第一章 排列与组合
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n
2)
1 x
n
n k 1 k k x F ( n , r ) x , k k 0 k 0
(1) k 1 2k 2 k 1 x 1 x . 2 k 1 k 1 k 2 k 1
一些重要的结果： 1) P(n, r ) n(n 1) (n r 1)
P(n, n) n! 全排列
n! , (n r )!
2)当n≥r ≥2时，P(n,r)=nP(n-1,r-1); 3)P(n,r)=rP(n-1,r-1)+P(n-1,r)
例1 将具有9个字母的单词FRAGMENTS进行 排列，要求字母A总是紧跟字母R的右边，问 有多少种排法？
一般地，重集 B={k1· b1,k2· b2,…,kn· bn}, 其中，ki为元素bi的重复次数，i=1,2,…,n。 如对某元素没有限制，则在重集中该元素 可以出现无限次，即ki =∞。
§1.2 排列
一、线排列 从n个不同元素的集合中，不重复地取r个 元素，按次序排成一列，称之为从n个中取r 个的一个排列，又称为A的r-排列。 所有r-排列的个数用P(n,r)表示。当r=n 时称为全排列。 规定： 1, n r 0, P(n, r ) 0 , n r.
例1 某班要从7名女生和4名男生中产生一个班委 会，问有多少种方式？若 (1)这个班委员有5人，其中3女、2男。 (2)这个班委员有4人，其中至少2名女生。 (3)这个班委员有4人，其中之一为指定某同学。
例2 数510510能被多少个不同的奇数整除？
注：整数a能被整数b整除，则b一定是a的因素； 奇数的剩积还是奇数。
结论：从A ={a1,a2,…,an}中取r个作不相邻的组合， 其个数为： C(n-r+1,r)。
§1.4 二项式定理
1. 当n为正整数时,对任意x与y有
n n n k nk n k nk x y k x y n k x y k 0 k 0 n
n k
2 n n2 3. k n ( n 1 ) 2 , k k 0
n (1) k k 0. k 0
n k 2
1 n 2n1 1 4. . n 1 k 0 k 1 k
n n nk k n nk k k x y n k x y , k 0 k 0 n
n n n k n k 1 x k x n k x , k 0 k 0 n n n n k n (1) k 2 , k 0. k 0 k 0 n
二、乘法法则
若具有性质A的事件有m个Βιβλιοθήκη Baidu具有性质B的事件有n个，则 具有性质A与B的事件数有 m · n个。 集合论语言：
若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | a A,b B}, 则 |A B| = m · n。
一般地，设 S= S1×S2×…×Sm ={(a1,a2,…,am)|ai ∈Si,i=1,2,…,m}, 则 |S|= |S1|×|S2|×…×|Sm|。
例3 某种字符串由两个字符组成，第一个字 符可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符可 选自{1，2，3}，则这种字符串共有 5 3 = 15 个。 例4 从A到B有三条道路，从B到C有两条道 路，则从A经B到C有 32=6 条道路。
例5 某种样式的运动服的着色由底色和装饰条纹的 颜色配成。底色可选红、蓝、橙、黄，条纹色可选 黑、白，则着色方案共有 42 = 8种
n
5.
p min{m, n} n m m n k pk p , k 0 m n m m n (令p m), k k m k 0
二、允许重复的组合 从重集B={k1· b1,k2· b2,…,kn· bn}中选取r个元素 不考虑它们的次序组织在一起，称为从B中取r 个元素的重组合，所有重组合的个数记为F(n,r)。 结论： B={∞·b1, ∞ · b2,…, ∞ · bn}的r-组合数为 F(n,r)=C(n+r-1,r)。
若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、黄四种颜 色的话，则方案数就不是4 4 = 16， 而只有 4 3 = 12 种。
在乘法法则中要注意事件 A 和事件 B 的相互独立 性。
例6 求小于10000的含1的正整数的个数 解：小于10000的不含1的正整数可看做4位数, 但0000除外，故有9×9×9×9－1＝6560个.从 而含1的有：9999－6560=3439个。
§1.3 组合 一、不允许重复
从n个不同元素的集合A中取r个且不考虑其元素 的顺序组合起来，称为从n中取r个的一个组合，或 A的r-组合，它是A的r-无序子集。A的所有r-组合 n 的个数记为C(n,r)或Cnr或 。
r
规定： C (n, r ) 1, n r 0,
k 0 k 0 k 0
几个推论:对|x|<1的任何x有 1) k
1 x
k x , k 0
k
n k 1 k 1 x (1) k x , k 0 1 1 k k k (1) x , x . 1 x k 0 1 x k 0
第一章 排列与组合
§1.1 加法法则与乘法法则
------是解决计数问题的两个最基本和最常用的规则
一、加法法则
若具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件有n 个，则具有性质A或B的事件数为m+n。
集合论语言描述：
若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则
|AB| = m + n =|A|+|B|。
例2 求20000到70000间的偶数中由不同的数 字组成的5位数的个数。 例3求有多少个5位数，每位数字都不相同， 不能取0，且数字7和9不相邻。
例4 12个人从左到右排成一列，其中张三不 能排在队首，也不能排成队尾，问有多少种排 法？
二、圆排列
从n个不同元素的集合中取出r个元素按某顺序排成 一个圆圈，这样的排列称为圆排列，所有圆排列的 个数记为Q(n,r)。 Q(n,r)与P(n,r)间的关系 P ( n, r ) Q ( n, r ) , r Q(n,n)=(n-1)!.
2.以上公式的推广形式: 对α ∈R,对满足|x/y|<1的 所有x和y有
x y
其中
k k x y , k k 0
( 1) ( k 1) , k! k 1, 0,
0 , n r.
几个重要的结论： 1) P(n, r )
C (n, r )
r!
n! , r!(n r )!
2)C(n,r)=C(n,n-r); C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) --------Pascal公式 =C(n-1,r)+C(n-2,r-1)+…+C(r-1,r-1).
n
n 2n k n . k 0
n
2
i n 1 6. k k 1 . i 0 7. R
n
j j 0
k
j k 1 k .
例3 某餐厅有7种不同的菜，为招待朋友，一个顾 客需要买14个菜，问有多少种买法？ F(7,14) 例4 求将n个无区别的球放入r个有标志的盒子里 (n≥r)而无一空盒的方式数。 例5 求方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数。
三、不相邻组合
从集合A ={a1,a2,…,an}中取r个，不存在ai,ai+1 两个相 邻元素出现在同一个组合中的组合，称为r-不相邻组 合。
其中 n ni 。
i 1
k
n! n1!n2! nk !
例7 由1,2,3,4,5,6这几个数字组成多少个5位数？ 可组成多少个大于34500的5位数？ 例8 用字母A、B、C组成5个字母的符号，要求在 每个符号里，A至多出现2次，B至多出现1次，C 至多出现3次，求此类符号的个数。
另解: 全部4位数有104 个,不含1的四位数有94 个, 含 1的4位数为两个的差: 104－94= 3439个
三、计数问题 分两类： 1)计算事物的有序安排或选择数 a、不允许任何事物重复 b、允许事物重复 2)计算事物的无序安排或选择数 a、不允许任何事物重复 b、允许事物重复
如何区分事物的重复或不重复？ 利用集合与重集的安排或选择的说法加以 区别。 集合：元素一定不相同 重集：元素可以相同 例如，A={a,b,c,d}为集合 B={a,a,b,b,b,c,d,d,d,d} ={2· a,3· b,1· c,4· d}为重集。
§1.5 常用组合恒等式 对正整数m,n,k,p,有
n n n 1 1. k k k 1 ,
n
n n 1 2. k n 2 , k k 1
n
n (1) k k 0. k 0
p q n k n n 8. k k p q p q . k 0
p
p q n p q k n p n q 9. . k k pq k 0 p q (李善兰恒等式,李善兰(1811— 1882 ）， 清代数学家）
例5 有8人围圆桌就餐，问有多少种就座方式？如 有两人不愿意坐在一起，又有多少种坐法？ 例6 有4男4女围圆桌交替就座有多少种方式？
三、重排列
从重集B={k1· b1,k2· b2,…,kn· bn}中选取r个元素按一 定的顺序排成的一列，称为重排列。
结论： 1)重集B={∞·b1, ∞ · b2,…, ∞ · bn}的r-排列的个数为 n r。 2)重集B={n1· b1,n2· b2,…,nk· bk}的全排列的个数为
一般地,设S为有限集,将S分解为互不相交的子集
S1,S2,…,Sm的并,Si为具有性质Ai的事件的集合,
i=1,2,…,m,则S中事件的个数为
|S|=|S1|+|S2|+…+| Sm|.
例 1 某班选修人工智能的有 18 人，不选 的有 10 人，则该班共有 18 + 10 = 28 人。
例2 北京每天直达上海的客车有 5 次，客 机有 3 次，则每天由北京直达上海的旅行 方式有 5 + 3 = 8 种。
p
§1.6 应用举例
例1 将n个有区别的球放入k个有区别的盒子中, 盒内有序的放法有多少种?
例2 某售票处有5个窗口,现有8个人,他们排队购 票的方案有多少种?
2)
1 x
n
n k 1 k k x F ( n , r ) x , k k 0 k 0
(1) k 1 2k 2 k 1 x 1 x . 2 k 1 k 1 k 2 k 1
一些重要的结果： 1) P(n, r ) n(n 1) (n r 1)
P(n, n) n! 全排列
n! , (n r )!
2)当n≥r ≥2时，P(n,r)=nP(n-1,r-1); 3)P(n,r)=rP(n-1,r-1)+P(n-1,r)
例1 将具有9个字母的单词FRAGMENTS进行 排列，要求字母A总是紧跟字母R的右边，问 有多少种排法？
一般地，重集 B={k1· b1,k2· b2,…,kn· bn}, 其中，ki为元素bi的重复次数，i=1,2,…,n。 如对某元素没有限制，则在重集中该元素 可以出现无限次，即ki =∞。
§1.2 排列
一、线排列 从n个不同元素的集合中，不重复地取r个 元素，按次序排成一列，称之为从n个中取r 个的一个排列，又称为A的r-排列。 所有r-排列的个数用P(n,r)表示。当r=n 时称为全排列。 规定： 1, n r 0, P(n, r ) 0 , n r.
例1 某班要从7名女生和4名男生中产生一个班委 会，问有多少种方式？若 (1)这个班委员有5人，其中3女、2男。 (2)这个班委员有4人，其中至少2名女生。 (3)这个班委员有4人，其中之一为指定某同学。
例2 数510510能被多少个不同的奇数整除？
注：整数a能被整数b整除，则b一定是a的因素； 奇数的剩积还是奇数。
结论：从A ={a1,a2,…,an}中取r个作不相邻的组合， 其个数为： C(n-r+1,r)。
§1.4 二项式定理
1. 当n为正整数时,对任意x与y有
n n n k nk n k nk x y k x y n k x y k 0 k 0 n
n k
2 n n2 3. k n ( n 1 ) 2 , k k 0
n (1) k k 0. k 0
n k 2
1 n 2n1 1 4. . n 1 k 0 k 1 k
n n nk k n nk k k x y n k x y , k 0 k 0 n
n n n k n k 1 x k x n k x , k 0 k 0 n n n n k n (1) k 2 , k 0. k 0 k 0 n
二、乘法法则
若具有性质A的事件有m个Βιβλιοθήκη Baidu具有性质B的事件有n个，则 具有性质A与B的事件数有 m · n个。 集合论语言：
若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | a A,b B}, 则 |A B| = m · n。
一般地，设 S= S1×S2×…×Sm ={(a1,a2,…,am)|ai ∈Si,i=1,2,…,m}, 则 |S|= |S1|×|S2|×…×|Sm|。
例3 某种字符串由两个字符组成，第一个字 符可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符可 选自{1，2，3}，则这种字符串共有 5 3 = 15 个。 例4 从A到B有三条道路，从B到C有两条道 路，则从A经B到C有 32=6 条道路。
例5 某种样式的运动服的着色由底色和装饰条纹的 颜色配成。底色可选红、蓝、橙、黄，条纹色可选 黑、白，则着色方案共有 42 = 8种
n
5.
p min{m, n} n m m n k pk p , k 0 m n m m n (令p m), k k m k 0
二、允许重复的组合 从重集B={k1· b1,k2· b2,…,kn· bn}中选取r个元素 不考虑它们的次序组织在一起，称为从B中取r 个元素的重组合，所有重组合的个数记为F(n,r)。 结论： B={∞·b1, ∞ · b2,…, ∞ · bn}的r-组合数为 F(n,r)=C(n+r-1,r)。
若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、黄四种颜 色的话，则方案数就不是4 4 = 16， 而只有 4 3 = 12 种。
在乘法法则中要注意事件 A 和事件 B 的相互独立 性。
例6 求小于10000的含1的正整数的个数 解：小于10000的不含1的正整数可看做4位数, 但0000除外，故有9×9×9×9－1＝6560个.从 而含1的有：9999－6560=3439个。
§1.3 组合 一、不允许重复
从n个不同元素的集合A中取r个且不考虑其元素 的顺序组合起来，称为从n中取r个的一个组合，或 A的r-组合，它是A的r-无序子集。A的所有r-组合 n 的个数记为C(n,r)或Cnr或 。
r
规定： C (n, r ) 1, n r 0,
k 0 k 0 k 0
几个推论:对|x|<1的任何x有 1) k
1 x
k x , k 0
k
n k 1 k 1 x (1) k x , k 0 1 1 k k k (1) x , x . 1 x k 0 1 x k 0
第一章 排列与组合
§1.1 加法法则与乘法法则
------是解决计数问题的两个最基本和最常用的规则
一、加法法则
若具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件有n 个，则具有性质A或B的事件数为m+n。
集合论语言描述：
若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则
|AB| = m + n =|A|+|B|。
例2 求20000到70000间的偶数中由不同的数 字组成的5位数的个数。 例3求有多少个5位数，每位数字都不相同， 不能取0，且数字7和9不相邻。
例4 12个人从左到右排成一列，其中张三不 能排在队首，也不能排成队尾，问有多少种排 法？
二、圆排列
从n个不同元素的集合中取出r个元素按某顺序排成 一个圆圈，这样的排列称为圆排列，所有圆排列的 个数记为Q(n,r)。 Q(n,r)与P(n,r)间的关系 P ( n, r ) Q ( n, r ) , r Q(n,n)=(n-1)!.
2.以上公式的推广形式: 对α ∈R,对满足|x/y|<1的 所有x和y有
x y
其中
k k x y , k k 0
( 1) ( k 1) , k! k 1, 0,
0 , n r.
几个重要的结论： 1) P(n, r )
C (n, r )
r!
n! , r!(n r )!
2)C(n,r)=C(n,n-r); C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) --------Pascal公式 =C(n-1,r)+C(n-2,r-1)+…+C(r-1,r-1).
n
n 2n k n . k 0
n
2
i n 1 6. k k 1 . i 0 7. R
n
j j 0
k
j k 1 k .
例3 某餐厅有7种不同的菜，为招待朋友，一个顾 客需要买14个菜，问有多少种买法？ F(7,14) 例4 求将n个无区别的球放入r个有标志的盒子里 (n≥r)而无一空盒的方式数。 例5 求方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数。
三、不相邻组合
从集合A ={a1,a2,…,an}中取r个，不存在ai,ai+1 两个相 邻元素出现在同一个组合中的组合，称为r-不相邻组 合。
其中 n ni 。
i 1
k
n! n1!n2! nk !
例7 由1,2,3,4,5,6这几个数字组成多少个5位数？ 可组成多少个大于34500的5位数？ 例8 用字母A、B、C组成5个字母的符号，要求在 每个符号里，A至多出现2次，B至多出现1次，C 至多出现3次，求此类符号的个数。
另解: 全部4位数有104 个,不含1的四位数有94 个, 含 1的4位数为两个的差: 104－94= 3439个
三、计数问题 分两类： 1)计算事物的有序安排或选择数 a、不允许任何事物重复 b、允许事物重复 2)计算事物的无序安排或选择数 a、不允许任何事物重复 b、允许事物重复
如何区分事物的重复或不重复？ 利用集合与重集的安排或选择的说法加以 区别。 集合：元素一定不相同 重集：元素可以相同 例如，A={a,b,c,d}为集合 B={a,a,b,b,b,c,d,d,d,d} ={2· a,3· b,1· c,4· d}为重集。
§1.5 常用组合恒等式 对正整数m,n,k,p,有
n n n 1 1. k k k 1 ,
n
n n 1 2. k n 2 , k k 1
n
n (1) k k 0. k 0
p q n k n n 8. k k p q p q . k 0
p
p q n p q k n p n q 9. . k k pq k 0 p q (李善兰恒等式,李善兰(1811— 1882 ）， 清代数学家）
例5 有8人围圆桌就餐，问有多少种就座方式？如 有两人不愿意坐在一起，又有多少种坐法？ 例6 有4男4女围圆桌交替就座有多少种方式？
三、重排列
从重集B={k1· b1,k2· b2,…,kn· bn}中选取r个元素按一 定的顺序排成的一列，称为重排列。
结论： 1)重集B={∞·b1, ∞ · b2,…, ∞ · bn}的r-排列的个数为 n r。 2)重集B={n1· b1,n2· b2,…,nk· bk}的全排列的个数为
一般地,设S为有限集,将S分解为互不相交的子集
S1,S2,…,Sm的并,Si为具有性质Ai的事件的集合,
i=1,2,…,m,则S中事件的个数为
|S|=|S1|+|S2|+…+| Sm|.
例 1 某班选修人工智能的有 18 人，不选 的有 10 人，则该班共有 18 + 10 = 28 人。
例2 北京每天直达上海的客车有 5 次，客 机有 3 次，则每天由北京直达上海的旅行 方式有 5 + 3 = 8 种。
p
§1.6 应用举例
例1 将n个有区别的球放入k个有区别的盒子中, 盒内有序的放法有多少种?
例2 某售票处有5个窗口,现有8个人,他们排队购 票的方案有多少种?