华罗庚学校数学教材(六年级下)第09讲 从算术到代数(一)

本系列共14讲

第九讲从算术到代数（一）

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算术与代数是数学中两门不同的分科，但它们之间关系密切.代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.

在小学算术课本里同学们由浅入深地学习了整数、小数和分数的加、减、乘、除四则运算，并学会了用这些四则运算去解一些不太复杂的四则应用题.归纳一下，在用算术方法解应用题时主要用到了以下三种关系：

①部分数与总数的关系；

②两数差的关系；

③一倍数（或一份数）、倍数和几倍数的关系.第1、第2种关系用“加”、“减”法完成，第3种关系则用乘、除法完成.在解四则运算题时用到了对于数的“加法”、“乘法”都普遍成立的运算法则：交换律、结合律、分配律.设a、b、c表示任意三个数，下列等式恒成立：

交换律：a＋b=b+a，a×b=b×a

结合律：（a+b）+c=a+（b＋c）

（a×b）×c=a×（b×c）

分配律：a×（b+c）＝a×b+a×c.

另外，在用算术方法解应用题时常按应用题的性质分为许多类型.如：和倍问题、差倍问题、行程问题、百分数问题、比例问题、….

对每类问题先归纳出解决这类问题的方法、公式，并找出理由加以解释，再做这类题时就“套”这种公式.所以用算术方法解应用题时，对不同类型的题用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算术方法解应用题是不带普遍性的.

代数方法的进步首先在于找出了一个统一的方法，即用列“方程”来解很多不同类型的应用题.“方程”是代数学中的重要内容之一.用方程来解应用题时，首先是用一些简单的符号，通常用x，y，z，t，s，u，v等字母来表示问题中待求的未知数，然后把这些未知数和已知数平等地看待，并把题目中的数量关系直接（平铺直叙）“翻译”为算式表示出来.这就是所谓依题意列方程.接着是通过代数方程去确定其中所含未知数应该等于什么样的值，即“解方程”.而解方程的原理就是对方程中的数，包括已知数和未知数，运用在“算术”中学过的“数的运算法则”把未知数求出来.因为这些法则是对任何数都成立的，当然对那些暂时还不知它的值的“未知数”也应当成立.只要适当地运用这些法则，一般就可求出方程中的未知数的值.归纳起来用代数方法解应用题的步骤如下：

1.设未知数.常用x，y，z，t，s，…等字母表示.

2.依题意列方程.即把所要解决的代数问题中的未知量换成代表未知数的字母，把问题中各种量间的关系“翻译”为带字母的算式表示出来，特别注意找出其中的相等关系.用两个代数式表示同一个数量，列出一个方程.因此方程是含有未知数的等式.一般说来，有n个相等关系就能列出n个方程，当然我们从中选取列方程与解方程时最

方便的形式.

3.解方程.目的是把原方程变成同解的形如ax＝b 的方程，进而解出，一般步骤是：

b x a

=①用分配律去括号.而不一定能像算术中那样先把括号中数算出来.因为其中有的是未知数算不出来.如下例中的（1）变成（2）.

例164+x=3（32-x）（1）

64+x=96-3（2）

x+3x=96-64（3）

4x＝32（4）

x=8.（5）

②移项.把含未知数的项与常数项（即不含未知数的项）分离开来，分别移到等号两端，注意移项变号法则.如上例中的（2）变成

（3）.

③合并同类项，如上例中的（3）变成（4）.

④用未知数的系数去除方程两端求出x 的值.如上例中的（4）变成（5）.

4.验算.一是实际计算求出的根是否满足方程，不满足的都舍去，二是根据题目的实际意义，删除不合理的解.

先以几个简单的四则应用题为例来对“算术解法”与“代数解法”作一比较.

例2车站给某工厂运2000箱玻璃.合同规定完好地运到一箱给5元运费.如损坏一箱，不给运费，倒赔40元.这批玻璃运到后，车站

共收到运货款9190元.问损坏了几箱玻璃.

解：①算术解法：假如设有损坏，2000箱玻璃全运到，则应得运货款：2000×5=10000（元）.

和实际所得运货款相差：

10000-9190=810（元）.

现在让我们用一箱好的换一箱损坏的玻璃，总箱数2000不变，但每换一箱所得运货款减少：

40＋5=45（元）

那么换多少箱，货款正好减少多出来的810元呢？做除法：

810÷45＝18（箱）.

答：共换坏了18箱.

②代数解法：

设损坏了x箱，则没损坏的共2000-x箱.

依题意列方程

5（2000-x）－40x=9190

45x=10000－9190

45x=810

x=18.

答：损坏了18箱.

比较这两种解法，可见代数方法简洁并具有高度普遍性.我们在后面的许多例题中都能充分地看出代数方法的优越性.但这决不等于说可以取消算术.这正如火车虽快决不能代替步行.在攀登高峰的崎

岖的小道上还常常靠坚实的足步.下面举几个例子来看看算术方法的不可缺少.因为有的问题不易找到等量关系列方程.

例3一年级72名学生共交了□52.7□元课本费，其中的百位数和百分位上的数被水弄模糊了.你能算出每人交多少元？

解：72＝8×9，

又∵（8，9）=1

∴原数为25272分，

∴每人应交：

25272÷72=351（分）.

答：每人交3.51元.

例4求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小自然数.

解：∵该数被6除余4（1）

又该数被10除余8（2）

∴该数是偶数.

再从被9除余4的偶数中从小到大挑选符合条件（1）、（2）的数：4，4＋9×2=22，22＋9×2=40，40+9×2=58，

又58÷6=9 (4)

58÷10=5 (8)

58÷9＝6 (4)

答：58为所求最小自然数.

例5三个学生甲、乙、丙各有若干张画片互相赠送.第一次由甲送给乙、丙画片，所送的张数等于乙、丙各人已有的画片数；第二次