导数法求最大最小值

例1: 如图,在二次函数f(x)= y 2 4x-x 的图象与x轴所 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 , x2 2 . S( x) 6 x 24x 16. 令 S ( x ) 0 ,得x1 2
二、新课——函数的最值
y
观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ，最小值 大值，在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 2 9
2 3
3 32 3 . 9
3
例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
三、例题选讲
例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小 值. 3 y 4 x 4 x. 解: 令 y 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y, y 的变化情况如下表:
x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y’ 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.
(0 x 100 ).
令 y t (
5x 400 x
2
3) 0 ,在 0 x 100 的范围内有
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运 费最省. 注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合. 练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h. 答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大. 2.与数学中其它分支的结合与应用.
2
,求常数a,b.
又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1) =-1-3a/2+b=-3a/2,所以 3a 6 a 6 .
2 2 3
延伸2:设p>1,0≤x≤1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域. 说明:由于f(x)在[0,1]上连续可导,必有最大值与最小值, 因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值. p1 p1 p1 p1 解: f ( x) px p(1 x) p[ x (1 x) ]. 令 f ( x ) 0 ,则得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
x2 5x 6 例2:求函数 f ( x ) 在区间[-1,3]上的最大值与 2 x 1 最小值. 5( x 2 2 x 1) . 解: f ( x ) 2 2 ( x 1) 令 f ( x ) 0 ,得 x1 1 2 , x2 1 2 , 且x1 , x2 [1,3].
1 设 x 1 cos , y sin ,由x,y为正实数得: 0 . 2 1 xy (1 cos ) si n . 2 1 设 f ( ) (1 cos ) si n . 2
1 1 2 f ( ) [ sin (1 cos ) cos ] (cos 1)(cos ). 2 2 1 f ( ) 0 令 ,得 cos 1, cos ;又 0 , . 2 3 3 3 3 3 . ,又f(0)=f(π)=0,[ f ( )]max f( ) 8 3 8 3 3 3 3 . 故当 x , y 时, ( xy)max 2 4 8
1
1 1 而 f ( 2 ) 2 p 1 ,f(0)=f(1)=1,因为p>1,故1>1/2p-1.
所以f(x)的最小值为
2
p 1
,最大值为1.
1 2
p 1
从而函数f(x)的值域为 [
,1].
练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最 大值和f(1)=7.
2 3 2 3 延伸1:设 3 a 1 ,函数 f ( x ) x 2 ax b( 1 x 1) 的最 6
大值为1,最小值为
2
解:令 f ( x) 3 x 3ax 0 得x=0或a. 当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x -1 (-1,0) 0 (0,a) a (a,1) 1 f’(x) + 0 0 + f(x) -1-3a/2+b ↗ b ↘ -a3/2+b ↗ 1-3a/2+b 由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(0)> f(-1),f(1)>f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小. f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b =1.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.
类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2. V 2 由V=πr h,得 h 2 ,则 r V 2V 2 S ( r ) 2r 2 2r 2r 2 . r r V V V 2V 令S (r ) 2 4r 0 ,解得 r 3 ,从而h 2 r 2 V 2 r 3 ( )
4V V 3 2 ,即h=2r. 2
3
2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.
答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
C 例2:如图,铁路线上AB段长 100km,工厂C到铁路的 距离CA=20km.现在要 在AB上某一处D,向C修 B D A 一条公路.已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?
2 3
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求f(x) 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);
②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中 最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数的最值时,应注意以下几点: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x 2 400 x 2 km. 又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千 米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂 C的总运费为 y 5t CD 3t BD 5t 400 x 2 3t (100 x )
例1:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等 的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无 盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少? 解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60). 3 令V ( x ) 60x x 2 0 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 2 16000. 由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值. 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
函数的最大值 与最小值
一、复习与引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: ①如果在x0附近的左侧 f ( x) 0 右侧 f ( x) 0 ,那么,f(x0) 是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0 右侧 f ( x) 0 ,那么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到. 3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.
75 2 75 2 , f (1 2 ) . 相应的函数值为: f (1 2 ) 2 2 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0 75 2 ; 比较得, f(x)在点 x1 1 2 处取得最大值 2 75 2 . 在点 x2 1 2 处取得最小值 2
1 1 2 2 例3:证明不等式: ln x ( x 1) 1 (1 x )3 ( x 0). x 2 3 1 1 2 2 3 f ( x ) ln x ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 0). 证 :设 x 2 3 1 1 2 3 2x 1 则 f ( x ) 2 ( x 1) 2( x 1) ( x 1) 2 , x x x
四、应用
1.实际问题中的应用. 在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法 求最值是求解这类问题常见的解题思路.
在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域. 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个 点使 f ( x ) 0 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间. 满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.