运筹学-第3版-课件-动态规划例题

设决策变量xk 表示第k阶段赋给变量xk的值（k 1， 2， 3 ）
设状态变量sk表示从第k阶段到第3阶段约束右端最大 值，则s1=10。 设决策变量xk表示第k阶段赋给变量xk的值(k=1,2,3)。 状态转移方程：s2=s1-3x1, s3=s2-4x2。 阶段指标：v1(s1,x1)=4x1, v2(s2,x2)=5x2, v3(s3,x3)=6x3 基本方程： f k ( sk ) max{ vk ( sk , xk ) f k 1 ( sk 1 )}
阶段指标gk(xk, yk)表示第k阶段分配给第k种产品所用的 第一种，第二种原料数量分别为xk, yk所获得的收入。 基本递推方程为
f k ( sk , uk ) max g k xk , yk f k 1 ( sk 1 , uk 1 ) 0 x3 s3 0 y k u k f 4 ( s4 , u 4 ) 0
2
1
0.060
由上表知，x1*=1，f1(s1)=0.060，由s2=1查前面的表知， x2*=0；由s3=1查表得x3*=0。
因而此问题的最优解为 x 1, x 0, x 1 。即把两 名高级科学家分派到第１和第３两小组各一名，可使三 个小组都失败的概率减小到0.060。 注：此问题还有一种更简捷的解法，将它化为最短路 模型，即将各阶段状态作为结点，各小组失败的概率为 弧线上的数据，见下图。然后在图上用逆序法计算，计 算结果标于图上的方框• 内。 0.48 0.80 0.60 s2=0 s3=0
状态变量(sk,uk), sk表示第k阶段初至第３阶段可用于 分配的第一种原料数量，uk表示第k阶段初至第３阶段 可用于分配的第二种原料数量。 决策变量(xk,yk), xk, yk分别表示第k阶段分配第k种产 品用的第一种，第二种原料的数量，xk, yk取整数。
状态转移方程： sk+1=sk-xk uk+1=uk-yk
x3 s3
6x3+f4(s4) 0 1 2
f3(s3) 0
0 0 0 0
x3* 0
0 0 0 0 1
0
1 2 3 4 5
0
0 0 0 0 0 6
6
6 7 8
0 0 0
6 6 6
6 6 6
续表 1 1 1
9
10 当k=2时,有
0
0
6
6 12
6
12
1
2
f2(s2)=max{5x2+f3(s3)}=max{5x2+f3(s2-4x2)}
３.二维资源分配问题
例3 设现有两种原料，数量各为３单位，现要将这 两种原料分配用于生产３种产品。如果第一种原料以 数量xj单位，第二种原料以数量yj单位用于生产第j种产 品（j=1,2,3），所得的收入gj(xj,yj)如下表所示，问应如 何分配这两种原料于３种产品的生产，使总收入最大？
y
g1(x,y)
* 1 * 2 * 3
0.06 s1= 2
0.15
0.20
0.30 s2=1
0.16 s2=2
0.40
0.60 0.20 0.40 0.60
0.50 s3=1
0.30 s3=2
0.80
0.50
ss =0 =0 44
0.40
0.30
由上图可知，整个项目失败的概率为0.060，最优 路线为图中双线表示，即s1=2→ s2=1 → s3=1 → s4=0， * * * 由此可同样得出最优解为 x1 1, x2 0, x3 1。 因此，所有一维资源分配（离散型）均可化为最短 路问题来求解，在图上用逆序算法求解较简便。
（２）用逆序法求解
当k 3时
f 3 ( s3 , u3 ) max g 3 ( x3 , y3 )
0 x3 s3 0 y3 u 3
而s3 0,1,2,3, u3 0,1,2,3, 故f 3 ( s3 , u3 )即为表4.8中的 g ( x, y ).
当k=1时，有
f1 (s1 ) max{ 4 x1 f 2 (s2 )} max{ 4 x1 f 2 (s1 3x1 )}
s1 其中， 0 x1 3
而s1=10，故x1只能取0,1,2,3,由此确定f1(s1)。现将有关 数据列入表中。 x1 s1 10 4x1+f2(s1-3x1) f1(s1) 13 x1* 2 4 s2
因此，当s3=0,1,2,3,4时，x3=0；当s3=5,6,7,8,9时，x3可取 0或1；当s3=10时，x3可取0,1,2，由此确定f3(s3)。 现将有关数据列入表4.1中。
s3 (0 x3 ) 5 而s3 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ,[x]表示不超过x的最大整数。
0 1
2
0+0 0+0
0+0
0 0
0
0 0
0
0 1
2
3
0+0
0
0
3
4 5
6 7 8 9 10
0+0 0+6
0+6 0+6 0+6 0+6 0+12
5+0 5+0
5+0 5+0 5+0 5+6 5+6 10+0 10+0 10+0
5 6
6 6 10 11 12
1 0
0 0 2 1 0
0 5
6 7 0 5 10
８.１ 用动态规划方法求整数规划模型，而 非线性规划模型的最优解。 例１ 求解下列整数规划的最优解：
max Z 4 x1 5 x2 6 x3 3x1 4 x2 5 x3 10 s.t. x j 0 ( j 1,2,3), x j为整数
解 （１）建立动态规划模型： 阶段变量：将给每一个变量 x j 赋值看成一个阶段， 划分为３个阶段，且阶段变量 k 1,2,3
g2(x,y)
g3(x,y)
x 0
1 2 3
0 0
4 5 6
1 1
5 6 7
2 3
6 7 8
3 6
7 8 9
0 0
1 4 6
1 2
4 6 8
2 4
6 8 10
3ຫໍສະໝຸດ Baidu6
7 9 11
0 0
2 4 6
1 3
5 7 9
2 5
7 9 11
3 8
9 11 13
解 （１）建立动态规划模型
阶段变量：将两种原料分配用于生产每一种产品看 成一个阶段，则可将问题划分为３个阶段，即k=1,2,3。
当k=2时，
f 2 (s2 ) min v2 (s2 , x2 ) f 3 (s3 )
0 x2 s 2
计算结果如表所示：
s2 0 1 2
f2(s2,x2)=v2(s2,x2) f3(s3)
●
x2=0 0.48 0.30 0.18
x2=1
x2=2
x2* 0
f2(s2) 0.48 0.30 0.16
0
0+12
1
4+6
2
8+5
3
12+0
按计算顺序反推，由表可知，当x1*=2时，f1(s1)取得 最大值13。又由s2=4查前面的表可得x2*=1及s3=0 ，再者， x3*=0。因此，最优解为 x1*=2, x2*=1, x3*=0，最优值maxZ=13。 8.2 一维资源分配问题
例2 某科研项目由三个小组用不同方法独立进行研 究，它们失败的概率分别为0.40，0.60和0.80。为了减少 三个小组都失败的可能性，现决定暂派两名高级科学家 参加这一科研项目。把这两人分配到各组后，各小组仍 失败的概率如下表所示，问应如何分派这两名高级科学 家以使三个小组都失败的概率最小？
状态转移方程：sk+1=sk-xk。 } 允许决策集合：Dk(sk)={xk 0 xk sk , xk为整数 阶段指标vk(sk,xk)表示第k 个小组失败的概率。 过程指标函数Vk.n=
v ( s , x )。
i k i i i
3
因而基本方程采用乘积形式，即
f k ( sk ) min vk ( sk , xk ) f k 1 ( sk 1 ) 0 xk s k f 4 ( s4 ) 1
其中，a1=3,a2=4,a3=5。
xk (0 xk , k 3,2,1) ak f (s ) 0 4 4
（2）用逆序法求解：
当k=3时，
f 3 ( s3 ) max{ 6 x3 f 4 ( s4 )} max{ 6 x3}
0.32 0.20 0.16
0 2
当k=１时，
f1 (s1 ) min v1 (s1 , x1 ) f 2 (s2 )
0 x1 2
计算结果如表所示： s1 f1(s1,x1)=v1(s1,x1) f2(s2)
●
x1=0
0.064
x1=1
0.060
x1=2
0.072
x1*
f1(s1)
（２）采用逆序法求解： 当k=3时，
f 3 ( s3 ) min v3 ( s3 , x3 )
0 x3 s3
因为s4=s3-x3=0，所以x3=s3（即尚未分配给第１ 和第２小组的全部分配给第３小组）。计算结果如表 所示：
s3
0 1 2
x3*
0 1 2
f3(s3)
0.80 0.50 0.30
高级科学家的 人数
小 1
组 2 3
0 1
2 解
0.40 0.20
0.15
0.60 0.40
0.20
0.80 0.50
0.30
（１）建立动态规划模型
按小组数将问题划分为３个阶段，阶段变量k=1,2,3。
状态变量sk表示第k阶段初可用于分配的科学家数，s1=2。
决策变量xk表示第k阶段分配给第k个小组的高级科学家 人数。
其中
s2 0 x2 4
而s2 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. 所以当s2=0,1,2,3时，
由此确定f2(s2)。现将有关数据列入表中。 s2 x2 5x2+f3(s2-4x2) 0 1 2 f2(s2) x2* s3
x2=0；当s2=4,5,6,7时，x2=0或1；当s2=8,9,10时，x2=0,1,2。