多元函数极值的快速判别方法及应用

为 讨论 > 是否为极值点 & 在> 的符号 : 根据极值定义 & 当# 取负号 # $ & ’ & ( ) F ) F ) % % % % %附近讨论 # 时& 当# 取正号时 & 式写为 > F ) > F ) % 为极大值点 G % 为极小值点 :为此将 # ? "!
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为其极大值点 ; N = V ; W ; X ?为极大值 E $ $ $
# # 时; # ?当 ZQ $ ;Z[‘ ]#Q $ ;\ = Z[‘ ]#? ‘[ ^ ‘ Z_ b# _ ]^ Q$ = V ;W ;X ? $ $ $
为其极小值点 ; N = V ;W ;X ?为极小值 E $ $ $ 没有极值 > ! ?当 Z[‘ ]# R $时 ; 其中 N = V ; W ; X ? U$ ; N = V ; W ; X ? U$ ; N = V ; W ; X ? U $是 = V ; W ; X ?为极值点的 V $ $ $ W $ $ $ X $ $ $ $ $ $ 必要条件 > 定 理S 在点 O 的某领域内连续 ; 且有直到 = 6 S 设函数 T UN = V ; W ; X ? = V ; W ; X ? ^ b< ? $ $ $ $
S 主要定理及证明
定理 S 且有一 6 F 设函数 TU N = V ; W ; X ?在点 O = V ;W ;X ?的某领域 Y= O ?内连续 ; $ $ $ $ $ 阶及二阶连续偏导数 ; 又N = V ;W ;X ?U $ ;N = V ;W ;X ?U $ ;N = V ;W ;X ?U $ >令 V $ $ $ W $ $ $ X $ $ $ ZU N = V ;W ;X ? ;[U N = V ;W ;X ? ;\U N = V ;W ;X ? ; V V $ $ $ W W $ $ $ X X $ $ $ = V ;W ;X ? ;^U N = V ;W ;X ? ;_U N = V ;W ;X ? ; ]U N V W $ $ $ V X $ $ $ W X $ $ $
# # 在 驻点 O 时; 为极小值 E 当P 时; 为 = O ? Q$ N = O ? N = O ? R$ N = O ? $ 处的二次全微分 PN $ $ $ $
极大值 >但是该方法在应用时 ; 需要转化为二次典则型或者矩阵的正负定判别问题 ; 过程比 较复杂 >本文将给出三元函数极值的快速判别方法 ; 并且讨论它在实际问题中的应用 >
2 领 域 =1# 使得对任一 # 时& > ) I =# > ) & $ & ’ & ( ) < =1# > ) " & " " & % % %* + %* %* . % $ $ $ $ ’ ’@ " $ ’ 2 2 2 2 2 # " " ) @" " " " " " JK@ L2&M # JK@ L2) @K 5 @ J+ " ( ( $ $ ’ ’@ " $ ’ ’ ’ $ (@ " $ $ ’ (* 2 $ ’ ’ ( $ (与 J& 2 2 当 J9 % *2 L5 +同号 :由前述讨论知 & &JK@ L2N % &M # JK@ L2) @K 5 @ J+ *2 L5 + 2 2 时& 为极大值点 G 当 J9 % 9% # $ & ’ & ( ) & JK@ L2N % & M # JK@ L2) @K 5 @ J+ *2 L5 + % % %
第! !卷第 "期 # $ $ !年 "月
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# # 当 Z[‘ ] a $ 时; 则N 在点 O ;\ = Z[‘ ]#? ‘[ ^ ‘ Z_ b# ]^ _ a$ = V ; W ; X ? = V ;W ; $ $ $ #
X ?处是否取得极值的充分条件如下 C $
# # 时; ;Z[‘ ]# Q $ ;\ = Z[‘ ]#? ‘[ ^ ‘ Z_ b# _ ]^R $ = V ;W ; X ? < ?当 ZR $ $ $ $
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一类多元函数极值的快速判别方法及应用
李忠艳 < ; 陆忠臣 # ; 陈 浩!
华北电力大学 = 北京 ? 科学与工程计算研究所 ; 北京 = < > ; 中科院生态环境研究中心 ; 北京 < $ $ $ A B ? = # > 中科院地理研究所 ; 北京 = ! > < $ $ < $ < ? < $ # # $ @ ?
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由一元函数的麦克劳林公式有 9 " 1 +-9 " $ +% 9 < " $ +% % 1 9 > " $ +% 4 2 3
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收稿日期 C # $ $ # G < $ G $ A 基金项目 C 国家重点基础研究发展规划项目 = 资助 I I I $ J ! @ $ J ? H<
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李忠艳 ! 等= 一类多元函数极值的快速判别方法及应用
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摘要 C 本文给出一类多元函数 D 三元函数是否存在极值的快速判别方法 ; 并讨论它在实际问题中的应用 > 关键词 C 多元函数 E 极值 E 偏导数
F 引
言
一K 二 元 函 数 的 极 值 问 题 已 有 成 熟 的 快 速 判 别 方 法; 而对于三元以上即多维空间情形 时; 一般教材 = 很少涉及 >大家熟知 ; 多元函 数 极 值是 否存在 的充分 条件是 C 当 函数 N L < ; # M ?