近世代数课件(全)--4-2 主理想整环、欧式环

2 2
: Q[i] Q , a bi a b
如果 , Z [ i ], 0 ,令 / x y i , x , y Q ,取 a , b Z ,使得 | a x |
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1 2
, | b y |
1 2
，则
/ a bi ( x a ) ( y b ) i
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r1 2 i r2 1 i r3 0
相应的表示式.
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例4 3 2 2 设 f ( x ) x x 1, g ( x ) x ,求 s ( x ), t ( x ) Z 2 [ x ] ,使得
百度文库 1 Z 2[ x ]

f ( x ), g ( x ) s ( x ) f ( x ) t ( x ) g ( x ).
,则存在 h ( x ) F [ x ] ,使得 f ( x ) g ( x ) h ( x ) 0 .令
q ( x ) h ( x ), r ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) q ( x ) r ( x )
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（2）如果 0 ,取 r ( x ) ,使得 d e g r ( x ) 为 中次数最小的多项式,则 存在 q ( x ) F [ x ] ,使得
Z 是欧氏环.
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例2 设 F 为域,环 F [ x ] 是欧氏环. 证明: : f ( x ) d eg f ( x ) 设
f ( x ), g ( x ) F [ x ], g ( x ) 0
,令
{ f (x)
(1)如果
0
g ( x ) h ( x ) | h ( x ) F [ x ]}
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.
任给 a N ,因为 d 0 ,所以存在 q , r D ,使得 a d q r . 于是, r a d q N 如果 r 0 ,则 ( r ) ( d ) ,与 d 的选取 矛盾.所以 由 又
r 0 , 则a d q ,于是
,于是 ( a bi ) [( x a ) ( y b ) i ] ，令 q a b i , r [( x a ) ( y b ) i ] ,则 q Z [ i ] ,且 r q Z [ i ] ,而
( r ) [( x a ) ( y b ) i ] ( )
r ( x ) c 0 x c1 x
n m
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cn
x
(c0 0 )
n m
,令
r1 ( x ) r ( x )
g(x)
则
d e g r1 ( x ) d e g r ( x )
.而
g(x)
b0 c0 x
nm
r1 ( x ) r ( x )
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二、欧式环 定义2 设 K 为整环, 为 K {0} 到 Z { 0 } 的映射. 如果 满足:任给 a , b K , b 0 ,存在 q , r I ,使得 a bq r 这里, r 0 或 ( r ) ( b ) ,则称 K 关于
a ( d ).
a 的任意性可知 N ( d ).
d N ,所以
( d ) N ,从而 N ( d ).
这就证明了, K 的任一理想都是主理想, K
为主理想整环.
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辗转相除法 设 K 关于 做成一个欧氏环 a , b K , b 0 ,则有
a b q 1 r1 , b r1 q 2 r2 , r1 r2 q 3 r3 ,
( 1 4 1 4 ) ( ) ( )
所以 Z [ i ] 是欧氏环.
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定理2 欧氏环必是主理想整环, 因而也是唯一分解环. 证明 设 K 关于 做成一个欧氏环, N 为 K 的任一理想. 如果
N {0}
,则
N ( 0 );
如果 N ( 0 ) ,令 ( a ) | a N , a 0 则 非空,且 Z { 0 } 设 d N ,使得 ( d ) 为 中的最小数, 下证 N ( d ).
近世代数
第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环
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一、主理想整环 如果整环R的每一个理想都是一个 定义1： 主理想， 称其为主理想环. 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列 a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列. 引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 一个不可约元P生成一个最大理想. 定理1：一个主理想环R是一个唯一分解环.
b0 c0
x
n m
( f ( x ) q ( x ) g ( x ))
g(x)
b0 n m f ( x ) g ( x ) q( x ) x c0

与 r ( x ) 的选取矛盾.
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例3 Z[i] 是欧氏环. 证明 令 ,那么,将 限制到 Z [ i ] 上,称为 Z [ i ] 到 Z { 0 } 的映射. 对任意的 , Q [ i ] ,有 ( ) ( )( )
, rn 2 rn 1 q n rn , rn 1 rn q n 1 rn 1
因为 ( r1 ) ( r2 ) , 故最后必有某个 (不妨设为 rn 1 )为零.从而有
( a , b ) ( b , r1 ) ( r1 , r2 ) ( rn 1 , rn ) ( rn , 0 ) rn
做成一个欧氏环.
Z 是欧氏环. 例1 证明： ( x ) | x |, x Z
a, b Z , b 0,
q , r Z , st . a b q r
且
0 r | b | r 0 , 或 者 ( r ) | r | ( b ) | b | .
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而且
rn rn 2 rn 1 q n rn 2 ( rn 3 rn 2 q n 1 ) q n
rn 2 (1 q n 1 q n ) rn 3 q n
as bt
因此,在欧氏环中,最高公因子可通过 辗转相除法求得,且可通过"回代"法求得
f ( x ) g ( x ) q ( x ) r ( x ).
下证: deg r ( x ) deg g ( x ). (反证) 如果 d e g r ( x ) d e g g ( x ) ,令
g ( x ) b0 x
n
m
b1 x
n1
m 1
bm
b0 c0
( b0 0 )
x f ( x ) ( x 1) g ( x )
2
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例5
在 Z [ i ] 中, a 8 38 i , b 11 7 i ,求 s , t 使得 ( a , b ) a s b t .
解 q1 2 2 i ,
q2 3 5 i, q3 1 i, (a, b ) 1 i, s ( 3 5 i ), t 1 7 4 i , 1 i ( 8 3 8 i )( 3 5 i ) (1 1 7 i )(1 7 4 i )
解 应用辗转相除法得,
f ( x ) g ( x ) q 1 r1 q 1 x , r1 1 x
g ( x ) r1 q 2 r2 q 2 x , r2 1 r1 r2 q 3 r3 q 3 1 x , r3 0
1 ( f ( x ), g ( x )) g ( x ) x [ f ( x ) g ( x ) x ]