2020-2021学年浙江省慈溪市阳光实验中学九年级数学第一学期数学期中试卷

2020−2021慈溪阳光实验中学第一学期九年级中初考试模拟试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列等式计算正确de 是（ ） A ．（﹣2）+3＝﹣1 B ．3﹣（﹣2）＝1
C ．（﹣3）+（﹣2）＝6
D ．（﹣3）+（﹣2）＝﹣5
2．下列四个几何体中，主视图是三角形de 是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．要使二次根式x -1有意义，则x 应满足（ ） A ．x ≠1
B ．x ≥1
C ．x ≤1
D ．x ＜1
4．抛物线y ＝x 2﹣3x +2与y 轴交点de 坐标为（ ） A ．（0，2）
B ．（1，0）
C ．（2，0）
D ．（0，﹣3）
5．如图，把一块直角三角板de 直角顶点放在直尺de 一边上，如果∠1＝22°，那么∠2de 度数是（ ） A ．22°
B ．78°
C ．68°
D ．70°
第5题图 第8题图 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝
13
5
，则cos A de 值为（ ） A ．
12
5 B ．
138 C ．
3
2 D ．
13
12 7．四张完全相同de 卡片上，分别画有圆、正方形、等边三角形和线段，现从中随机抽取两张，卡片上画de 恰好都是中心对称图形de 概率为（ ）
身高（cm ） 170 176 178 182 198 人数（个）
4
6
5
3
2
A ．1
B ．
4
3 C ．
2
1 D ．
4
1 8．某校男子篮球队20名队员de 身高如表所示：则此男子排球队20名队员身高de 中位数是（ ） A ．176cm
B ．177cm
C ．178cm
D ．180cm
9．某工厂接到加工600件衣服de 订单，预计每天做25件，正好按时完成，后因客户要求提前3天交货，工人则需要提高每天de 工作效率，设工人每天应多做x 件，依题意列方程正确de 是（ ） A ．
﹣
＝3 B ．
+3＝
C ．
﹣
＝3 D ．
﹣
＝3
10．某商店举办促销活动，促销de 方法是将原价x 元de 衣服以（5
4
x ﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法de 是（ ） A ．原价减去10元后再打8折 B ．原价打8折后再减去10元 C ．原价减去10元后再打2折
D ．原价打2折后再减去10元
11．已知，△ABC 中，AB=AC=3，∠BAC=90°，点D 是线段BC 上任意一点，连接AD ，以AD 为腰作等腰直角△ADE ，使∠DAE=90°。

则△DECde 周长de 最小值是( )
第11题图 第12题图 12.如图，在直角坐标系中，矩形OABC de 顶点A 、B 在双曲线y ＝x
k
（ x ＞0）上，BC 与x 轴交于点D ．若点A de 坐标为（2，4），则点D de 坐标为（ ） A ．（
，0）
B ．（
，0）
C ．（
，0）
D ．（，0）
二．填空题（共2小题）
13．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝35°，则∠OAB de 度数是 ．
第13题图 第14题图
14．有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶de 环数如图所示，通常新手de 成绩不太稳定，那么根据图中de 信息，估计小林和小明两人中新手是 ．
15．不等式组⎩⎨
⎧+≥-.
423,
03x x x de 解为 ．
16．已知△ABC 中，其最小de 内角∠C =24°，过顶点B de 一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，则∠ABC ．
17．如图，△ABC 是边长为4de 正三角形，以AB 边作正方形ABDE ，点P 和点Q 分别是线段AC 和线段BC 上de 二个动点(线段de 二个端点除外)，连接AQ 和BP 相交于点M ，则点M 到DEde 最大距离是 ．
第17题图 第18题图
18．已知在圆O 中，AB 是直径，点E 和点D 是圆O 上de 点，且∠EAB=45°，延长AE 和BD 相交于点C ，连接BE 和ABC 交于点F ，BD=12，CD=8，则直径ABde 长是 ．
三．解答题（共26小题）
19．计算：（1）o
230sin 83131
-+︒++⎪⎭
⎫ ⎝⎛（2）先化简，再求值：,21244x 4x 2
2--++÷+--x x x x x 其中22x -=
20．温州市政府计划投资百亿元开发瓯江口新区，打造出一个“东方时尚岛、海上新温州”．为了解温州市民对瓯江口新区de 关注情况，某学校数学兴趣小组随机采访部分温州市民，对采访情况制作了统计图表de 一部分如下：
关注情况 频数 频率 A ．高度关注 m 0.1 B ．一般关注 100 0.5 C ．不关注 30 n D ．不知道
50
0.25
（1）根据上述统计表可得此次采访de 人数为 人；m ＝ ，n ＝ ；
（2）根据以上信息补全条形统计图；
（3）根据上述采访结果，估计25000名温州市民中高度关注瓯江口新区de 市民约 人．
21．如图，在由边长为1个单位长度de 小正方形组成de 网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线de 交
点）和点A1．
（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出相应de△AB1C1；
（2）将△AB1C1沿射线AA1平移到△A1B2C2处，画出△A1B2C2；
（3）点C在两次变换过程中所经过de路径长为．
22．如图，一艘渔船位于码头M de南偏东45°方向，距离码头120海里de B处，渔船从B处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东60°方向de A处．
（1）求渔船从B到A de航行过程中与码头M之间de最小距离．
（2）若渔船以20海里/小时de速度从A沿AM方向行驶，求渔船从A到达码头M de航行时间．
23．温州某学校搬迁，教师和学生de寝室数量在增加，若该校今年准备建造三类不同de寝室，分别为单人间（供一个人住宿），双人间（供两个人住宿），四人间（供四个人住宿）．因实际需要，单人间de数量在20至于30之间（包括20和30），且四人间de数量是双人间de5倍．
（1）若2015年学校寝室数为64个，2017年建成后寝室数为121个，求2015至2017年de平均增长率；
（2）若建成后de寝室可供600人住宿，求单人间de数量；
（3）若该校今年建造三类不同de寝室de总数为180个，则该校de寝室建成后最多可供多少师生住宿？
24．如图，第一象限内半径为2de⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C de切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线P A de解析式为：y＝kx+3．
（1）设点P de纵坐标为p，写出p随k变化de函数关系式．
（2）设⊙C与P A交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）de什么位置时，都有△AMN∽△ABP．请你对于点P处于图中位置时de两三角形相似给予证明；
（3）是否存在使△AMN de面积等于de k值？若存在，请求出符合de k值；若不存在，请说明理由．
25．如图，二次函数y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）de图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B de左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数de图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数de图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）用含m de代数式表示a；
（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数图象de顶点为F，探索：在x轴de负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE de长度为三边长de三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求de点G即可，并用含m de 代数式表示该点de横坐标；如果不存在，请说明理由．
26．如果三角形de两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样de三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝°；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．若AD是∠BAC de平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE de长；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC de长．
2019−2020慈溪阳光实验中学第一学期九年级中初考试参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．D ．2．B ．3．C ．4．A ．5．C ．6．D ．7．C ．8.B ．9．D ．10．B ．11. 12．：B ． 二．填空题（共2小题）
13．55°．14．小林．15.＜43x 。

16.
20．（1）此次采访de 人数为：100÷0.5＝200（人），m ＝200×0.1＝20，n ＝
＝0.15，
（2）补全条形统计图如图所示，（3）25000×0.1＝2500（人），
答：计25000名温州市民中高度关注瓯江口新区de 市民约2500人．故答案为：200，20，0.15，2500．
第20题图 第21题图（1） 第21题图（2） 21．（1）如图所示：（2）所画图形如下： （3）C 在两次变换过程中所经过de 路径长＝
+
＝
π+
．
22．（1）作AC ⊥AB 于C ， 则MC ＝BM ×cos45°＝60
海里，
答：渔船从B 到A de 航行过程中与码头M 之间de 最小距离为60海里； （2）在Rt △ACM 中，AM ＝
＝40
，40
÷20＝2
，
答：渔船从A 到达码头M de 航行时间为2
小时．
23．（1）设2015至2017年de平均增长率是x，依题意有64（1+x）2＝121，解得x1＝0.375，x2＝﹣2.375．故2015至2017年de平均增长率为37.5%；
（2）设双人间de数量为y间，则四人间de数量为5y间，依题意有20≤600﹣2y﹣4×5y≤30，
解得25≤y≤26，∵y为整数，∴y＝26，600﹣2y﹣4×5y＝600﹣52﹣520＝28．
故单人间de数量是28间；
（3）由于四人间de数量是双人间de5倍，则四人间和双人间de数量是5+1＝6de倍数，
∵150～160间6de最大倍数是156，∴双人间156÷6＝26（间），四人间de数量26×5＝130（间），
单人间180﹣156＝24（间），24+26×2+130×4＝596（名）．
答：该校de寝室建成后最多可供596名师生住宿．
24．（1）∵y轴和直线l都是⊙C de切线，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四边形OADB是矩形；∵⊙C de半径为2，∴AD＝OB＝4；
∵点P在直线l上，∴点P de坐标为（4，p）；又∵点P也在直线AP上，∴p＝4k+3；
（2）连接DN．∵AD是⊙C de直径，∴∠AND＝90°，
∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN，
∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP
（3）存在．理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝，∵S△ABD＝AB•DN＝AD•DB∴DN＝＝，∴AN2＝AD2﹣DN2＝，∵△AMN∽△ABP，∴，即
当点P在B点上方时，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16（k2+1），
或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），
S△ABP＝PB•AD＝（4k+3）×4＝2（4k+3），
∴，
整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k1＝2+，k2＝2﹣
当点P在B点下方时，
∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PB•AD＝[﹣（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）∴
化简得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2，
综合以上所得，当k＝2±或k＝﹣2时，△AMN de面积等于
第24题图第25题图第25题图
25．（1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y＝a（x2﹣2mx﹣3m2），则﹣3＝a（0﹣0﹣3m2），解得a＝．（2）方法一：证明：如图1，过点D、E分别作x轴de垂线，垂足为M、N．
由a（x2﹣2mx﹣3m2）＝0，解得x1＝﹣m，x2＝3m，则A（﹣m，0），B（3m，0）．
∵CD∥AB，∴D点de纵坐标为﹣3，又∵D点在抛物线上，
∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点de坐标为（2m，﹣3）．∵AB平分∠DAE，∴∠DAM＝∠EAN，∵∠DMA＝∠ENA＝90°，∴△ADM∽△AEN．∴＝＝．
设E坐标为（x，），∴＝，
∴x＝4m，∴E（4m，5），
∵AM＝AO+OM＝m+2m＝3m，AN＝AO+ON＝m+4m＝5m，∴＝＝，即为定值．
方法二：过点D、E分别作x轴de垂线，垂足为M、N，∵a（x2﹣2mx﹣3m2）＝0，∴x1＝﹣m，x2＝3m，则A（﹣m，0），B（3m，0），∵CD∥AB，∴D点de纵坐标为﹣3，∴D（2m，﹣3），
∵AB平分∠DAE，∴K AD+K AE＝0，∵A（﹣m，0），D（2m，﹣3），∴K AD＝＝﹣，∴K AE＝，∴⇒x2﹣3mx﹣4m2＝0，
∴x1＝﹣m（舍），x2＝4m，∴E（4m，5），∵∠DAM＝∠EAN＝90°∴△ADM∽△AEN，
∴，∵DM＝3，EN＝5，∴．
（3）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F de坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点H．
连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求de点G．
∵tan∠CGO＝，tan∠FGH＝，∴＝，∴，
∵OC＝3，HF＝4，OH＝m，∴OG＝3m．
∵GF＝＝＝4，AD＝＝＝3，
∴＝．∵＝，∴AD：GF：AE＝3：4：5，
∴以线段GF，AD，AE de长度为三边长de三角形是直角三角形，此时G点de横坐标为﹣3m．
26．（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴2∠B+∠A＝90°，解得，∠B＝15°，
故答案为：15°；
（2）如图①中，
在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠BAD，∴∠B+2∠BAD＝90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
∵△ABE也是“准互余三角形”，∴只有2∠B+∠BAE＝90°，∵∠B+∠BAE+∠EAC＝90°，
∴∠CAE＝∠B，∵∠C＝∠C＝90°，∴△CAE∽△CBA，可得CA2＝CE•CB，∴CE＝，
∴BE＝5﹣＝．
（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．
∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD，∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF＝180°，∴A、B、F共线，∴∠F AC+∠ACF＝90°∴2∠ACB+∠CAB≠90°，∴只有2∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠FCB＝∠F AC，∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△F AC，
∴CF2＝FB•F A，设FB＝x，则有：x（x+7）＝122，∴x＝9或﹣16（舍弃），∴AF＝7+9＝16，
在Rt△ACF中，AC＝＝＝20．。