第八章有限脉冲响应数字滤波器

有限脉冲响应
数字滤波器（FIR DF）的设计
8.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点
FIR DF的定义：如果一个DF的输出y(n)，仅取 决于有限个过去的和现在的输入x(n)，则称这种DF 为FIR DF。
FIR DF的系统转移函数为：
N-1
H（z)=
h(n)z-n
n=0
h(n)各个样点值与滤波器的各个系数对应相等。
Hg()e jM
M
Hg ( ) h(M ) 2 h(M n) cos(n ) n 1
M
a(n) cos(n ) n0
a(n)
h(M ) 2 h ( M
n n)
0 1
n
M
由于式中cos(n) 项对ω=0,π,2π皆为偶对称，因此幅度
特性的特点是对ω=0,π,2π是偶对称的。
相位特性： () M N 1
2
N 1,
2
0 0
显然，它是ω的线性函数。可以实现所有滤波特性
2) h(n)=h(N-n-1), N=偶数
设N=2M, 则h(n)的对称中心为 N 1 M 1 ,h(n)的对称
2
2
关系可写为： h(M-n)=h(M-1+n), 1≤n≤M
N 1
H (e j ) h(n)e jn n0
1、 2、
偶对称h(n)=h(N-1-n) N为奇数N1, 偶对称h(n)=h(N-1-n) N为偶数 2
0 0
3、 4、
奇对称h(n)=-h(N-1-n) 奇对称h(n)=-h(N-1-n)
N为奇数N1, N为偶数 2
02
二、线性相位FIR DF幅度特性Hg(ω)的特点
1、h(n)=h(N-n-1), N=奇数
d ( ) d
所以也称θ(ω)= θ0 -τω为近似线性相位
下面讨论h(n)、τ、θ0要满足什么条件，可使 H (e j )
具有线性相位：
H(e j )
Hg()e j(0)
N 1
h(n)e jn
n0
可得
N 1
Hg()cos(0 ) h(n)cos(n) n0
N1
Hg()sin(wenku.baidu.com ) h(n)sin(n)
可知：Hg(ω)对ω=π点呈奇对称,且在ω=π 处
有一零点。对于高通和带阻不适合
() (M 1) N 1
2
2
N 1,
2
0 0
3) h(n)=-h(N-n-1), N=奇数
设N=2M+1，则h(n)的对称中心为M= N 1
,
2
h(M)=0，除h(M)外其余各项满足：
h(M-n)=-h(M+n), 1≤n≤M
可证明：
H
( e j )
j( M )
H g ( )e 2
M
H g ( ) 2 h ( M n 1
M
c (n ) sin (n ) n 1
c(n ) 2 h (M n )
n ) sin (n ) 1 n M
( ) M 2
M ,
0
2
Hg(ω)对ω=0和ω=π均呈奇对称。只能实现带通滤波器
其中 H g ( ) 称为幅度特性，为可正可负的实函数 ( ) 为相位特性
如果相位 θ(ω) 满足：
θ(ω)=-τω, τ为常数
则称 H (e j ) 具有线性相位 或 ：如果θ(ω)满足下式：
θ(ω)=θ0-τω, θ0是起始相位，τ为常数。
也称 H (e j ) 具有线性相位特性
严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位，但由于满足 群时延是一个常数，即
FIR DF有以下特点： 1、∵h(n)是有限长的 ∴它永远是稳定的 2、如果对h(n)提出一些约束条件，很容易使H（Z）
具有线性相位。
一、 线性相位条件 FIR DF的系统函数为：
H（z)=N-1h(n)z-n n=0
令 z e j 代入，得：
N1
H(ej) h(n)ejn n0
将 H (e j ) 表示成 H (ej)H g()ej()
M
M
h(M 1 n)e j(M 1n) h(M n)e j(M n)
n1
n1
j(M 1) M
e
2 [2
h(M
1 n) cos((n 1))]
n1
2
j(M 1 )
Hg()e
2
M
Hg() 2
h(M 1 n)cos((n 1))
n1
2
M b(n)cos((n 1))
n1
2
b(n) 2h(M 1 n) 1 n M
两式相除得：
n0
N 1
c o s ( 0 ) s in ( 0 )
h (n ) cos(n )
n0
N 1
h (n ) sin(n )
n0
N 1
h (n ){sin[(n ) 0 ]} 0 n0
N1
h(n){sin[(n)0]}0
n0
所以，如果h(n)是以
N
2
1
为中心作偶对称（即
4) h(n)=-h(N-n-1), N=偶数
N=2M，对称中心为M-1/2 。h(M-1+n)=-h(M-n) 1nM
H
(e
j
)
H g (
)e
j (( M
1 ) )
22
M
H g ( ) 2
h(M
1 n ) sin ((n 1 ) )
n 1
2
M d ( n ) s i n ( ( n 1 ) )
2
所以，满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列 且对(N-1)/2偶对称，即h(n)=h(N-n-1)。满足第二类 线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称， 即h(n)=-h(N-n-1)
相对于N为奇数和偶数，线性相位FIR DF的h(n)具有
四种形式，它们对应了不同类型的滤波器。
n 1
2
d (n) 2h(M 1 n) 1 n M
( ) (M 1 ) 22
关于 ωM=0、12 ω, =2 π0 奇 对2 称， ω=π偶对称，不能实现低
h(n)=h(N-1-n)
）,那么 sin[(n)0]
就必须是以 N
2
1
为中心作奇对称。这等效地要求：θ0=0, τ=.N 1
反之，如果h(n)是以 N 1
2
为中心作奇对称（即
2
h(n)=-h(N-1-n)）,则要求 sin[(n)0]是以
N
2
1
为中心的偶对称。这等效地要求：
0
=
2
, = N 1
设 N=2M+1, 则h(n)的对称中心为M= N 1
,
2
除h(M)外其余各项满足：h(M-n)=h(M+n), 1≤n≤M
∴
N1
H(ej) h(n)ejn
n0
h(M)ejM M h(Mn)ej(nM) M h(Mn)ej(Mn)
n1
n1
ejM[h(M)2 M h(Mn)cos(n)] n1