动力气象学第7章大气中的基本波动
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则
1 2 A1 cos(kx t) A2 cos(kx t) cos( kx t) A2 sin(kx t ) sin(kx t) [ A1 A2 cos( kx t)]cos(kx t) A2 sin(kx t) sin(kx t )
99
11.什么叫“噪音”？滤去“噪音”有何必要性？ 答：对大尺度运动图像起干扰作用的高频声波、重力波，视为大尺度运动的“噪声” 。 因为高频声波、 重力波不但对大尺度运动作用不大， 而且会给用数值方法积分基本方程组带 来困难。 12.从物理上说明静力平衡近似可以滤去沿铅直方向传播的声波，但不能滤去沿水平方向传 播的拉姆波。如何才能滤去拉姆波呢？ 答：因为大气的可压缩性是产生声波的内在条件，若大气在铅直方向上满足静力平衡，则可 滤去铅直方向的声波； 而拉姆波是由地球旋转作用， 在静力平衡大气中产生的在水平方向传 播的波，所以不能滤去。 取齐次边界条件，即设 p p0 时，
1
2 2 ,T 0.00966, c 325m / s k k
3.微扰动的基本思想是什么？为什么说用微扰动法得到的扰动方程， 只能用于描写小振幅波 动？ 答：微扰动法的基本思想： ①把表征大气状态的任一场变量 f 看成是由已知的基本场变量 f 和叠加在其上的扰动量
有何不同？ 答： 在研究大气中基本波动时， 通常的做法是把有关的方程线性化， 得到相应的扰动方程组， 然后设扰动方程的形式解为 Ae
i ( kx t )
，代入方程组后，即可根据边界条件确定频率方程，
从而确定相速方程，这种方法为标准波型法。
q( x、y、z、t ) Qei ( kxly mz t ) 为空间三维的波动状态； q Q( y、z )ei ( kxt ) 为三维空间在 x 方向的波动。
du 1 p dt x 0 u d 0 x dt T T0 常值
假设大气基本状态是静止大气，试将方程组线性化，求出频率方程，讨论速度扰动 (u ) 、密 度扰动 ( ) 、气压扰动 ( p) 的振幅和位相之间的关系。 提示：线性化方程组为
1 1 A 2 A1 cos ( xk t ), ( xk t ) 2 2
6.证明群速 c g 也可表示成以下形式
cg
c2 c dc d
答：由 cg
d 1 1 1 c2 dk d 1 dc dc dk ( ) 2 c d d c c c d d
的一般解(其中 c 为常值)。 2.在研究简谐波振幅的增强、减弱的可能性时，可设波动解的形式为
Aet cos(kx t kx0 )
式中 A 是振幅， 是振幅增长因子， x0 是初位相，试证明这一表达式可写成
Re( Beik ( xct ) )
100
这里的 B 和 c 都是复数。试用 A、 、k、、x0 确定 B 和 c 。 解：由已知 Ae cos(kx t kx0 ) 可得
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( xk t ) 2 ( A12 A2 )(1
2 A1 A2 cos( xk t )) 2 A12 A2
tan
A2 sin( xk t ) A2 A2 cos( xk t )
5.证明上题中若振幅 A1 A2 ，波包迹传播的速度，即群速为 cg d / dk 。 提示： A1 A2 时，利用半角的三角函数恒等式，可得
f 2 i L ( xct ) 2i Fe x L
98
2
由微扰动基本假设，则
f 也是小量，因而要求 F L 。所以将微扰动法用于研究 x
波动问题，只适用于研究小振幅波动。 4.什么是标准波型法？设波动解为
Ae i ( kxly mz t )
它与
A( y, z )e i ( kxt )
令
A cos A1 A2 cos(kx t ) A sin A2 sin(kx t )
则 1 2 A cos cos(kx t ) A sin sin(kx t ) A cos(kx t )
A2 ( A cos ) 2 ( A sin ) 2 [ A1 A2 cos(kx t )]2 [ A2 sin(kx t )]2
u 1 p t x 0 u 0 t x p RT0
5.什么叫频散波？什么叫非频散波？群速和相速有何差别？ 答：若相速不仅依赖于介质的物理性质，还依赖于波数，称为频散波。 若相速仅依赖于介质的物理性质，不依赖于波数，称为非频散波。 群速 c g 是群波中具有相同振幅点的移动速度；而相速 c 是群波中具有同位相思安的移动速 度。 6.什么叫外波？什么叫内波？ 答：在外部条件的作用下才能存在的波称为外波。 在外部条件受到限制的条件下在流体内部存在的波动，称为内波。 7.什么叫纵波？什么叫横波？ 答：振动方向与波传播方向一致的波动称为纵波。 振动方向与波传播方向相垂直的波动称为纵波。 8.大气声波、重力外波、重力内波、惯性波、罗斯贝波产生的物理机制是什么？ 答：声波：由大气的可压缩性引起。 重力外波：由大气上、下界面的扰动和重力的作用引起。 重力内波：由大气的稳定层结和重力的作用而形成。 惯性波：在科氏力的作用下形成。 罗斯贝波：是在准水平的大尺度移动中，由于 效应维持绝对涡度守恒而形成的。 9.大气基本波动中，从最快的声波到最慢的罗斯贝波其形成过程中水平速度散度的作用如 何？ 答：通过水平辐合辐散交替变化而使得波得益传播。 10.什么是拉姆波？有人认为拉姆波具有重力惯性外波的特征，你对此有何看法？ 答：考虑地球旋转作用，在静力平衡大气中还可以产生一种只在水平方向传播的特殊声波， 称为拉姆波。 因为重力惯性外波和拉姆波在动力学上是同源的。
t
ReAet e i ( kxt kx0 )
ik ( x t i t ) i ) t ikx0 ik [ x( k k k k Re Aet i ( kxt kx0 ) Re Ae ikx0 e Re Ae e
f 组成的，即设： f f f ；
②基本场变量表明大气的基本运动状态，它满足基本方程和边界条件； ③假设扰动量 f 是充分小的，扰动量和其他改变量都是小量，其二次以上乘积项可以略去 不计。 如果扰动是周期性波动，扰动量充分小，意指波动振幅远小于波长，即若 f Fe 则
i 2 ( x ct ) L
第七章
大气中的基本波动
复习思考题
1.什么是简谐平面波？描写简谐平面波特征引进了哪些波参数？其含义是什么？他们之间 有什么关系？ 答：由简谐平面波稳定的传播所形成的波动称为简谐波，若波面为平面，则合称为简谐平面 波。 A、k、、 以及 L、T、c、v 统称为波参数。 A ：振幅，物体离开平衡位置的最大位移。 k ：波数，它代表在 2 距离内含波长为 L 的波动数目。 ：波动圆频率，只与振动系统本身属性有关。 ：初位相 L ：波长，固定时间，两个同位相点的距离。 T ：波动周期，空间固定位置上的点完成一次全振动所需的时间。 c ：相速，等位相面沿传播方向移动的速度为相速。 v ：频率，单位时间内完成振动的次数。 2.设空气纬向速度波动解为
dp 0 ，则可滤去拉姆波。 dt
13.从物理上说明准地转近似或准水平无辐散近似可以滤去重力惯性波。 答：若满足准地转关系，则水平气压梯度力可抵消由于地球旋转产生的科氏力，则无重力惯性波。 若满足准水平无辐散，则不能传播，也可滤去重力-惯性波。 14.什么叫包辛内斯可近似？什么叫滞弹性近似？采用包辛内斯可近似或滞弹性近似为什么 可以滤去声波？ 答：如果在运动方程中部分考虑密度扰动的影响，即只保留与重力相耦合的密度扰动项；连 续方程中忽略密度扰动影响； 热力学能量方程保留密度扰动影响。 这种热力学近似叫作滞弹 性近似。 在滞弹性近似基础上，若考虑的是浅层运动，连续方程可简化为不可压缩形式，对于密度扰 动，可只保留膨胀的作用，即取
在同一介质中传播，证明合成波为一个振幅被调制的简谐波，即有
1 2 A cos(kx t )
式中Biblioteka Baidu
2 A 2 ( A12 A2 )(1
2 A1 A2 cos( xk t )) 2 A12 A2
tan
解：由
A2 sin( xk t ) A2 A2 cos( xk t )
u 15 cos(2 x 650t )
速度的单位是 m s ， x 以 m 为单位， t 以 s 为单位，求波的振幅、波长、波数、圆频率、 周期、相速。 答：由波动解 u 15 cos(2 x 650t ) 则 A 15m, 650rad / s, k 2, L
101
2 A2 cos[(k k ) x ( )t ) A2 cos[(kx t ) (kx t )] A2 {cos(kx t ) cos(kx t ) sin(kx t ) sin(kx t )] A2 cos(kx t ) cos(kx t ) A2 sin( kx t ) sin(kx t )
u u 2u 3u u 2 3 t x x x
式中 、 为实参数，试讨论波动无耗散、波动无频散、波动无频散但有耗散及波动无耗散 但有频散的条件。 提示： 0 ， 无耗散； 0 ， 无频散； 0、 0 ， 无频散但有耗散； 0、 0 ， 无耗散但有频散。 9.等温大气条件下，一维声波方程为
x X cos Y sin y X sin Y cos z Z
cos k l , sin K K
4.设有两列波动
1 A1 cos(kx t ) 2 A2 cos[(k k ) x ( )t )
7.对于二维简谐平面波有
A( z )ei ( kxly t )
若 ( K ) ，试证明相速度矢量 c 与群速矢量 c 是共线矢量 ( K k l ) 。
2 2 2
102
8.振幅不随时间衰减的波动称为无耗散波动，振幅随时间衰减的波动则称为有耗散的波动， 设波动方程为
令 B Ae
ikx0
，则可写为 Re Be
ik ( x ct )
即 B A cos kx iA sin kx, c
i k k
3.寻找一个坐标系 ( X、Y、Z、t ) ，使得由
( x、y、z、t ) A( z )ei ( kxly t )
表征的简谐波只沿 X 方向传播。 解：若波数矢量 k 与 x 轴夹角为 ，将原坐标系 x 轴旋转 角就是所求的坐标系，这个坐标 系之间关系为
这种近似为包辛内斯可近似。 15.研究中小尺度运动如何滤去罗斯贝波？ 答：设中小尺度系统无南北运动。 习题 1.证明 ( x ct ) 是波动方程
(1)
c 0 t x 2 2 ( 2) 2 c 2 2 0 t x
(1) ( 2)
1 2 A1 cos(kx t) A2 cos(kx t) cos( kx t) A2 sin(kx t ) sin(kx t) [ A1 A2 cos( kx t)]cos(kx t) A2 sin(kx t) sin(kx t )
99
11.什么叫“噪音”？滤去“噪音”有何必要性？ 答：对大尺度运动图像起干扰作用的高频声波、重力波，视为大尺度运动的“噪声” 。 因为高频声波、 重力波不但对大尺度运动作用不大， 而且会给用数值方法积分基本方程组带 来困难。 12.从物理上说明静力平衡近似可以滤去沿铅直方向传播的声波，但不能滤去沿水平方向传 播的拉姆波。如何才能滤去拉姆波呢？ 答：因为大气的可压缩性是产生声波的内在条件，若大气在铅直方向上满足静力平衡，则可 滤去铅直方向的声波； 而拉姆波是由地球旋转作用， 在静力平衡大气中产生的在水平方向传 播的波，所以不能滤去。 取齐次边界条件，即设 p p0 时，
1
2 2 ,T 0.00966, c 325m / s k k
3.微扰动的基本思想是什么？为什么说用微扰动法得到的扰动方程， 只能用于描写小振幅波 动？ 答：微扰动法的基本思想： ①把表征大气状态的任一场变量 f 看成是由已知的基本场变量 f 和叠加在其上的扰动量
有何不同？ 答： 在研究大气中基本波动时， 通常的做法是把有关的方程线性化， 得到相应的扰动方程组， 然后设扰动方程的形式解为 Ae
i ( kx t )
，代入方程组后，即可根据边界条件确定频率方程，
从而确定相速方程，这种方法为标准波型法。
q( x、y、z、t ) Qei ( kxly mz t ) 为空间三维的波动状态； q Q( y、z )ei ( kxt ) 为三维空间在 x 方向的波动。
du 1 p dt x 0 u d 0 x dt T T0 常值
假设大气基本状态是静止大气，试将方程组线性化，求出频率方程，讨论速度扰动 (u ) 、密 度扰动 ( ) 、气压扰动 ( p) 的振幅和位相之间的关系。 提示：线性化方程组为
1 1 A 2 A1 cos ( xk t ), ( xk t ) 2 2
6.证明群速 c g 也可表示成以下形式
cg
c2 c dc d
答：由 cg
d 1 1 1 c2 dk d 1 dc dc dk ( ) 2 c d d c c c d d
的一般解(其中 c 为常值)。 2.在研究简谐波振幅的增强、减弱的可能性时，可设波动解的形式为
Aet cos(kx t kx0 )
式中 A 是振幅， 是振幅增长因子， x0 是初位相，试证明这一表达式可写成
Re( Beik ( xct ) )
100
这里的 B 和 c 都是复数。试用 A、 、k、、x0 确定 B 和 c 。 解：由已知 Ae cos(kx t kx0 ) 可得
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( xk t ) 2 ( A12 A2 )(1
2 A1 A2 cos( xk t )) 2 A12 A2
tan
A2 sin( xk t ) A2 A2 cos( xk t )
5.证明上题中若振幅 A1 A2 ，波包迹传播的速度，即群速为 cg d / dk 。 提示： A1 A2 时，利用半角的三角函数恒等式，可得
f 2 i L ( xct ) 2i Fe x L
98
2
由微扰动基本假设，则
f 也是小量，因而要求 F L 。所以将微扰动法用于研究 x
波动问题，只适用于研究小振幅波动。 4.什么是标准波型法？设波动解为
Ae i ( kxly mz t )
它与
A( y, z )e i ( kxt )
令
A cos A1 A2 cos(kx t ) A sin A2 sin(kx t )
则 1 2 A cos cos(kx t ) A sin sin(kx t ) A cos(kx t )
A2 ( A cos ) 2 ( A sin ) 2 [ A1 A2 cos(kx t )]2 [ A2 sin(kx t )]2
u 1 p t x 0 u 0 t x p RT0
5.什么叫频散波？什么叫非频散波？群速和相速有何差别？ 答：若相速不仅依赖于介质的物理性质，还依赖于波数，称为频散波。 若相速仅依赖于介质的物理性质，不依赖于波数，称为非频散波。 群速 c g 是群波中具有相同振幅点的移动速度；而相速 c 是群波中具有同位相思安的移动速 度。 6.什么叫外波？什么叫内波？ 答：在外部条件的作用下才能存在的波称为外波。 在外部条件受到限制的条件下在流体内部存在的波动，称为内波。 7.什么叫纵波？什么叫横波？ 答：振动方向与波传播方向一致的波动称为纵波。 振动方向与波传播方向相垂直的波动称为纵波。 8.大气声波、重力外波、重力内波、惯性波、罗斯贝波产生的物理机制是什么？ 答：声波：由大气的可压缩性引起。 重力外波：由大气上、下界面的扰动和重力的作用引起。 重力内波：由大气的稳定层结和重力的作用而形成。 惯性波：在科氏力的作用下形成。 罗斯贝波：是在准水平的大尺度移动中，由于 效应维持绝对涡度守恒而形成的。 9.大气基本波动中，从最快的声波到最慢的罗斯贝波其形成过程中水平速度散度的作用如 何？ 答：通过水平辐合辐散交替变化而使得波得益传播。 10.什么是拉姆波？有人认为拉姆波具有重力惯性外波的特征，你对此有何看法？ 答：考虑地球旋转作用，在静力平衡大气中还可以产生一种只在水平方向传播的特殊声波， 称为拉姆波。 因为重力惯性外波和拉姆波在动力学上是同源的。
t
ReAet e i ( kxt kx0 )
ik ( x t i t ) i ) t ikx0 ik [ x( k k k k Re Aet i ( kxt kx0 ) Re Ae ikx0 e Re Ae e
f 组成的，即设： f f f ；
②基本场变量表明大气的基本运动状态，它满足基本方程和边界条件； ③假设扰动量 f 是充分小的，扰动量和其他改变量都是小量，其二次以上乘积项可以略去 不计。 如果扰动是周期性波动，扰动量充分小，意指波动振幅远小于波长，即若 f Fe 则
i 2 ( x ct ) L
第七章
大气中的基本波动
复习思考题
1.什么是简谐平面波？描写简谐平面波特征引进了哪些波参数？其含义是什么？他们之间 有什么关系？ 答：由简谐平面波稳定的传播所形成的波动称为简谐波，若波面为平面，则合称为简谐平面 波。 A、k、、 以及 L、T、c、v 统称为波参数。 A ：振幅，物体离开平衡位置的最大位移。 k ：波数，它代表在 2 距离内含波长为 L 的波动数目。 ：波动圆频率，只与振动系统本身属性有关。 ：初位相 L ：波长，固定时间，两个同位相点的距离。 T ：波动周期，空间固定位置上的点完成一次全振动所需的时间。 c ：相速，等位相面沿传播方向移动的速度为相速。 v ：频率，单位时间内完成振动的次数。 2.设空气纬向速度波动解为
dp 0 ，则可滤去拉姆波。 dt
13.从物理上说明准地转近似或准水平无辐散近似可以滤去重力惯性波。 答：若满足准地转关系，则水平气压梯度力可抵消由于地球旋转产生的科氏力，则无重力惯性波。 若满足准水平无辐散，则不能传播，也可滤去重力-惯性波。 14.什么叫包辛内斯可近似？什么叫滞弹性近似？采用包辛内斯可近似或滞弹性近似为什么 可以滤去声波？ 答：如果在运动方程中部分考虑密度扰动的影响，即只保留与重力相耦合的密度扰动项；连 续方程中忽略密度扰动影响； 热力学能量方程保留密度扰动影响。 这种热力学近似叫作滞弹 性近似。 在滞弹性近似基础上，若考虑的是浅层运动，连续方程可简化为不可压缩形式，对于密度扰 动，可只保留膨胀的作用，即取
在同一介质中传播，证明合成波为一个振幅被调制的简谐波，即有
1 2 A cos(kx t )
式中Biblioteka Baidu
2 A 2 ( A12 A2 )(1
2 A1 A2 cos( xk t )) 2 A12 A2
tan
解：由
A2 sin( xk t ) A2 A2 cos( xk t )
u 15 cos(2 x 650t )
速度的单位是 m s ， x 以 m 为单位， t 以 s 为单位，求波的振幅、波长、波数、圆频率、 周期、相速。 答：由波动解 u 15 cos(2 x 650t ) 则 A 15m, 650rad / s, k 2, L
101
2 A2 cos[(k k ) x ( )t ) A2 cos[(kx t ) (kx t )] A2 {cos(kx t ) cos(kx t ) sin(kx t ) sin(kx t )] A2 cos(kx t ) cos(kx t ) A2 sin( kx t ) sin(kx t )
u u 2u 3u u 2 3 t x x x
式中 、 为实参数，试讨论波动无耗散、波动无频散、波动无频散但有耗散及波动无耗散 但有频散的条件。 提示： 0 ， 无耗散； 0 ， 无频散； 0、 0 ， 无频散但有耗散； 0、 0 ， 无耗散但有频散。 9.等温大气条件下，一维声波方程为
x X cos Y sin y X sin Y cos z Z
cos k l , sin K K
4.设有两列波动
1 A1 cos(kx t ) 2 A2 cos[(k k ) x ( )t )
7.对于二维简谐平面波有
A( z )ei ( kxly t )
若 ( K ) ，试证明相速度矢量 c 与群速矢量 c 是共线矢量 ( K k l ) 。
2 2 2
102
8.振幅不随时间衰减的波动称为无耗散波动，振幅随时间衰减的波动则称为有耗散的波动， 设波动方程为
令 B Ae
ikx0
，则可写为 Re Be
ik ( x ct )
即 B A cos kx iA sin kx, c
i k k
3.寻找一个坐标系 ( X、Y、Z、t ) ，使得由
( x、y、z、t ) A( z )ei ( kxly t )
表征的简谐波只沿 X 方向传播。 解：若波数矢量 k 与 x 轴夹角为 ，将原坐标系 x 轴旋转 角就是所求的坐标系，这个坐标 系之间关系为
这种近似为包辛内斯可近似。 15.研究中小尺度运动如何滤去罗斯贝波？ 答：设中小尺度系统无南北运动。 习题 1.证明 ( x ct ) 是波动方程
(1)
c 0 t x 2 2 ( 2) 2 c 2 2 0 t x
(1) ( 2)