F.数列 K.数列含参及存在性问题

1.(2013·扬州模拟）已知数列{}n a 满足()2*12N n a a a n n +++=∈.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对任意给定的k N +∈，是否存在p ,()+

N

r k p r ∈<<使1

k

a

，

1p a ，1

r

a 成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当1n =时，11a =；当2n ≥，*N n ∈时，()2

1211n a a a n -++

+=-，所以

()2

2121n a n n n =--=-；综上所述，()*21N n a n n =-∈.

（2）当k=1时，若存在p ，r 使

1

k

a ，1p a ，1r a 成等差数列，则1213221r p k p a a a p -=-=-.因为2p ≥，所

以0r a <与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当k=1时，不存在； 当2k ≥时，设k a x =，y p a =，z r a =，则

112x z y +=，

所以z=2xy

x y

-．令21y x =-，得(2-1)z xy x x ==，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--， 所

以

21

p k =-，

2(1)(43)2(452)1

r a z ak k k k ==--=-+-，所以21p k =-，

2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-，所以2452r k k =-+．

综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在21p k =-，2452r k k =-+满足题设． 2.（14年全国卷）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a -，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=：

（Ⅱ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由.

3.已知数列{}n a 满足：11a =，1(1)(1)n n na n a cn n +=+++，（c 为常数）

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n

n n b a ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，是否存在常数2c 使数列{}n b 为递减数列，若存在，

求出c 的值，若不存在，并说明理由.

4.（2013·徐州模拟）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S .

（1）若对任意的N n ∈，21n a -，21n a +，2n a 组成公差为4的等差数列，且11a =，220132n

S n

=，求n 的值；

（2）若数列n n S a a ⎧⎫

+⎨⎬⎩⎭

是公比为(1)q q ≠-的等比数列，a 为常数，求证：数列{}n a 为等比数列的充要条

件为11q a

=+

.