从它左边第一个非零数字起， 直到右面 最后一个数字为止， 都叫做有效数字。 有效数字 位数越多， 精密度越高。
误差与不确定度的比较
误差 有正负 分为系统误差、随机误差、过失误差 定 （统计）和B类评定（非统计） 客观存在，不以人的认识程度而改变 客观存在，但与人们对被测量的影响 量和过程的认识有关 操作性：误差很易测，可靠性无法知晓 不管真值是否知晓皆可按GUM规定 结果修正：起码系统误差的估计值可以 不能由不确定度对测量结果进行修正 修正 自由度：不存在 存在 置信概率：不存在 存在 与分布有关 与分布无关 不确定度 恒为正 评定时不分性质，由随 机效应和由系 统效应引入的不确定度都有A类评
2
f 2 f 2 f 2 mz x mx 1 x mx2 x mxn 1 2 2
2
观测值函数中误 差公式汇总
观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差
一般函数
Z F ( x1 , x2 ,, xn )
（二）处理原则
系统误差——找出规律，加以改正
偶然误差——多余观测，制定限差 粗差——细心，多余观测， 限差排除
研究误差的目的
世界是未知的。 根据掌握的有限次测量的结果，对真值进行
估计，或者判断测量结果的合理性。
1.观测值为 l1,l2,l3,….ln 如何取值？如何评价数据的精度？
2.观测值为 X1,X2， 如何评价数据的合理性？测量有无粗差？
3、外界环境的影响
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一.产生测量误差的原因
产生测量误差的三大因素： 仪器原因 仪器精度的局限,轴系残余误差,等。 人的原因 判断力和分辨率的限制,经验,等。 外界影响 气象因素(温度变化,风,大气折光)
一.产生测 量误差的原 因
有关名词： 观测条件: 上述三大因素总称为观测条件 等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为等精度观测。 结论：观测误差不可避免(粗差除外)
重视程度
准确度《精密度《相对精密度
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误差结果描述
准确度(测量成果与真值的差异，反映系统误 差） 精（密）度（观测值之间的离散程度，反映 随机误差）
精准度（同时考虑测量结果的准确度和精密度）
测量平差（求解最或是值并评定精度）
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x xi 2mxi
测量数据结果表示
目前国内外尚无统一规定，原则上测量 结果应在正确反映被测量的真实大小和 它可信度的同时又不过于庸长和累赘。 通常用算术平均值作为最佳值和算术平 均值的极限误差表示：
几率99.7% 几率95.4% 几率68.3%
因此以2倍的标准差作为限差，如果有限次
的测量误差大于限差，则说明必然存在粗 大误差。
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真值如何找到？精度如何描述
但大多数被观测对象的真值不知，
任何评定观测值的精度，即： =？ m=？ 寻找最接近真值的值x
集中趋势的测度（最优值）
中位数：设把n个观测值按大小排列，这
偶然误差的特性
有限性：在有限次观测
中，偶然误差应小于限 值。 渐降性：误差小的出现 的概率大 对称性：绝对值相等的 正负误差概率相等 抵偿性：当观测次数无 限增大时，偶然误差的 平均数趋近于零。
1 f ( x) e 2
( x )2 2
精度和限差
误差在3倍的标准差之内 误差在2倍的标准差之内 误差在1倍的标准差之内
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测量数据的处理
“小于5舍，大于5入，等于5取偶数”的规则
(1) 加法运算： 运算结果的有效数字位数，应与参与 运算各数中小数点后面有效位数最少的相同。 (2) 乘除运算：运算结果的有效数字位数， 应与参与 运算各数中有效位数最少的相同。 (3) 乘方及开方运算：运算结果的有效数字比原数据 多保留1位。 (4) 对数运算：取对数前后有效数字位数应相同。 在运算前可将各数先行删减， 原则上可按结果有效 位数多保留1～2位安全数字。
真值－待确定量客观存在的真实值。 由理论给出或计量学作出规定的如：三角 形内角之和为1800； 第13届国际计量大会规定，铯原子Cs133在 两个超精细能级间跃迁所对应辐射的 192,631,770个周期的持续时间为1秒。这些都 是真值。
实验值－测量值
测量误差的来源
1、仪器精度的局限性
2、观测者感官的局限性
倍数函数
F 2 F 2 F 2 mZ m m x 1 x 2 x mn 1 2 n
2 mZ K 2 mx Km x
2
2
2
Z Kx
和差函数
Z x1 x2 xn
二、测量误差的分类与对策
（一）分类 系统误差——在相同的观测条件下，误差 出现在符号和数值相同，或按一定的规律 变化。
举例：砝码；尺
问题：在相同的测量条件下，增加 测量次数可以减少系统误差吗？
二、测量误差的分类与对策
（一）分类 偶然误差——在相同的观测条件下，误 差出现的符号和数值大小都不相同，从 表面看没有任何规律性，但大量的误差 有“统计规律”
因此必须具有误差理论的知识；为了把
得到的数据进行科学的归纳整理，从而 得出表征被测量之间的函数关系还必须 掌握数据处理的技术。

当测量误差超过一定的限度，测量工作 和结果不但毫无意义甚至带来极大危害。 例1，射程8000公里的洲际导弹，如果航 向误差0.03度，偏离目标可达5－8公里； 例2 ，矿井中瓦斯浓度监测问题 4－16％ 的瓦斯浓度会引起爆炸，爆炸最猛烈的为9 ％；规定达到1％时监测系统报警，不允许 作业。 例3， 医学介入法治疗中的显示、定位、 手术。
线性函数
mZ m n
Z k1 x1 k2 x2 kn xn
2 2 2 2 2 mZ k12 m1 k2 m2 kn mn
算术平均值
x n l l l
1 n 1 1 n 2
l
1 n n
mX
m n
误差传播定律的应用
关于不确定度*
一 不确定度的概念 来自400多年前伽利略测量天体的实践，直到 1993年国际不确定工作组上才正式制定《测量 不确定度指南》（Guide to the Expressing of Uncertainty in Measurement）(GUM)， 由ISO出版1995年公布，得到世界各国的广泛 应用。因为具有可操作的规范需要实践的积累 和时间的检验。目前GUM的应用和推广已成 为当今科学界、质量技术监督部门、各类认可 机构和认证机构关注的热点。
问题：过失误差如何判断？单凭感觉能判断吗？

误差的分类不是绝对的。未掌握变 化规律或过于复杂的系统误差按随机误 差处理。已弄清规律的随机误差按系统 误差处理。 例：电磁场对测量结果的影响，如果较 小，规律不明显，与其他因素难以区分 时当作随机误差；当影响较大、规律可 掌握就当作系统误差；影响严重到完全 偏离真值，不能允许的程度时当作粗大 误差。
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§6 -5误差传播定律
已知：mx1,mx2,……mxn 求：my=?
y=?
设有函数式： y f ( x1 , x2 ...)
my
[ y y ] n
一般函数的中误差公式——误差传播定律
设有函数
二.误差传播 定律
Z f ( x1 , x2 , xn )
2 2
xi为独立观测值
问题：在相同的测量条件下，增加测量次数 可以减少随机误差吗？
3．粗大误差

又称过失误差，是显然与事实不符的误 差。误差值可以很大，没有一定的规律。往 往是由仪器故障、环境意外变化、操作失误 等原因引起。是不允许存在的。如果测量值 中含有较大误差，应按一定的规则对数据进 行判断，如确定为粗差则应将此数据从测量 值中剔除。