上海市静安区2017届高三数学4月教学质量检测二模试题
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上海市静安区2017届高三数学4月教学质量检测(二模)试题
本试卷共有20道试题,满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题(55分)本大题共有11题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格
填对得5分,否则一律得零分. 1.已知集合{}0ln |>=x x A ,{}
32|<=x
x B ,则=B A ________.
2.若实数x ,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤≥,092,,0y x x y x 则y x z 3+=的最大值等于________.
3.已知7)(x
a
x -展开式中3
x 的系数为84,则正实数a 的值为 .
4.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为________.
5.设)(x f 为R 上的奇函数.当0≥x 时,b x x f x
++=22)( (b 为常数),则)1(-f 的值为________.
6.设Q P ,分别为直线⎩⎨⎧-==t y t x 26,(t 为参数)和曲线C :⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θ
θsin 52,
cos 51y x (θ为参数)的点,
则PQ 的最小值为 .
7.各项均不为零的数列}{n a 的前n 项和为n S . 对任意*
N ∈n ,)2,(11++-=n n n n a a a m 都是直线kx y =的法向量.若n n S ∞
→lim 存在,则实数k 的取值范围是________.
8.已知正四棱锥ABCD P -的棱长都相等,侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ,则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是________. 9.设0>a ,若对于任意的0>x ,都有
x x
a 21
1≤-,则a 的取值范围是________. 10.若适合不等式5342≤-++-x k x x 的x 的最大值为3,则实数k 的值为_______. 11.已知x
x x f +-=
11)(,数列}{n a 满足211=a ,对于任意*
N ∈n 都满足)(2n n a f a =+,且0>n a ,
若1820a a =,则20172016a a +的值为_________.
二、选择题(20分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须
把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
12.已知,,a b ∈R 则“33log log a b >”是“b
a )2
1()21
(<”的( ).
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
13.已知复数z 满足z z
-=+1i
1(i 是虚数单位)
,则z 的虚部为( ). A .i
B .-1
C .1
D .-i
14.当⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
∈21,0k 时,方程
()1+=x k x 的根的个数是( )
. A .1 B .2 C .3 D .4
15.曲线C 为:到两定点)0,2(-M 、)0,2(N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹.以下结论正确的
个数为( ).
(1)曲线C 一定经过原点;
(2)曲线C 关于x 轴对称,但不关于y 轴对称; (3)MPN ∆的面积不大于8;
(4)曲线C 在一个面积为60的矩形范围内.
A .0
B .1
C .2
D .3
三、解答题(本题满分75分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤. 16.(本题满分12分,第1小题6分,第2小题6分)
如图,等腰AOB ∆Rt ,2==OB OA ,点C 是OB 的中点,AOB ∆绕BO 所在的边逆时针旋转一周.
(1)求ABC ∆旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S ; (2)设OA 逆时针旋转至OD ,旋转角为θ,且满足
BD AC ⊥,求θ.
17.(本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分)
设函数x x x f 2
sin 32cos )(+⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=π. (1)求函数)(x f y =的最大值和最小正周期; (2)设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角,若31cos =
B ,413-=⎪⎭
⎫
⎝⎛C f ,求A sin .
18.(本题满分15分,第1小题6分,第2小题9分)
某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按生产现状,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处罚,第一个月罚3万元,以后每月增加2万元.如果从今年一月起投资500万元添加回
收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方面也可以大大降低原料成本.据测算,添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入)(n g 是生产时间n 个月的二次函数
kn n n g +=2)((k 是常数),且前3个月的累计生产净收入可达309万,从第6个月开始,每个月
的生产净收入都与第5个月相同.同时,该厂不但不受处罚,而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.
(1)求前8个月的累计生产净收入)8(g 的值;
(2)问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入. 19.(本题满分16分,第1小题7分,第2小题9分)
设点1F 、2F 是平面上左、右两个不同的定点,m F F 221=,动点P 满足:
221216)cos 1(||||m PF F PF PF =∠+⋅.
(1)求证:动点P 的轨迹Γ为椭圆;
(2)抛物线C 满足:①顶点在椭圆Γ的中心;②焦点与椭圆Γ的右焦点重合.
设抛物线C 与椭圆Γ的一个交点为A .问:是否存在正实数m ,使得21F AF ∆的边长为连续自然数.若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.
20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题7分,第3小题7分)
已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,91-=a ,2a 为整数,且对任意*
N ∈n 都有5S S n ≥.
(1)求}{n a 的通项公式; (2)设341=
b ,⎩⎨⎧-+-=+为偶数
为奇数n b n a b n
n n n ,)2(,,1(*
N ∈n ),求}{n b 的前n 项和n T ; (3)在(2)的条件下,若数列}{n c 满足)N ()
2
1
()1(*5
122∈-++=++n b b c n a n
n n n λ.是否存在实
数λ,使得数列}{n c 是单调递增数列.若存在,求出λ的取值范围;若不存在,说明理由.
静安区2016-2017学年度第二学期高中教学质量检测
高三数学试卷评分标准与答案
一、1.()3log ,12; 2.12; 3.2;
4.3
5; 5.3- 6.5
5; 7.()()+∞-∞-,01, ; 8.25
5
; 9.⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,42