上海市静安区2017届高三数学4月教学质量检测二模试题

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上海市静安区2017届高三数学4月教学质量检测(二模)试题

本试卷共有20道试题,满分150分.考试时间120分钟.

一、填空题(55分)本大题共有11题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格

填对得5分,否则一律得零分. 1.已知集合{}0ln |>=x x A ,{}

32|<=x

x B ,则=B A ________.

2.若实数x ,y 满足约束条件⎪⎩

⎨⎧≤-+≤≥,092,,0y x x y x 则y x z 3+=的最大值等于________.

3.已知7)(x

a

x -展开式中3

x 的系数为84,则正实数a 的值为 .

4.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为________.

5.设)(x f 为R 上的奇函数.当0≥x 时,b x x f x

++=22)( (b 为常数),则)1(-f 的值为________.

6.设Q P ,分别为直线⎩⎨⎧-==t y t x 26,(t 为参数)和曲线C :⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θ

θsin 52,

cos 51y x (θ为参数)的点,

则PQ 的最小值为 .

7.各项均不为零的数列}{n a 的前n 项和为n S . 对任意*

N ∈n ,)2,(11++-=n n n n a a a m 都是直线kx y =的法向量.若n n S ∞

→lim 存在,则实数k 的取值范围是________.

8.已知正四棱锥ABCD P -的棱长都相等,侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ,则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是________. 9.设0>a ,若对于任意的0>x ,都有

x x

a 21

1≤-,则a 的取值范围是________. 10.若适合不等式5342≤-++-x k x x 的x 的最大值为3,则实数k 的值为_______. 11.已知x

x x f +-=

11)(,数列}{n a 满足211=a ,对于任意*

N ∈n 都满足)(2n n a f a =+,且0>n a ,

若1820a a =,则20172016a a +的值为_________.

二、选择题(20分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须

把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得5分,否则一律得零分.

12.已知,,a b ∈R 则“33log log a b >”是“b

a )2

1()21

(<”的( ).

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

13.已知复数z 满足z z

-=+1i

1(i 是虚数单位)

,则z 的虚部为( ). A .i

B .-1

C .1

D .-i

14.当⎪⎭

⎫ ⎝

∈21,0k 时,方程

()1+=x k x 的根的个数是( )

. A .1 B .2 C .3 D .4

15.曲线C 为:到两定点)0,2(-M 、)0,2(N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹.以下结论正确的

个数为( ).

(1)曲线C 一定经过原点;

(2)曲线C 关于x 轴对称,但不关于y 轴对称; (3)MPN ∆的面积不大于8;

(4)曲线C 在一个面积为60的矩形范围内.

A .0

B .1

C .2

D .3

三、解答题(本题满分75分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤. 16.(本题满分12分,第1小题6分,第2小题6分)

如图,等腰AOB ∆Rt ,2==OB OA ,点C 是OB 的中点,AOB ∆绕BO 所在的边逆时针旋转一周.

(1)求ABC ∆旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S ; (2)设OA 逆时针旋转至OD ,旋转角为θ,且满足

BD AC ⊥,求θ.

17.(本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分)

设函数x x x f 2

sin 32cos )(+⎪⎭

+

=π. (1)求函数)(x f y =的最大值和最小正周期; (2)设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角,若31cos =

B ,413-=⎪⎭

⎝⎛C f ,求A sin .

18.(本题满分15分,第1小题6分,第2小题9分)

某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按生产现状,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处罚,第一个月罚3万元,以后每月增加2万元.如果从今年一月起投资500万元添加回

收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方面也可以大大降低原料成本.据测算,添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入)(n g 是生产时间n 个月的二次函数

kn n n g +=2)((k 是常数),且前3个月的累计生产净收入可达309万,从第6个月开始,每个月

的生产净收入都与第5个月相同.同时,该厂不但不受处罚,而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.

(1)求前8个月的累计生产净收入)8(g 的值;

(2)问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入. 19.(本题满分16分,第1小题7分,第2小题9分)

设点1F 、2F 是平面上左、右两个不同的定点,m F F 221=,动点P 满足:

221216)cos 1(||||m PF F PF PF =∠+⋅.

(1)求证:动点P 的轨迹Γ为椭圆;

(2)抛物线C 满足:①顶点在椭圆Γ的中心;②焦点与椭圆Γ的右焦点重合.

设抛物线C 与椭圆Γ的一个交点为A .问:是否存在正实数m ,使得21F AF ∆的边长为连续自然数.若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.

20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题7分,第3小题7分)

已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,91-=a ,2a 为整数,且对任意*

N ∈n 都有5S S n ≥.

(1)求}{n a 的通项公式; (2)设341=

b ,⎩⎨⎧-+-=+为偶数

为奇数n b n a b n

n n n ,)2(,,1(*

N ∈n ),求}{n b 的前n 项和n T ; (3)在(2)的条件下,若数列}{n c 满足)N ()

2

1

()1(*5

122∈-++=++n b b c n a n

n n n λ.是否存在实

数λ,使得数列}{n c 是单调递增数列.若存在,求出λ的取值范围;若不存在,说明理由.

静安区2016-2017学年度第二学期高中教学质量检测

高三数学试卷评分标准与答案

一、1.()3log ,12; 2.12; 3.2;

4.3

5; 5.3- 6.5

5; 7.()()+∞-∞-,01, ; 8.25

5

; 9.⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞,42

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