n第十三章 动能定理

第十三章 动能定理

O 转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A ，B ，质。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按

以N ·m 计，ϕ以rad 计）

。求0=ϕ到πϕ2=时，力偶M 与

()2109.7M A B

2A

B 0

W W W W 4d m

m g r J

π

ϕϕπ=++=

⋅+-=⎰

13-2 图示坦克的履带质量为m ，两个车轮的质量均为1m ，车轮视为均质盘，半径为Ｒ，两车轮轴间距离为R π．设坦克前进速度为v ，计算此质点系的动能。

解：

1. 先研究车轮，车轮作平面运动，角速度

R

v

=

ω；两车轮的动能为 212212112

3

2121212v m R m v m T =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=ω

图13-2

2. 再研究坦克履带，AB 部分动能为零，

CD 部分为平动，其速度为2v ；圆弧 AD 与BC 部分和起来可视为一平面

运动圆环，环心速度为v ，角速度为R

v =ω ， 则履带的动能为 ()222222222

22

212212421v m R m v m v m T =++=

ω 3. 此质点系的动能为 ()22121232

1

v m m T T T +=

+= 13-3题

解：P 为B 运动的瞬心，以B

则：a e r v v v =+

且：,,r e a B v r v v v v ω=== 故：B e r v v v v r ω=+=+ 则该系统的动能为：

2222222

111222

111 ()242

B B T mv J Mv m v r mr Mv ωωω=

++=+++

13-4均质连杆AB 质量为4kg ，长l=600mm 。均质圆盘质量为6kg ，半径r=100mm 。弹

簧刚度为k=2 N/mm ，不计套筒A 及弹簧的质量。如连杆在图示位置被无初速释放后，A 端沿光滑杆滑下，圆盘做纯滚动。求：（1）当AB 达水平位置而接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度；（2）弹簧的最大压缩量δ。

图13-3

s rad l

g

W T T l

m g W m l T

T V A h A AB AB A /952.42330sin 2)3

1(210)1(1202221==

=-==

=∑∑ωω的速度为时，物体下落设物体

13-5如图所示，质量为m 的滚子A 沿倾角为θ的斜面向下只滚不滑，并借助于跨过滑轮B 的绳提升质量亦为m 的物体C ，同时质量为m 的均质滑轮B 绕O 轴转动，滚子A 和

滑轮B 的半径相等，求物块C 的速度和加速度。

解：设滚子质心下滑距离S 时，质心的速度为ν

以整体为研究对象，设滚子半径为R ，初始动能为1T =常量 该系统的动能为

2222

2221311122222

A B T mR mR m v ωω=

++ 将A B R R v ωω==代入，得

C max 1202max

max 2

1

max (1) 00

1

()sin 30222

87.1T T l

W mg k T T W

mm

δδδδ===+--==∑∑设弹簧的最大变形量为

()2221

22

T m m v =

+ ()2

sin W mg m g s θ=-∑

由动能定理得，

()()22121

2sin 2

m m v T mg m g s θ+-=- 将上式两边对时间求导得

2

2

sin 2m m a g m m θ-=

+

以A 为研究对象

2()sin (1)0cos (2)1

() (3)

2cx A T cy N A A A ma m a F F mg ma m F mg a J mR Fr R

θθα=-=+-=⋅=-=⋅=

联立（1）和（3）得：

22223(2)sin 2(2)

T mm m mm F g m m θ++=+

13-6 均质OA 杆可绕水平轴O 转动，另一端铰接一均质圆盘，圆盘可绕铰A 在铅直面内自由旋转，如图所示。已知杆OA 长l ，质量为m 1；圆盘半径为R ，质量为m 2。摩擦不计，初始时杆OA 水平，杆和圆盘静止。求杆与水平线成θ角的瞬时，杆的角速度和角加速度。

解：对于圆盘A 有()0A A A i J M F α==

即有：0A α=

而初始圆盘静止，故圆盘A 平动。

A

x

y

122222

1222222

212121

2212212120

1122

1

,3

1111(3)2326sin sin 2

1(3)sin sin (1)62

1OA A O OA A A OA O OA OA OA

OA OA T T T T J m v v l J m l T m l m l m m l l

W m g m gl T T W l m m l m g m gl ωωωωωθθωθθω==+=

+=⋅==+=+=+-=+=+=

∑∑而故：将式（）两1212(36)cos 2(3)OA m m g m m l

θα+=

+边对时间求导得

13-7题 解：（1）当软绳FG 被剪断之后，方板做平行移动，且剪断瞬间速度为零

由平面运动方程 0

c o s 60Cx ma mg =

0sin600Cy AD BE ma F F mg =+-= （点A 只有x 方向的加速度）

0000sin 60cos 60sin 60cos 6002222

C A

D AD B

E BE b b b b

J F F F F α=-⋅-⋅+⋅-⋅=

解得：12Cx a g =

，71.74AD F kN =

=

，267.74AD F mg kN ==