复变函数与积分变换答案-第2章解析函数

11 2
7、
第二章 解析函数
习题详解
1、(1) f 1(z )= z 4在定义域(-
,+) 内连续；
2) f 2(z ) =4z +5在定义域(-,+)内连续； 1
在定义域
-, 3
,
3
, +
内连续。

- 4, v = 16u + 64, 为一抛物线。

4、(1)w = z 3，则w = (2i )3= -8i , w =( 2+2i )3=2 2+12i -12 2-8i =-10 2+4i ；
5、 f (z )=Re z =x ，当 y →0时， f (z )→1；当x →0时， f (z )→0，因为极限不等， z x + iy 所以当z →0时， f (z )极限不存在。

1
在原点处不连续，故 w =i arg z +1 在负实轴上与原点 zz
3) f 3 (z )= 2
2、w = z
2
u =x 2-y 2
v = 2 xy u =x 2 -4
，把直线C :y =2映射成
:
u =x -4
v = 4 x
v
x = ，代入第一个式子，
4
u =
3、
1z
w = = = z zz
x - iy
22
,
x + y
v =
x 22 x + y
-y 22 x + y
把直线C :x =1映射成，
:
v
u =
v =
1 1+y 2
-y 1+y 2
1-u u 2
u
= (1- u ) u v 2 + u 2
2)w = z 3，
像域为0arg w 2
6、i arg z 在负实轴上与原点处不连续， 处不连续。

f (z +z )- f (z )
z →0
z
= lim
z →0
(z +z )2
z
y 2 = 1 -1 = u
为一个圆周。

u
z 2-(z +z )2
z 2(z +z )2
z 2 -z 2 -2z z -z 2
2
= lim = lim = - 。

z →0 z z →0z 2(z +z )2z
z 3
8、(1) f (z ) =5-3z +5z 2，在(-,+)内解析，且导数为 f (z ) = -3+10z ；
12、(1) z =e 1-
2i =e
cos -i sin
=-ei ；
1
22
2) f (z )=
1 1 1
z 4 -1 (z 2 -1)(z 2 +1) (z -1)(z +1)(z +i )(z -i )
在(-
,+)内除z =1,
5
z +4
3
1 1 5 3) f (z )= z +4
,在(-,+
)内除z = - 3
外解析， f (z )=1+ 2 =1+ 5
2z + 3
2 2 2z +3
2 2(2z +3)
且导数为： f
(z )= 1(2z +3)-
2(-2)=
-5 (2z +3)2
9、(1) f (z )=Im z = y 在z 平面上的点点不可导，不解析(因柯西-黎曼条件不满足)；
2) f (z )= z 4 ，在平面上的点解析。

10
1)由f
(z )=0得 f (z )=u +i v =0, 即u =0，v = 0
x x x
x
利用柯西-黎曼条件有
x =0，x =0，故u=常数，v=常数，即f (z )=u +iv 为常数；
2)
f (z )为常数，即 u 2+v 2 =c ,u 2+v 2=c 2,则
(u 2+v 2)=0, 2u u +2v v =0,
u u +v v = 0,利用柯西-黎曼条件有：
x x
x
x
x
u v -v v =0,故u =0,u =0,v =0,v =0，因而u =常数，v =常数
y y x y x y
即 f (z )=u +iv 为常数。

32
u =my 3+nx 2y u u =my +nx y
，由柯西-黎曼条件得
v =x 3+lxy 2
u x
= v y
xy 即 u y =-v x
2nxy = 2lxy
3my 2 + nx 2 = -(3x 2 + ly 2
) 则
l =n n = -3, l = -3m
n = -3, l = n = -3
m =1
z = i 外解析，且导数为：
2
(
2) N 2 H Sin(3 + 57)
HSin 3
COS 57 +
COS
3
Sin
57
H Sin
3c05
+ i COS 3s05
；
(3) N W H COS(3 +
57) H COS
3 COS
57
1
Sirl
3
sin
57
H COS
3c05
——i
Sin
3s05 ；
(4) Z4 H 3 + 4
HIn(3
+
4+
2kπi
HIn
+
(arcian
+)7
+ 2kπi
HIn
5
+〔
arcian
+
2kπi
(片
H O -
LL
)；
(5)
N s H
ATC
Sin
i
H n (
丄
Jl ——
72)
H m (
丄育
)
"(——
In
(丄台)+
(——7)7
arctan1
令)
+(——7)2
冲
丄令)+
育)+ (幷
(6) N 6 H 4Y H 42^丄 ”16'
二=4
H16(co-n4——7si-n4)
4
13, (I)
e -H 3 + 4r -ZlH
H λ3 + 4
O H
L
H l n 5 + (
a
r s a n a )7 + 2^9-H 0'÷L L )； (2) SinZ W
H L-Z
N H 4pc
Sin 1
Hln
(7l+Jl
丄2) H H '
-
n 7 + (——7)7
W + {-i-ekπ}
H
(2
冲 +
a )"(
冲
H O -l+
LL)；
(3) COSZ3
H αZ 3
H A U C C O S O H H L
H (2
幷+ +)
H O L
L )；
(4) CSZ4
H 2=
Z
4
HAUCC 02
H
(2 + $)
Hln (2 +
缶
)+
7(2幷)(幷
H αL L )；
1 Al
(5)
0z5 H
5=Z
5
HAUcf05
H n Q ) ”n (——a ) + $ +
幷
14,
-02
N
32——2Z3
+
1HQ
HLn(Z
十厶
Z W
l l r L n 2
H Ln(z
十」
——匸
e
i (iz )
-e -i (iz ) e z -e -
z 15、(1)-i sin iz =(-i )
= = shz ； z -z
e z
+e -
z
= chz 。

16、(1)cos(- z ) 2) cos(4
+ z ) =
i (4
+z ) i
e 2i e -iz
+e -i (4
+ z )
-i
+e -2i
e iz
e
iz
+e -
iz
ie -iz - ie iz = cos z 。

e iz - e -iz
2i
sin z ；
2i
i (iz ) -i (iz )
2) cos iz =
e +e。