离散数学第六章 集合-自然数与自然数集.

4 ={Ø ，{Ø }，{Ø ，{Ø }}，{Ø ，{Ø }，{Ø ，{Ø }}}}
┅ ┅ ┅ ┅
自然数的定义
0=Ø 1={0}=0+ 2={0，1}=1+ 3={0，1，2}=2+ 4={0，1，2，3}=3+ ┅┅┅┅ 定义2 对于一个集合S， 如果它是空集Ø（亦即0 ）， 或者有一个自然数n ，使得S=n+ ， 则称S为一个自然数。
第二归纳法
若 n=0时命题成立， 假定当n 小于等于k 时命题成立，可以证明 n等于k+1 时命题也成立。
则对于一切自然数命题成立。
这种归纳方法又叫第二归纳法。
性质
①设n1,n2和n3是三个任意的自然数，若
n1∊n2,n2∊n3，则n1∊n3 。 ②设n1和n2是两个任意的自然数，则下述三个 式中有一个成立： n1∊n2, n1=n2, n2∊n1 ③设S是自然数集的任意非空子集，则存在 n0∊S ，使得n0∩S=Ø。
后继、前驱
对于任意两个自然数m和n， 如果m=n+，即 m=n∪{n}， 称m为n的后继，可以记为 m=n+1， 也称n为m的前驱，也可以记为 n=m-1。
自然数集 N
定义3 存在一个由所有自然数组成的集 合叫自然数集，记为
N
皮亚诺公设(Peano’s Axioms)
设N表示自然数集。则： 1．0∊N 2．如果n∊N，那么n+∊N ， 3．0不是任何自然数集的后继，即不存在自然数m∊N ，使得0=m+。 4．n和m均是自然数，如果n+=m+，那么n=m。 5．如S是N的子集，有性质 (1) 0∊S, (2) 如果n∊S，那么n+∊S ， 则有 S=N。
所以归纳得证S=N。
1908年Zermelo(蔡梅罗)定义的自然数
0=Ø 1={Ø } 2={{Ø }} 3={{{Ø }}} 4 ={{{{Ø }}}} ┅ ┅ 显然， 0∊1∊2∊3∊4∊ ┅ ┅ 但“∊”不满足传递性，未能准确刻画出自然 数本身所固有的良好性质。
例 求证：对于任意自然数m和n， 若n∊m, 则n+∊m或者n+=m之一成立.
例1 (传递性)
设n是一个自然数，求证：
若n1和n2为两个集合，且n1∊n2，n2∊n，则n1∊n。
设
S={n∊N│若有n1,n2, 且n1∊n2，n2∊n，则n1∊n}，
要证S=N。 证明思路： 0∊S ? 若n∊S，n+=n+1∊S?
✔
例1证（续）
若n∊S，要证n+=n+1∊S。 设有两个集合n1和n2，且 n1∊n2，n2∊n+=n∪{n}。 因n2∊n∪{n}，所以n2∊n或者n2∊{n}。 若n2∊n，由于n∊S，所以n1∊n。 若n2∊{n}，则n2=n，即n1∊n2=n。 综上所述n1∊n ⊆ n∪{n}=n+, 故 n+=n+1 ∊S。
自然数
0=Ø
(冯· 诺03年12月28日生于匈牙利,1957年2月8日卒于美国)
1={Ø }
2={Ø ，{Ø }}
3={Ø ，{Ø }，{Ø ，{Ø }}}
1={0} 2={0，1}=1+ 3={0，1，2}=2+ 4={0，1，2，3}=3+ ┅┅┅┅
第六章 集合
6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理
后继： A+ =A∪{A}
定义1 A是一个给定的集合，存在一个集合叫做 A的后继，记为A+ 。 例 设A={a}, 则 A+= {a}∪{{a}} = {a, {a}} 例 设B={a,b}, 则 B+={a,b}∪{{a,b}} = {a,b,{a,b}}
数学归纳法——皮亚诺公设的第5条
设n是一个自然数， P(n)表示一个与n有关的公式或命题， 令 S={n∊N│P(n)为真} 。
若证明了 P(0)为真，也即0∊S (归纳基础)； 若P(n)为真，则P(n+) 也为真， 即若n∊S，则n+∊S ( 归纳步骤)。 则由皮亚诺公设第5条, 得S=N。
例2
(p69)
证明：对于任意自然数m和n，都有 m∊n或者m=n或者n∊m之一成立。
证明：对n用归纳法。 当n=0时， n=Ø. 显然, 对于任意的自然数m, 只有两种情况： m=Ø, 或者 Ø ∊m (对于非0自然数) 即有 m=n, 或者n∊m之一成立.
可以对m运用数学归纳法证明(详见教材)
例2 证明：对于任意自然数m和n，都有 m∊n或者m=n或者n∊m之一成立。
证明：对m用归纳法。 若m=n+，则 n∊m成立, 此时有n+=m 。 归纳假设对任意的m， 若n∊m，则n+=m，或者n+∊m之一成立。 考察m+=m∪{m}, 若n ∊m+={m}∪m， n ∊{m}∪m
n =m n+ =m+
n ∊m
n+=m
n+ ∊m
n+ ∊m+
例 求证：对于任意自然数m和n， 若n∊m, 则n+∊m或者n+=m之一成立.
证明：对m用归纳法。 若m=n+，则 n∊m成立, 此时有n+=m 。 归纳假设对任意的m， 若n∊m，则n+=m，或者n+∊m之一成立。 考察m+=m∪{m}, 若n ∊m+={m}∪m，则n=m，或者n∊m。 于是有n+=m+, 或者n+=m，或者n+∊m之一成立。 从而分别有n+=m+ ， 或者n+=m∊m+,或者n+∊m ∊m+ 之一成立, 即有n+=m+或者n+∊ m+之一成立。 所以归纳得证结论成立。
(p69)
当n=0时，已经证明了结论成立。
对n作归纳假设，假设对任意自然数m, 有n∊m, 或者n=m，或者m∊n三者之一成立。 现在考察对于n+=n+1的情况。 n∊m n+∊m n+=m n=m m∊n m∊n+
例2 证明：对于任意自然数m和n，都有 m∊n或者m=n或者n∊m之一成立。
(p69)
当n=0时，已经证明了结论成立。 对n作归纳假设，假设对任意自然数m, 有n∊m, 或者n=m，或者m∊n三者之一成立。 现在考察对于n+=n+1的情况。
n+=n∪{n}，对于任意自然数m， 若n∊m, 则由对m用归纳法可以证明 n+∊m或者n+=m之一成立(见前页)。 若n=m，则m∊{m}={n}，即m∊n∪{n}=n+。 若m∊n，则m∊n∪{n}=n+。 即对n+ 满足: 对于任意自然数m, 有m∊n+, 或者m=n+， 或者n+∊m三者之一成立。