2020年中考数学专题复习 圆课件
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同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角
的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆或直径所对的圆周角相等，都等于90度; 90度的圆周角所对的弦是直径;所对的弧是半 圆.
一、垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
六.圆与圆的位置关系
交点个数 名称
d
R
r
0
外离
1
外切
2
相交
1
内切
d , R , r 的关系 d>R+r d=R+r R-r< d < R+ r d = R -r
0
内含
同心圆是内含的特殊情况
d < R -r
七.三角形的外接圆和内切圆：
A
A
O
I
C
B
C
B
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
.o .p r
.p .o
Op＜r Op=r Op＞r
点p在⊙o内 点p在⊙o上 点p在⊙o外
.o .p
不在同一直线上的三个点确定一个圆
（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角 形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）
反证法的三个步骤：
1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
3、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可 以是（D ）
A、1∶2∶3∶4
B、1∶3∶2∶4
C、4∶2∶3∶1
D、4∶2∶1∶3
五.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
1、直线和圆相交
d < r;
2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
d = r; d > r.
r ●O
d
┐ 相离
推论:直径所对的圆周角是 直角 .
90°的圆周角所对的弦是 直径 .
判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×)
(2)相等的圆周角所对的弧相等. (×)
(3) 等弧所对的圆周角相等.
(√)
练习检测
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60°，
OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=__4_0__，BC=_2_0___3___；
(错 )
例 ⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是_2_c_m 或14cm .
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
三、圆周角定理及推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧 所对的圆心角的一半.
切线的判定定理
定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径 的直线 是圆的切线.
如图
∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA,
∴ CD是⊙O的切线.
●O
C
A
D
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要 作出过这一点的半径，再证明直线垂直
于这条半径即可；
2、如果不明确直线与圆的交点，往往要 作出圆心到直线的垂线段，再证明这条
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内 对角
练习检测
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分
别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 （ D）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM= _3____ cm.
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
┗●
M
●O
B
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
垂线段等于半径即可．
练习检测
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的 弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm；
2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，A
P
B
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；
O
3、下列四个命题中正确的是（ ）
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的 半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径 的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此 直径的直线是该圆的切线．
2、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么
∠OBC等于 ( c)；
A．15° B．45° C．30° D．60°
3、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，
∠BOC= 140° ；若O为△ABC的内心，∠BOC= 125° ．
C
D
A
O
B 图1
图2
四、点和圆的位置关系
1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点 所组成的图形叫做圆；其中定点称为圆心，定长称为 半径。
2．圆有对称性 （1）圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线； 对称轴有无数多条。
（2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 （3）圆具有旋转不变性。 3.圆中的有关概念： （1）弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦，经过 圆心的弦是直径．
（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆 的弧叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧。半圆也是弧．
（3）等弧：在同或等圆中，能够完全重合的弧叫等 弧。
4．圆心角、弧、弦三者之间的关系： (1).在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弦相等，所对的弧相等；
(2).在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角 相等,圆心角所对的弧也相等； (3).相等的弧所对的圆心角相等,所对的弦相 等.（三者知一得二） 5．圆周角定理及推论
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
本质
性质
三角形的外心 三角形三边垂直平分线的交点 三角形的内心
三角形三内角角平分线的交点
到三角形各顶点 的距离相等
到三角形各边的 距离相等
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
锐角三角形的外心位于三Baidu Nhomakorabea形内,
●O
B
C
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
切线长定理及其推论:
从圆外一点向圆所引的两条切线长
相等;并且这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角.
∵PA,PB切⊙O于A,B
P
1 2
A ●O
∴PA=PB ∠1=∠2
的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆或直径所对的圆周角相等，都等于90度; 90度的圆周角所对的弦是直径;所对的弧是半 圆.
一、垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
六.圆与圆的位置关系
交点个数 名称
d
R
r
0
外离
1
外切
2
相交
1
内切
d , R , r 的关系 d>R+r d=R+r R-r< d < R+ r d = R -r
0
内含
同心圆是内含的特殊情况
d < R -r
七.三角形的外接圆和内切圆：
A
A
O
I
C
B
C
B
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
.o .p r
.p .o
Op＜r Op=r Op＞r
点p在⊙o内 点p在⊙o上 点p在⊙o外
.o .p
不在同一直线上的三个点确定一个圆
（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角 形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）
反证法的三个步骤：
1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
3、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可 以是（D ）
A、1∶2∶3∶4
B、1∶3∶2∶4
C、4∶2∶3∶1
D、4∶2∶1∶3
五.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
1、直线和圆相交
d < r;
2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
d = r; d > r.
r ●O
d
┐ 相离
推论:直径所对的圆周角是 直角 .
90°的圆周角所对的弦是 直径 .
判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×)
(2)相等的圆周角所对的弧相等. (×)
(3) 等弧所对的圆周角相等.
(√)
练习检测
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60°，
OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=__4_0__，BC=_2_0___3___；
(错 )
例 ⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是_2_c_m 或14cm .
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
三、圆周角定理及推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧 所对的圆心角的一半.
切线的判定定理
定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径 的直线 是圆的切线.
如图
∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA,
∴ CD是⊙O的切线.
●O
C
A
D
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要 作出过这一点的半径，再证明直线垂直
于这条半径即可；
2、如果不明确直线与圆的交点，往往要 作出圆心到直线的垂线段，再证明这条
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内 对角
练习检测
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分
别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 （ D）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM= _3____ cm.
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
┗●
M
●O
B
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
垂线段等于半径即可．
练习检测
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的 弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm；
2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，A
P
B
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；
O
3、下列四个命题中正确的是（ ）
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的 半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径 的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此 直径的直线是该圆的切线．
2、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么
∠OBC等于 ( c)；
A．15° B．45° C．30° D．60°
3、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，
∠BOC= 140° ；若O为△ABC的内心，∠BOC= 125° ．
C
D
A
O
B 图1
图2
四、点和圆的位置关系
1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点 所组成的图形叫做圆；其中定点称为圆心，定长称为 半径。
2．圆有对称性 （1）圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线； 对称轴有无数多条。
（2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 （3）圆具有旋转不变性。 3.圆中的有关概念： （1）弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦，经过 圆心的弦是直径．
（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆 的弧叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧。半圆也是弧．
（3）等弧：在同或等圆中，能够完全重合的弧叫等 弧。
4．圆心角、弧、弦三者之间的关系： (1).在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弦相等，所对的弧相等；
(2).在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角 相等,圆心角所对的弧也相等； (3).相等的弧所对的圆心角相等,所对的弦相 等.（三者知一得二） 5．圆周角定理及推论
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
本质
性质
三角形的外心 三角形三边垂直平分线的交点 三角形的内心
三角形三内角角平分线的交点
到三角形各顶点 的距离相等
到三角形各边的 距离相等
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
锐角三角形的外心位于三Baidu Nhomakorabea形内,
●O
B
C
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
切线长定理及其推论:
从圆外一点向圆所引的两条切线长
相等;并且这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角.
∵PA,PB切⊙O于A,B
P
1 2
A ●O
∴PA=PB ∠1=∠2