八年级初二数学 数学二次根式试题及解析
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【详解】
解：（1）原式=
=
=
=
= ；
（2）∵ ，
∴2a+6=0，b－ =0，
∴a=－3，b= ；
（3）∵abc＝1，
∴ ， ，
∴原式=
=
=1.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.
18．将一组数 ，2， ，2 ， ，…，2 按图中的方法排列：
若3 的位置记为（2，3），2 的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．
19．已知 是整数，则正整数n的最小值为___
20．化简： ＝_____．
三、解答题
21．计算： ．
【答案】
【分析】
先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.
【答案】（1） ；（2）a=－3，b= ；（3）1.
【分析】
（1）先将式子进行变形得到 ，此时可以将其化简为 ，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；
（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a+6=0，b－ =0，从而可求出a、b；
（3）根据abc＝1先将所求代数式转化： ， ，然后再进行分式的加减计算即可.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： =－.
(2)计算： ＋…＋ ；
(3)若a＝ ，求4a2－8a＋1的值．
【答案】(1) ，1；(2) 9；(3) 5
【分析】
（1） ；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；
12．已知 ，则 ________．
13．已知x= +1，y= -1，则x2+xy+y2=_____．
14．实数a、b满足 ，则 的最大值为_________．
15．方程 的解是______．
16．已知：x= ，则 可用含x的有理系数三次多项式来表示为： =_____．
17．已知m=1+ ，n=1﹣ ，则代数式 的值________．
有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn= ，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得 化简．
例如：∵5+2 =3+2+2 =（ ）2+（ ）2+2 =（ + ）2
∴ = = +
请你仿照上例将下列各式化简
（1） ，（2） ．
【答案】（1）1+ ；（2） .
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D． （a≥0，b≥0）
8．下列运算正确的是（）
A． B． C． D．
9．下列运算一定正确的是
A． B． C． D．
10．下列运算正确的是（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若m＝ ，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝_____．
①所有无限小数都是无理数；② 的平方根是 ；③ ；④数轴上的点都表示有理数
A． 个B． 个C． 个D． 个
6．对于已知三角形的三条边长分别为 , , ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式： ，其中 ,若一个三角形的三边长分别为 , , ，则其面积（）
27．先观察下列等式，再回答下列问题：
① ；
②
③
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n的等式表示（n为正整数）．
【答案】(1) (2) （n为正整数）
【解析】
试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．
【详解】
=
=
= .
【点睛】
此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.
22．小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2－8a＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a＝ ＝ ＝2－ ，
所以a－2＝－ .
所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.
所以a2－4a＝－1.
所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
【分析】
参照范例中的方法进行解答即可.
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ .
26．先化简，再求值：a+ ，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；
（3）先化简，再求值：a+2 ，其中a＝﹣2018．
【答案】（1）小亮（2） =-a（a＜0）（3）2013.
（3）首先化简 ，然后把所求的式子化成 代入求解即可.
【详解】
(1)计算： ；
(2)原式 ；
(3) ，
则原式 ，
当 时，原式 .
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.
23．计算
(1) ;
(2)已知a、b是实数，且 + ＝0.求a、b的值
(3)已知abc＝1，求 的值
一、选择题
1．若 ，化简 （ ）
A． B． C． D．
2．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B百度文库 C． D．
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（）
A． B． C． D．
5．下列说法错误的个数是（ ）
【解析】
试题分析：（1）根据二次根式的性质 =|a|，判断出小亮的计算是错误的；
（2）错误原因是：二次根式的性质 =|a|的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可.
试题解析：（1）小亮
（2） =-a（a＜0）
（3）原式＝a+2 ＝a+2（3-a）＝6-a=6-（-2007）＝2013.
24．先将 化简，然后选一个你喜欢的x的值，代入后，求式子的值.
【答案】答案见解析.
【解析】
试题分析：
先把除式化为最简二次根式，再用二次根式的乘法法则化简，选取的x的值需要使原式有意义.
试题解析：
原式
要使原式有意义,则x＞2.
所以本题答案不唯一,如取x＝4.则原式＝2
25．阅读下面的解答过程，然后作答：
解：（1）原式=
=
=
=
= ；
（2）∵ ，
∴2a+6=0，b－ =0，
∴a=－3，b= ；
（3）∵abc＝1，
∴ ， ，
∴原式=
=
=1.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.
18．将一组数 ，2， ，2 ， ，…，2 按图中的方法排列：
若3 的位置记为（2，3），2 的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．
19．已知 是整数，则正整数n的最小值为___
20．化简： ＝_____．
三、解答题
21．计算： ．
【答案】
【分析】
先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.
【答案】（1） ；（2）a=－3，b= ；（3）1.
【分析】
（1）先将式子进行变形得到 ，此时可以将其化简为 ，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；
（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a+6=0，b－ =0，从而可求出a、b；
（3）根据abc＝1先将所求代数式转化： ， ，然后再进行分式的加减计算即可.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： =－.
(2)计算： ＋…＋ ；
(3)若a＝ ，求4a2－8a＋1的值．
【答案】(1) ，1；(2) 9；(3) 5
【分析】
（1） ；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；
12．已知 ，则 ________．
13．已知x= +1，y= -1，则x2+xy+y2=_____．
14．实数a、b满足 ，则 的最大值为_________．
15．方程 的解是______．
16．已知：x= ，则 可用含x的有理系数三次多项式来表示为： =_____．
17．已知m=1+ ，n=1﹣ ，则代数式 的值________．
有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn= ，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得 化简．
例如：∵5+2 =3+2+2 =（ ）2+（ ）2+2 =（ + ）2
∴ = = +
请你仿照上例将下列各式化简
（1） ，（2） ．
【答案】（1）1+ ；（2） .
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D． （a≥0，b≥0）
8．下列运算正确的是（）
A． B． C． D．
9．下列运算一定正确的是
A． B． C． D．
10．下列运算正确的是（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若m＝ ，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝_____．
①所有无限小数都是无理数；② 的平方根是 ；③ ；④数轴上的点都表示有理数
A． 个B． 个C． 个D． 个
6．对于已知三角形的三条边长分别为 , , ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式： ，其中 ,若一个三角形的三边长分别为 , , ，则其面积（）
27．先观察下列等式，再回答下列问题：
① ；
②
③
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n的等式表示（n为正整数）．
【答案】(1) (2) （n为正整数）
【解析】
试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．
【详解】
=
=
= .
【点睛】
此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.
22．小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2－8a＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a＝ ＝ ＝2－ ，
所以a－2＝－ .
所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.
所以a2－4a＝－1.
所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
【分析】
参照范例中的方法进行解答即可.
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ .
26．先化简，再求值：a+ ，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；
（3）先化简，再求值：a+2 ，其中a＝﹣2018．
【答案】（1）小亮（2） =-a（a＜0）（3）2013.
（3）首先化简 ，然后把所求的式子化成 代入求解即可.
【详解】
(1)计算： ；
(2)原式 ；
(3) ，
则原式 ，
当 时，原式 .
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.
23．计算
(1) ;
(2)已知a、b是实数，且 + ＝0.求a、b的值
(3)已知abc＝1，求 的值
一、选择题
1．若 ，化简 （ ）
A． B． C． D．
2．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B百度文库 C． D．
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（）
A． B． C． D．
5．下列说法错误的个数是（ ）
【解析】
试题分析：（1）根据二次根式的性质 =|a|，判断出小亮的计算是错误的；
（2）错误原因是：二次根式的性质 =|a|的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可.
试题解析：（1）小亮
（2） =-a（a＜0）
（3）原式＝a+2 ＝a+2（3-a）＝6-a=6-（-2007）＝2013.
24．先将 化简，然后选一个你喜欢的x的值，代入后，求式子的值.
【答案】答案见解析.
【解析】
试题分析：
先把除式化为最简二次根式，再用二次根式的乘法法则化简，选取的x的值需要使原式有意义.
试题解析：
原式
要使原式有意义,则x＞2.
所以本题答案不唯一,如取x＝4.则原式＝2
25．阅读下面的解答过程，然后作答：