第二章 线性系统的动态分析

2) (t, t1 )(t1, t0 ) (t, t0 )
3) (t, ) A(t)(t, )
t 4) (t, t0 )与(t)的选取无关。
证明：前三个可以用定义证明
4） 方法一：由积分和式看出
方法二：(t, t0 )由方程&(t, t0 ) A(t )(t, t0 )，
(t0, t0 )
t
x(t) (t, t0 )x0
(t, )B( )u( )d
t0
第一部分是由x0引起的响应，即零输入状态响应 第二部分是由输入引起的响应，即零状态响应
t
y(t ) C(t )(t, t0 )x0
C(t )(t, )B( )u( )d D(t )u(t )
t0
定常线性系统的解
x& Ax(t ) Bu(t )
n
i 1,L , n使x(t0 ) e0 1e1 L nen i xi (t0 ) i 1 n
由微分方程初值问题解的唯一性，x(t) i xi (t) i 1
定义3.8 如果xi (t)，i 1,L , n是解空间的一组基， 那么n n矩阵(t) [ x1(t),L , xn(t)]称为方程的一个 基本解矩阵。
• 本章在讨论中，删除第1，2节的内容， 重点讲第3节。
一：动态分析的意义
1. 问题的提出及其解的存在唯一性： 对于线性系统，动态方程为：
x& A(t)x B(t)u
y
C(t
)
x
D(t
)u
x(t0 ) x0
分析系统运动的目的，就是从其数学模型 从工程上讲：出发，来定量地给出系统运动的变化规律，
t0
x(t ) (t, t0 )x0，(t, t0 )称为方程的状态转移矩阵。
由于任何满足初始条件x(t0 ) x0的解都可用基本 解矩阵 (t )列线性组合来表示，即存在常值非奇异 矩阵M，成立有x(t ) (t)Mx0 令t t0 , x(t0 ) (t0 )Mx(t0 ) 由x(t0 )的任意性，必有M 1(t0 ) 即x(t) (t)1(t0 )x0 也就是(t, t0 ) (t )1(t0 )( P55定义3.9) 状态转移矩阵的性质： 1） (t, t) I
t e A(t )Bu( )d
0
Du( )
如何求e At ? 根据矩阵的约当标准型来求解
A PP 1 , e At Pet P 1 用定义证明，
e At I At 1 A2t 2 L 2!
P(I t 1 2t 2 L )P -1 Pet P 1 2!
命题一：设A具有互异特征值i (i 1, 2,L , n), pi为A对应于i的特征向量，记P [ p1,L , pn ].
t0到t的积分，得x(t) x(t0 )
t
A( )x( )d
t0
对已给得初始状态x(t0 ) x0，得x(t )的第0次近似为
x0 x(t0 ), 将其代入上式积分的右边，得
x1 x0
t t0
A(
) x0d ，再将x1代入上式积分的右边，
得x2 x0
t t0
A(（) x0
t0
以便为系统的实际运动过程作出估计。
对于给定初始状态x0和外输入作用u，来求 从数学上讲：方程的解y(t ),即由初始状态和外输入作用
引起的响应。
对于动态方程，首先确定是否有解，是否唯一？ 尽管系统的运动是对初始状态和外输入作用的
响应，但运动的形态却主要由系统的结构和参数 决定，即由系数矩阵[ A(t), B(t)]所决定，状态 方程的解x(t )给出了系统运动形态对系统的结构 和参数的依赖关系，显然，只有当状态方程的满足 初始条件的解存在且唯一时，对系统的分析才有 意义，从数学上看，如果系统矩阵A(t), B(t)， 输入u(t)的所有元在时间[0, )上有定义，且都是 t的实值连续函数，则状态方程的解x(t )存在且唯一， 以后讨论中，都假定系统的解存在且唯一。
1
1 t2 L 2!
tL
O 1
(
p
1
1)
!
t
p1
(
p
1
2)
!
t
p
2
e
i
t
t
1
例1：求状态方程x&
0 0
cos 0
t
x
0
1
u的解
例2：
已知系统x&
0 -2
1 -3
x
0 1
u求其在
初始状态x(0)
1 -1
下的零输入响应和在u
1(t
)
作用下的零初始状态响应。
习题：
3
求系统x&
O
P
1
[ p1e1t ,L
,
pnent ]P 1
ent
一般情况下，矩阵A的Jordan分解为
A Pdiag[J1 , J2 ,L , Jr ]P -1 其中Ji (i 1, 2,L , r)为约当块，则 e At Pdiag[eJ1t ,L , eJrt ]P 1
1 t
其中e Ji t
不妨设t0 0,于是有(t, 0) (t) e At
指数矩阵的基本性质：
1） e A0 I
2)
e e e At1 At2
A(t1 t2 )
3) d e At Ae At dt
状态空间描述解为
x(t ) e At x0
t e A(t )Bu( )d
0
y(t) Ce At x0 C
线性系统响应的特点：
线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，因此，
系统在初始状态和输入向量作用下的运动分成为
两个单独的运动，由初始状态引起的自由运动和由
输入作用引起的强迫运动，即
x& x(t0
A(t )
)x x0
的解(t
,
t0
,
x0
,
0)
和
x& x(t0
A(t ) x )0
B(t
)u的解(t
证明：(1.线性空间 2.n维)
1.
令x1 (t ),
x2 (t )为x&
A(t
)
x的任意解，对实数
1和
，
2
1 x1(t ) 2 x2 (t )也是方程的解。
2. 令e1,L , en为n个线性无关向量，xi (t)是方程响应于
初始条件xi (t0 ) ei的解，现反设x1(t ),L , xn (t )线性相关，
I
唯一确定。
n
设（1 t )和（2 t）为方程的两个任取的基解矩阵，必
存在非奇异阵P，使（2 t） （1 t )P,则
(t, t0 ) （2 t） 1（2 t0） （2 t）P -1（1 t 0 )
（1 t )PP -1（1 t 0 ) （1 t )（1 t 0 ) 由状态转移矩阵可得，齐次方程的解为
n i1
1
又(t )
(t)
M
n
i i (t)是方程的解，相应的初始条件
n i1
n
为(t0 ) i i (t0 ) 0 i 1
n
则必有(t) i i (t) 0 t t0 i 1
这与1(t),L , n (t)线性独立矛盾。因此，对任意t, (t)非奇异。
现在考虑用逐次逼近法解齐次方程，在其两边取
(t0 , t)x&(t)－(t0 , t)A(t)x(t) (t0, t)B(t)u(t)
d dt [(t0 , t)x(t)] (t0 , t)B(t)u(t)
两边从t0到t积分并考虑到初始条件(t0 , t0 ) I ,
x(t0 ) x0 ,则有
t
(t0 , t )x(t ) x0 t0 (t0 , )B( )u( )d
则必存在非零向量 满足：
( x1(t ),L , xn (t)) 0 t (t0 , t1 ) 当t t0时，( x1(t0 ),L , xn (t0 )) 0，即[e1,L , en ] 0
这与e1,L , en无关矛盾，故x1(t ),L , xn(t)线性无关，
如果x(t)是方程的任一解，那么必存在常数i ,
y(t
)
Cx(t
)
Du(t
)
先考虑齐次方程
x& x(t0
Ax )
x0
的解
因为A为常阵，该系统的状态转移矩阵为
(t,
t0
)
I
A(t
t0
)
1 2!
A2
(t
t0
)2
1 3!
A3 (t
t0
)3
L
(t t0 )
i 1
1 k!
Ak
(
t
t
0
)k
e A(tt0 )
对于定常系统，状态响应曲线的形状与起点的时间无关，
x(t) (t,t0)x(t0)
对非齐次状态方程的解：
&(t0 , t ) [&(t, t0 )]1 1(t, t0 )&(t, t0 )1(t, t0 )
1(t, t0 ) A(t )(t, t0 )1(t, t0 )
1(t, t0 ) A(t )
以(t0 , t)左乘方程x&(t) A(t)x(t) B(t)u(t)两边
则e At [ p1e1t ,L , pnent ]P 1
1
证明：由A＝[ p1,L
,
pn
]
O
P
1
n
1t
O
e At [ p1 ,L , pn ]e
P nt 1
1t
[ p1,L
,
pn ][I
O
1 2!
1t
O
nt
2
L ]P 1
nt
e1t
[ p1 ,L , pn ]
A( )x0d
）d
t
t
x0
t0 A( ) x0d
A( )(
t0
t0 A( )x0d )d
无穷多次逼近，
t
t
x(t) (I
A( )d
t0
A( )(
t0
t0 A( )d ))d L ) x0
令(t, t0 ) I
t
A( )d
t0
t
A( )(
t0
A( )d ))d L
,
t0
,
0,
Hale Waihona Puke Baidu
u)，
则由初始状态和输入作用引起的整体响应为
(t, t0 , x0 , u) (t, t0 , x0 , 0) (t, t0 , 0, u)
先研究齐次动态方程
x& x(t0
A(t )
)x x0
的解.
考虑自主系统x& A(t)x的解
定理3.7 系统的解构成一个实数域上的n维线性空间。
第二章 线性系统的动态分析
• 系统的状态空间描述的建立为分析系统 的行为和特性提供了可能，对系统进行 分析的目的是要揭示系统状态的运动规 律和基本特性。通常把对系统的分析区 分为定性分析和定量分析，在定量分析 中，我们对系统的运动规律进行精确的 研究，即定量地确定由外部激励作用引 起的响应。本章以线性系统为对象，讨 论系统的定量分析问题，指出它的运动 规律。
可以验证，基本解矩阵是下列矩阵微分方程的解，
其中E是某一个非奇异实常量矩阵， &(t )＝A(t )(t )
(t0 ) E
性质 方程的基本解阵(t)对于(, )中任何t均非奇异。（反证法）
证明：若对t0，(t0 )奇异，则存在不全为0的实数
1
1，L
，
n使(t0
)
M
n
i i (t0 ) 0
0
0
et
求系统x&
0
1 1
1
1
x的状态转移矩阵。
0 2
0
1
x的状态转移矩阵。
t 1