平面及其基本性质

立体几何
问题1 你能过任意一点引三条互相垂直的
直线吗？
如图
问题2 你能用六根火柴在桌面上搭出四个
三角形吗？
如图
问题3 你能画出一个四边形，使它的两条
对角线所在的直线不相交吗？
总结
C
O B
A
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C
O
A B
返回
空间图形分为：平面图形
立体图形
立体图形与平面图形的区别与联系：
联系：从集合论角度，二者都是点的集合；
9.1 平面及其基本性质
一、平面的概念和表示法
D
C
A

B

B

A
B
•

•A
二、如何理解平面？
平面是一个描述而不是定义的原始概念。
（1）平面是绝对平的；
（2）平面没有厚度；
（3）平面是无限延展的；
（4）平面和点、线一样是今后研究空间图 形的基础，也是空间图形的一个重要组成 部分；
（5）平面可以看作是空间的一些特殊点组 成的集合，它是一个无限集；
所有点都在这个平面内；直线上有一点不 在平面内，则直线上只有一个点在这个平 面内或全不在这个平面内；
问题2
（1）把书的一角放在桌面上，问书所在平 面与桌面所在平面有几个公共点？ （2）把教室的门及其所在的墙看成两平 面，当门开着时，它们的公共点的分布如 何？
公理2 如果两个平面有一个 公共点，那么它们还有其他 公共点，且所有这些公共点 的集合是一条过这个公共点 的直线。 判断两平面相交的依据，也 是证明三点共线的依据。
（6）无限的平面----将它所在的无限的空 间分成两部分，如果想从平面的一侧到另 一侧，必须穿过这个平面；
（7）有限的图形-----平行四边形，用它表 示平面，只是一种表示法，绝不能认为平 行四边形就是平面；
（8）画线原则-----“看得见的画实线，看 不见的画虚线”；
三、平面的基本性质
问题1 如果把尺和桌面分别看成一条直线
因为A∈α，B∈α，所以AB .( 公理1) 同理BC ，AC ， 所以AB，BC，CA三直线共面.
A
B
C
课堂小结: （1）平面的概念及如何理解？ （2）平面的表示法；
（3）平面的基本性质：
3个公理、3个推论；应用；
（ 4 ） 3 种语言的相互表示、相互转化；
和一个平面， （1）若尺的两个端点都在桌面上，问尺 所在直线上各点会不会都在桌面所在平面 内？
（2）若尺的一个端点不在桌面上，问尺 所在直线与桌面所在平面的关系如何？
公理1 如果一条直线上的两 点在一个平面内，那么这条 直线上所有的点都在这个平 面内。
确定直线在不在平面内的依 据
注意：直线有两点在平面内，则直线上
求证：直线AB，BC，AC共面
A
B
C
证法二: 因为A直线BC上， 所以过点A和直线BC确定平面α.(推论1) 因为A∈α，B∈BC，所以B∈α. 故AB α， 同理AC α， 所以AB，AC，BC共面.
A B C
证法三:
因为A，B，C三点不在一条直线上，
所以过A，B，C三点可以确定平面 .(公理3)
注意：两个不重合的平面有公共点，则
两平面有一条过公共点的直线。两平面的 公共点一定不可能是孤立的点；
问题3
（1）把门销插上，门便不动，为什么？ （2）测量仪的支架为什么只需三支脚？
公理3 经过不在同一直线上 的三点，有且只有一个平面
确定平面的依据
A B
C
推论1: 经过一条直线和这条直 线外一点，有且只有一个平面。

B
A C
已知:点A，直线a，Aa.
求证:过点A和直线a可以确定一个平面.

a
A
推论2:
经过两条相交直线， 有且只有一个平面。
推论3: 经过两条平行直线， 有且只有一个平面
确定平面的依据
例1：两两相交且不过同一点的三条直线
必在同一个平面内。(如图)
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C
区别：（1）平面图形的点都在同一个平面内， 立体图形的点不全在同一个平面内； （2 ）平面图形由点、线构成，立体图形 由点、线、面构成； （3）考虑问题要着眼于整个空间而不能 局限与一个平面
（4）立体图形中有些点在同一平面内，对平面 图形的研究是立体图形的基础，立体图形常常转 化为平面图形来研究. （5）过去所学的平面图形中的结论在立体图形 中是否正确？要经过验证