关于曲线拟合的方法探讨
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Ｉ三堇主簦奎！Ｇ。ｎｇｙｉ
ｙｕ
Ｊｉｓｈｕ
关于曲线拟合的方法探讨
平书伟
（广东白云学院机电系，广东广州５１０４５０） 摘要：在现代图形造犁技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。现着重对最，ｌ，－－乘法、移动最小二乘法、ＮＵＲＢＳ三次曲 线拟合法和基于ＲＢＦ曲线拟合法进行比较，分析拟合方法的适用场合．从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。 关键词：离散点；曲线；拟合
辅出屠
隐层
令ｆ（ｘ）－－ａ一＋ｂｘ＋ｃ，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最
小。即：
图１
ＲＢＦ神经网络结构图
各算法流程如下：
广ｉ——————一
最小二乘法通过建立二次函数进行拟合。建立拟合函数厂Ｑ） （Ｉ） －－ｍ２＋ｂｘ＋ｃ，求所有数据点与二次曲线的距离和最小的二次曲线，得
…ｌ＝、／∑矿∽１）：
１．３
各种方法的优劣．
表１给定的数据点
ＮＵＲＢＳ三次曲线拟合
Ｎ－ＯＲＢＳ作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法，是现代
图形学的基础，因此ＮＵＲＢＳ曲线拟合有着重要的实际意义。 ＮＵＲＢＳ曲线的数学模犁和数学方法可以参考文献Ｅ２－１。本文采用 ｖｃ技术［３＿．】，利用ＯｐｅｎＧＬ的ＮＵＰ．ＢＳ曲线拟合函数，即可得到 ＮＵＲＢＳ曲线．
曲线拟合函数，因此本文将借助ＶＣ进行编程，实现ＮＵＩｍＳ三次
曲线拟合。
（２）基于ＲＢＦ曲线拟合流程：本文将采用高斯函数作为ＲＢＦ
函数的核函数ｔｓ］。１）采用Ｋ－均值法，确定聚类中心；２）按聚类中
心分组；３）计算样本均值：４）重复２）、３），直到聚类中心不再变化；
５）确定半径；６）调节输出层权。
，Ｑ）＝∑ｑＱ）ＫＱ）爿【ｒＱ）ｎＱ）
０引言 随着科技的不断进步，产品造型越来越复杂，因而对于造型的
方法也提出了更高的要求。由于经常要处理数据点，并对数据点进
１．４基于ＲＢＦ的曲线拟合
Ｒ．ＢＦ（Ｒａｄｉａｌ Ｂａｓｉｓ
Ｆｕｎｃｔｉｏｎ），径向神经网络是以径向基函数
ＣＲＢＦ）作为隐单元的“基”，构成隐含层空间，隐含层对输入矢量进 行变换将低维的模式输入数据变换到高维空间内，使得在低维空
行拟合，因此曲线拟合就成了处理离散点成线的一种常用的手段。
曲线拟合的方法有很多种，各有各的优势。本文将对常用的几种曲 线拟合方法（最小二乘法、移动最小二乘法、ＮＵＲＢＳ三次曲线拟合 和基于ＲＢＦ曲线拟合）进行论述，分析拟合方法的适用场合，以便 在针对具体情况时可以采用相应的拟合方法。
间内的线性不可分问题在高维空间内线性可分。这是一种数学分 析方法，具有较快的收敛速度、强大的抗噪和修复能力。ＲＢＦ神经
式中。口＆）为待求系数；足（Ｄ为线性摹函数。一般令足（Ｄ＝［１，ｚ，力ｒ， ｍ＝３：求解过程可以参照文献［１］，从而可求ａＧ），得到．厂Ｑ）。
１．２．２移动最小二乘法的算法流程 （１）将区域进行分段。（２）对每个分段点进行循环：１）确定网格 点的影响区域大小：２）确定包含在网格点的影响区域内的节点； ３）计算型函数；４）计算网格点的节点值。Ｏ）连接网格点形成拟合曲 线。
供氧系统用于转炉吹炼中的吹氧量与氧枪位置控制，即氧枪与 钢水液面距离控制。测量氧气压力、流量、氧耗量、氧纯度等参数， 进行氧流量闭环控制；测量氧枪冷却水温度、压力与流量；以电子 逻辑或微型机拧制装置改变吹炼中不同阶段的氧枪位置。
４．２主、剐原料系统
主、副原料系统用以保证主、副原料的准确称量。其电子秤用 以对铁水、废钢、铁合金和铡水进行自动去皮称重：根据科位检测 器检出的料仓料佗信号，经人工设定与计算机设定副原料配比，用 皮带秤称重及料斗秤称量后，通过微型机或电子逻辑线路控制，自 动按量将副原料装入炉中，完成副原料称重及自动配料上料控制； 还能在高住料仓的副原料用光时，自动将地下料仓的副原料送入高 位料仓。底吹供气流量调节是一个程序调节系统，其给定值按底吹 供气模型变化，根据不同钢种，设计存储了４个供气强度模型曲 线．其通用型通过键盘可随时调用、修改这些模型曲线，并通过Ｈｌ 网传送至ＰＬＣ。其次，为了保证测量精度，我们采用了２台同精度
使用ＲＢＦ进行曲线拟合的精度最高，但不易用数学表达方式去表 达，而ＮＵＲＢＳ曲线易用数学表达。能用数学方式去表达ＲＢＦ拟合 的曲线，将使ＲＢＦ拟合方法更具发展空间。矿 ［参考文献】
－７：一■一了＼ｏ
●◆ ◆●
［１］曾清红，卢德唐．基于移动最小＿二乘法的曲线曲面拟合．工程图学
学报，２００４（１）：８４～８８
４．１供氧系统
和各种自动检测仪表、电子称景装置等部分组成。主要分为供氧系 统、原料系统、副枪系统、煤气ｌ旦ｌ收系统、成分分析系统与计算机测 控系统。 ２系统功能 系统对氧气顶吹转炉进行生产全过程监视、控制及管理，对生 产过程所有参数进行实时监控、记录、自动报表打印，使操作人员 得以全面了解生产过程的实时参数，准确把握转炉温度与炭含量、 出钢时间与溅淹护炉效果，适时调节氧雎、冷却水流量等参数，以 消除事故隐患，提高生产质量和生产效率。 ３系统原理 转炉自动化采用生产管理级别、过程控制级、摹础自动化级别 ｉ级控制。基础自动化控制级采用ＰＬＣ可编程逻辑控制器，对转 炉炼钢进行数据采集、顺序控制、监控操作、数据通讯等转炉生产 过程控制；过程控制级南服务器、交换机、工作站及工业控制计算 机构成，用于转炉冶炼控制、设备维护、数据统计，并收集从化验室 获取的试样数据：生产管理级用于下达生产任务与生产指标。实现 对冶金全过程的参数计算和优化、数据及质量跟踪、生产顺序控制 与管理。系统配以网络监控操作，实现其功能操作和控制管理。
Ｉ ｌ
＝
ｌ ｌ
２ １．５
３ １２．３
５ １．８
６ １．２
７ ３．３
８ ４．１
９ ３．１
１０ ３．５
ｙ
采用不同的拟合方法对数据点进行拟合。得到的拟合曲线如 图２所示。
１１２
万方数据
Ｇ。ｎｇｙｔ ｙｕ
Ｊｔｓｈｕ：三至主簦查ｌ
炼钢厂转炉系统自动化控制
周盛宏
（－－十三冶建设集团，湖南长沙４１００１５） 摘要：氧气转炉冶炼周期短、产量高、反应复杂，但人工拧制钢水终点温度与含碳景的命中率低，精度差。完善的自动化系统能实现对转化 炉的动态控制，能充分发挥其快速冶炼优势，提高生产效率和质鼍。主要从转炉自动化控制系统构成、系统功能、系统原理及系统工艺流程等方 面介绍了炼钢ｆ。转炉系统自动化控制。 关键词：炼钢厂；转炉系统：自动化控制
ｉ－Ｉ
（２）
２实例验证 为了比较Ｅ述４种方法的优劣．本文采用ｌ组数据，用４种方
法进行拟合，然后比较拟合的情况，从而进行判断。如果型值点经 比较后，在型值点变化微小的情况下，拟合的曲线将趋于平稳。就 难以分出其优劣，因此在给定数据的时候（表１），特地给出一个奇 异点（第３个点）。通过对该表的数据点进行４种拟合方法来比较
Ｉ
ｌ－０
对（１）式求导．使其等于０，则可以求出．厂Ｑ）的系数ａ，ｂ、ｃ，从
而求解出拟合函数。 １．２移动最小二乘法 移动最小二乘法在最小二乘法的基础上进行了较大的改进， 通过引入紧支概念（即影响区域，数据点一定范围内的节点对该点
到口、ｂ、ｃ，从而得到－二次曲线图像。
移动最小二乘法的流程是：
（１）Ⅻ瓜ＢＳ曲线拟合：确定节点矢量，本文通过弦长累加来确 定节点矢量。在Ｍ．爪ＢＳ曲线拟合时，设置最前４个节点矢量的值
相同和最后４个节点矢量的值相同，那么拟合的曲线将通过给定 型值点的第一个点和最后一个点。由于ＯｐｃｎＧＬ有现成的ＮＵＲＢＳ
的拟合函数值有影响），选取适合的权函数，算出拟合函数来替代
最小二乘法中的拟合函数。从而有更高的拟合精度及更好的拟合 光滑度。 １．２．１移动最小二乘法的拟合函数 设拟合函数为．厂Ｑ）在求解域Ｑ内的ｎ个节点只Ｇ－１、２、３、……、 Ｄ，则：
１
系统构成４工艺流程 典型的转炉自动化控制系统由过程控制计算机、微璋！计算机 转炉系统自动化控制的设备配置有转炉本体、氧枪及供气设 备、副枪测试装置、底部供气装置、受铁设备、废钢装料设备、副原 料上料及投料设备、汽化冷却余热回收设备、一次煤气除尘及煤气 回收设备、二次除尘设备以及铁合金加料设备等。其工艺流程为：
向：曲线曲面造型。
机电信息２０１１年第１２期总第２９４期１１３
万方数据
网络结构图如图ｌ所示。
１拟合方法论述
１．１最小二乘法
最小■乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的晟佳函数匹
配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法。一般最小二乘法的拟 合函数是一元＿次，可一元多次，也可多元多次。该方法是通过求 出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法。
磁 乘法拟合
、、
“）●小二秉法拟合
［２］朱心雄．自由曲线曲面造型设计．北京：科学出版社，２００８
［Ｙｌ吕希奎．周小平．实战０ｐｅｎＧＬ三维町视化系统开发与源码精解．
北京：电子工业出版社．２００９ ［４１钱能．Ｃ＋＋程序设计教程．北京：清华大学出版社，２００５
［５］张孵艳，王宏涛，李忠文．基于ＲＢＦ神经网络的－二角网格曲面孔洞
修补．中国机械工程，２００５，１６（２３）：２ ０７２～２ ０７９
（ｃ）ＮＵＲＢＳ三次扭合曲线
（ｄ）采用ＲＢＦ进行拟合曲线
图２不同方法拟合的曲线
３结语 通过上述４个拟合的曲线可以得出：最小二乘法的精度最差。
收稿日期：２０１Ｉ－０３—２２
作者简介：平书伟（１９８４－－），男。江西广丰人。硕士研究生，研究方
ｙｕ
Ｊｉｓｈｕ
关于曲线拟合的方法探讨
平书伟
（广东白云学院机电系，广东广州５１０４５０） 摘要：在现代图形造犁技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。现着重对最，ｌ，－－乘法、移动最小二乘法、ＮＵＲＢＳ三次曲 线拟合法和基于ＲＢＦ曲线拟合法进行比较，分析拟合方法的适用场合．从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。 关键词：离散点；曲线；拟合
辅出屠
隐层
令ｆ（ｘ）－－ａ一＋ｂｘ＋ｃ，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最
小。即：
图１
ＲＢＦ神经网络结构图
各算法流程如下：
广ｉ——————一
最小二乘法通过建立二次函数进行拟合。建立拟合函数厂Ｑ） （Ｉ） －－ｍ２＋ｂｘ＋ｃ，求所有数据点与二次曲线的距离和最小的二次曲线，得
…ｌ＝、／∑矿∽１）：
１．３
各种方法的优劣．
表１给定的数据点
ＮＵＲＢＳ三次曲线拟合
Ｎ－ＯＲＢＳ作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法，是现代
图形学的基础，因此ＮＵＲＢＳ曲线拟合有着重要的实际意义。 ＮＵＲＢＳ曲线的数学模犁和数学方法可以参考文献Ｅ２－１。本文采用 ｖｃ技术［３＿．】，利用ＯｐｅｎＧＬ的ＮＵＰ．ＢＳ曲线拟合函数，即可得到 ＮＵＲＢＳ曲线．
曲线拟合函数，因此本文将借助ＶＣ进行编程，实现ＮＵＩｍＳ三次
曲线拟合。
（２）基于ＲＢＦ曲线拟合流程：本文将采用高斯函数作为ＲＢＦ
函数的核函数ｔｓ］。１）采用Ｋ－均值法，确定聚类中心；２）按聚类中
心分组；３）计算样本均值：４）重复２）、３），直到聚类中心不再变化；
５）确定半径；６）调节输出层权。
，Ｑ）＝∑ｑＱ）ＫＱ）爿【ｒＱ）ｎＱ）
０引言 随着科技的不断进步，产品造型越来越复杂，因而对于造型的
方法也提出了更高的要求。由于经常要处理数据点，并对数据点进
１．４基于ＲＢＦ的曲线拟合
Ｒ．ＢＦ（Ｒａｄｉａｌ Ｂａｓｉｓ
Ｆｕｎｃｔｉｏｎ），径向神经网络是以径向基函数
ＣＲＢＦ）作为隐单元的“基”，构成隐含层空间，隐含层对输入矢量进 行变换将低维的模式输入数据变换到高维空间内，使得在低维空
行拟合，因此曲线拟合就成了处理离散点成线的一种常用的手段。
曲线拟合的方法有很多种，各有各的优势。本文将对常用的几种曲 线拟合方法（最小二乘法、移动最小二乘法、ＮＵＲＢＳ三次曲线拟合 和基于ＲＢＦ曲线拟合）进行论述，分析拟合方法的适用场合，以便 在针对具体情况时可以采用相应的拟合方法。
间内的线性不可分问题在高维空间内线性可分。这是一种数学分 析方法，具有较快的收敛速度、强大的抗噪和修复能力。ＲＢＦ神经
式中。口＆）为待求系数；足（Ｄ为线性摹函数。一般令足（Ｄ＝［１，ｚ，力ｒ， ｍ＝３：求解过程可以参照文献［１］，从而可求ａＧ），得到．厂Ｑ）。
１．２．２移动最小二乘法的算法流程 （１）将区域进行分段。（２）对每个分段点进行循环：１）确定网格 点的影响区域大小：２）确定包含在网格点的影响区域内的节点； ３）计算型函数；４）计算网格点的节点值。Ｏ）连接网格点形成拟合曲 线。
供氧系统用于转炉吹炼中的吹氧量与氧枪位置控制，即氧枪与 钢水液面距离控制。测量氧气压力、流量、氧耗量、氧纯度等参数， 进行氧流量闭环控制；测量氧枪冷却水温度、压力与流量；以电子 逻辑或微型机拧制装置改变吹炼中不同阶段的氧枪位置。
４．２主、剐原料系统
主、副原料系统用以保证主、副原料的准确称量。其电子秤用 以对铁水、废钢、铁合金和铡水进行自动去皮称重：根据科位检测 器检出的料仓料佗信号，经人工设定与计算机设定副原料配比，用 皮带秤称重及料斗秤称量后，通过微型机或电子逻辑线路控制，自 动按量将副原料装入炉中，完成副原料称重及自动配料上料控制； 还能在高住料仓的副原料用光时，自动将地下料仓的副原料送入高 位料仓。底吹供气流量调节是一个程序调节系统，其给定值按底吹 供气模型变化，根据不同钢种，设计存储了４个供气强度模型曲 线．其通用型通过键盘可随时调用、修改这些模型曲线，并通过Ｈｌ 网传送至ＰＬＣ。其次，为了保证测量精度，我们采用了２台同精度
使用ＲＢＦ进行曲线拟合的精度最高，但不易用数学表达方式去表 达，而ＮＵＲＢＳ曲线易用数学表达。能用数学方式去表达ＲＢＦ拟合 的曲线，将使ＲＢＦ拟合方法更具发展空间。矿 ［参考文献】
－７：一■一了＼ｏ
●◆ ◆●
［１］曾清红，卢德唐．基于移动最小＿二乘法的曲线曲面拟合．工程图学
学报，２００４（１）：８４～８８
４．１供氧系统
和各种自动检测仪表、电子称景装置等部分组成。主要分为供氧系 统、原料系统、副枪系统、煤气ｌ旦ｌ收系统、成分分析系统与计算机测 控系统。 ２系统功能 系统对氧气顶吹转炉进行生产全过程监视、控制及管理，对生 产过程所有参数进行实时监控、记录、自动报表打印，使操作人员 得以全面了解生产过程的实时参数，准确把握转炉温度与炭含量、 出钢时间与溅淹护炉效果，适时调节氧雎、冷却水流量等参数，以 消除事故隐患，提高生产质量和生产效率。 ３系统原理 转炉自动化采用生产管理级别、过程控制级、摹础自动化级别 ｉ级控制。基础自动化控制级采用ＰＬＣ可编程逻辑控制器，对转 炉炼钢进行数据采集、顺序控制、监控操作、数据通讯等转炉生产 过程控制；过程控制级南服务器、交换机、工作站及工业控制计算 机构成，用于转炉冶炼控制、设备维护、数据统计，并收集从化验室 获取的试样数据：生产管理级用于下达生产任务与生产指标。实现 对冶金全过程的参数计算和优化、数据及质量跟踪、生产顺序控制 与管理。系统配以网络监控操作，实现其功能操作和控制管理。
Ｉ ｌ
＝
ｌ ｌ
２ １．５
３ １２．３
５ １．８
６ １．２
７ ３．３
８ ４．１
９ ３．１
１０ ３．５
ｙ
采用不同的拟合方法对数据点进行拟合。得到的拟合曲线如 图２所示。
１１２
万方数据
Ｇ。ｎｇｙｔ ｙｕ
Ｊｔｓｈｕ：三至主簦查ｌ
炼钢厂转炉系统自动化控制
周盛宏
（－－十三冶建设集团，湖南长沙４１００１５） 摘要：氧气转炉冶炼周期短、产量高、反应复杂，但人工拧制钢水终点温度与含碳景的命中率低，精度差。完善的自动化系统能实现对转化 炉的动态控制，能充分发挥其快速冶炼优势，提高生产效率和质鼍。主要从转炉自动化控制系统构成、系统功能、系统原理及系统工艺流程等方 面介绍了炼钢ｆ。转炉系统自动化控制。 关键词：炼钢厂；转炉系统：自动化控制
ｉ－Ｉ
（２）
２实例验证 为了比较Ｅ述４种方法的优劣．本文采用ｌ组数据，用４种方
法进行拟合，然后比较拟合的情况，从而进行判断。如果型值点经 比较后，在型值点变化微小的情况下，拟合的曲线将趋于平稳。就 难以分出其优劣，因此在给定数据的时候（表１），特地给出一个奇 异点（第３个点）。通过对该表的数据点进行４种拟合方法来比较
Ｉ
ｌ－０
对（１）式求导．使其等于０，则可以求出．厂Ｑ）的系数ａ，ｂ、ｃ，从
而求解出拟合函数。 １．２移动最小二乘法 移动最小二乘法在最小二乘法的基础上进行了较大的改进， 通过引入紧支概念（即影响区域，数据点一定范围内的节点对该点
到口、ｂ、ｃ，从而得到－二次曲线图像。
移动最小二乘法的流程是：
（１）Ⅻ瓜ＢＳ曲线拟合：确定节点矢量，本文通过弦长累加来确 定节点矢量。在Ｍ．爪ＢＳ曲线拟合时，设置最前４个节点矢量的值
相同和最后４个节点矢量的值相同，那么拟合的曲线将通过给定 型值点的第一个点和最后一个点。由于ＯｐｃｎＧＬ有现成的ＮＵＲＢＳ
的拟合函数值有影响），选取适合的权函数，算出拟合函数来替代
最小二乘法中的拟合函数。从而有更高的拟合精度及更好的拟合 光滑度。 １．２．１移动最小二乘法的拟合函数 设拟合函数为．厂Ｑ）在求解域Ｑ内的ｎ个节点只Ｇ－１、２、３、……、 Ｄ，则：
１
系统构成４工艺流程 典型的转炉自动化控制系统由过程控制计算机、微璋！计算机 转炉系统自动化控制的设备配置有转炉本体、氧枪及供气设 备、副枪测试装置、底部供气装置、受铁设备、废钢装料设备、副原 料上料及投料设备、汽化冷却余热回收设备、一次煤气除尘及煤气 回收设备、二次除尘设备以及铁合金加料设备等。其工艺流程为：
向：曲线曲面造型。
机电信息２０１１年第１２期总第２９４期１１３
万方数据
网络结构图如图ｌ所示。
１拟合方法论述
１．１最小二乘法
最小■乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的晟佳函数匹
配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法。一般最小二乘法的拟 合函数是一元＿次，可一元多次，也可多元多次。该方法是通过求 出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法。
磁 乘法拟合
、、
“）●小二秉法拟合
［２］朱心雄．自由曲线曲面造型设计．北京：科学出版社，２００８
［Ｙｌ吕希奎．周小平．实战０ｐｅｎＧＬ三维町视化系统开发与源码精解．
北京：电子工业出版社．２００９ ［４１钱能．Ｃ＋＋程序设计教程．北京：清华大学出版社，２００５
［５］张孵艳，王宏涛，李忠文．基于ＲＢＦ神经网络的－二角网格曲面孔洞
修补．中国机械工程，２００５，１６（２３）：２ ０７２～２ ０７９
（ｃ）ＮＵＲＢＳ三次扭合曲线
（ｄ）采用ＲＢＦ进行拟合曲线
图２不同方法拟合的曲线
３结语 通过上述４个拟合的曲线可以得出：最小二乘法的精度最差。
收稿日期：２０１Ｉ－０３—２２
作者简介：平书伟（１９８４－－），男。江西广丰人。硕士研究生，研究方