复变函数与积分变换答案-第2章解析函数

11 2

7、

第二章 解析函数

习题详解

1、(1) f 1(z )= z 4在定义域(-

,+) 内连续；

2) f 2(z ) =4z +5在定义域(-,+)内连续； 1

在定义域

-, 3

,

3

, +

内连续。

- 4, v = 16u + 64, 为一抛物线。

4、(1)w = z 3，则w = (2i )3= -8i , w =( 2+2i )3=2 2+12i -12 2-8i =-10 2+4i ；

5、 f (z )=Re z =x ，当 y →0时， f (z )→1；当x →0时， f (z )→0，因为极限不等， z x + iy 所以当z →0时， f (z )极限不存在。

1

在原点处不连续，故 w =i arg z +1 在负实轴上与原点 zz

3) f 3 (z )= 2

2、w = z

2

u =x 2-y 2

v = 2 xy u =x 2 -4

，把直线C :y =2映射成

:

u =x -4

v = 4 x

v

x = ，代入第一个式子，

4

u =

3、

1z

w = = = z zz

x - iy

22

,

x + y

v =

x 22 x + y

-y 22 x + y

把直线C :x =1映射成，

:

v

u =

v =

1 1+y 2

-y 1+y 2

1-u u 2

u

= (1- u ) u v 2 + u 2

2)w = z 3，

像域为0arg w 2

6、i arg z 在负实轴上与原点处不连续， 处不连续。

f (z +z )- f (z )

z →0

z

= lim

z →0

(z +z )2

z

y 2 = 1 -1 = u

为一个圆周。

u

z 2-(z +z )2

z 2(z +z )2

z 2 -z 2 -2z z -z 2

2

= lim = lim = - 。

z →0 z z →0z 2(z +z )2z

z 3

8、(1) f (z ) =5-3z +5z 2，在(-,+)内解析，且导数为 f (z ) = -3+10z ；

12、(1) z =e 1-

2i =e

cos -i sin

=-ei ；

1

22

2) f (z )=

1 1 1

z 4 -1 (z 2 -1)(z 2 +1) (z -1)(z +1)(z +i )(z -i )

在(-

,+)内除z =1,

5

z +4

3

1 1 5 3) f (z )= z +4

,在(-,+

)内除z = - 3

外解析， f (z )=1+ 2 =1+ 5

2z + 3

2 2 2z +3

2 2(2z +3)

且导数为： f

(z )= 1(2z +3)-

2(-2)=

-5 (2z +3)2

9、(1) f (z )=Im z = y 在z 平面上的点点不可导，不解析(因柯西-黎曼条件不满足)；

2) f (z )= z 4 ，在平面上的点解析。 10

1)由f

(z )=0得 f (z )=u +i v =0, 即u =0，v = 0

x x x

x

利用柯西-黎曼条件有

x =0，x =0，故u=常数，v=常数，即f (z )=u +iv 为常数；

2)

f (z )为常数，即 u 2+v 2 =c ,u 2+v 2=c 2,则

(u 2+v 2)=0, 2u u +2v v =0,

u u +v v = 0,利用柯西-黎曼条件有：

x x

x

x

x

u v -v v =0,故u =0,u =0,v =0,v =0，因而u =常数，v =常数

y y x y x y

即 f (z )=u +iv 为常数。

32

u =my 3+nx 2y u u =my +nx y

，由柯西-黎曼条件得

v =x 3+lxy 2

u x

= v y

xy 即 u y =-v x

2nxy = 2lxy

3my 2 + nx 2 = -(3x 2 + ly 2

) 则

l =n n = -3, l = -3m

n = -3, l = n = -3

m =1

z = i 外解析，且导数为：

2

(

2) N 2 H Sin(3 + 57)

HSin 3

COS 57 +

COS

3

Sin

57

H Sin

3c05

+ i COS 3s05

；

(3) N W H COS(3 +

57) H COS

3 COS

57

1

Sirl

3

sin

57

H COS

3c05

——i

Sin

3s05 ；

(4) Z4 H 3 + 4

HIn(3

+

4+

2kπi

HIn

+

(arcian

+)7

+ 2kπi

HIn

5

+〔

arcian

+

2kπi

(片

H O -

LL

)；

(5)

N s H

ATC

Sin

i

H n (

丄

Jl ——

72)

H m (

丄育

)

"(——

In

(丄台)+

(——7)7

arctan1

令)

+(——7)2

冲

丄令)+

育)+ (幷

(6) N 6 H 4Y H 42^丄 ”16'

二=4

H16(co-n4——7si-n4)

4

13, (I)

e -H 3 + 4r -ZlH

H λ3 + 4

O H

L

H l n 5 + (

a

r s a n a )7 + 2^9-H 0'÷L L )； (2) SinZ W

H L-Z

N H 4pc

Sin 1

Hln

(7l+Jl

丄2) H H '

-

n 7 + (——7)7

W + {-i-ekπ}