上海市静安区2017届高三数学4月教学质量检测二模试题

上海市静安区2017届高三数学4月教学质量检测（二模）试题

本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格

填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合{}0ln |>=x x A ，{}

32|<=x

x B ，则=B A ________．

2．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤-+≤≥,092,,0y x x y x 则y x z 3+=的最大值等于________．

3．已知7)(x

a

x -展开式中3

x 的系数为84，则正实数a 的值为 .

4．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．

5．设)(x f 为R 上的奇函数．当0≥x 时，b x x f x

++=22)( (b 为常数)，则)1(-f 的值为________．

6．设Q P ,分别为直线⎩⎨⎧-==t y t x 26,（t 为参数）和曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θ

θsin 52,

cos 51y x （θ为参数）的点，

则PQ 的最小值为 ．

7．各项均不为零的数列}{n a 的前n 项和为n S ． 对任意*

N ∈n ，)2,(11++-=n n n n a a a m 都是直线kx y =的法向量．若n n S ∞

→lim 存在，则实数k 的取值范围是________．

8．已知正四棱锥ABCD P -的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是________． 9．设0>a ，若对于任意的0>x ，都有

x x

a 21

1≤-，则a 的取值范围是________． 10．若适合不等式5342≤-++-x k x x 的x 的最大值为3，则实数k 的值为_______． 11．已知x

x x f +-=

11)(，数列}{n a 满足211=a ，对于任意*

N ∈n 都满足)(2n n a f a =+，且0>n a ，

若1820a a =，则20172016a a +的值为_________．

二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须

把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

12．已知,,a b ∈R 则“33log log a b >”是“b

a )2

1()21

(<”的（ ）．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

13．已知复数z 满足z z

-=+1i

1（i 是虚数单位）

，则z 的虚部为（ ）． A ．i

B ．－1

C ．1

D ．－i

14．当⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

∈21,0k 时，方程

()1+=x k x 的根的个数是（ ）

． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

15．曲线C 为：到两定点)0,2(-M 、)0,2(N 距离乘积为常数16的动点P 的轨迹．以下结论正确的

个数为（ ）．

（1）曲线C 一定经过原点；

（2）曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称； （3）MPN ∆的面积不大于8；

（4）曲线C 在一个面积为60的矩形范围内．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 16．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）

如图，等腰AOB ∆Rt ，2==OB OA ，点C 是OB 的中点，AOB ∆绕BO 所在的边逆时针旋转一周．

（1）求ABC ∆旋转一周所得旋转体的体积V 和表面积S ； （2）设OA 逆时针旋转至OD ，旋转角为θ，且满足

BD AC ⊥，求θ．

17．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

设函数x x x f 2

sin 32cos )(+⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+

=π． （1）求函数)(x f y =的最大值和最小正周期； （2）设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，若31cos =

B ，413-=⎪⎭

⎫

⎝⎛C f ，求A sin ．

18．（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）

某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回

收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入)(n g 是生产时间n 个月的二次函数

kn n n g +=2)(（k 是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月

的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．

（1）求前8个月的累计生产净收入)8(g 的值；

（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入． 19．（本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）

设点1F 、2F 是平面上左、右两个不同的定点，m F F 221=，动点P 满足：

221216)cos 1(||||m PF F PF PF =∠+⋅．

（1）求证：动点P 的轨迹Γ为椭圆；

（2）抛物线C 满足：①顶点在椭圆Γ的中心；②焦点与椭圆Γ的右焦点重合．

设抛物线C 与椭圆Γ的一个交点为A ．问：是否存在正实数m ，使得21F AF ∆的边长为连续自然数．若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．

20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）

已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，91-=a ，2a 为整数，且对任意*

N ∈n 都有5S S n ≥．

（1）求}{n a 的通项公式； （2）设341=

b ，⎩⎨⎧-+-=+为偶数

为奇数n b n a b n

n n n ,)2(,,1（*

N ∈n ），求}{n b 的前n 项和n T ； （3）在（2）的条件下，若数列}{n c 满足)N ()

2

1

()1(*5

122∈-++=++n b b c n a n

n n n λ．是否存在实

数λ，使得数列}{n c 是单调递增数列．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．

静安区2016-2017学年度第二学期高中教学质量检测

高三数学试卷评分标准与答案

一、1．()3log ,12； 2．12； 3．2；

4．3

5； 5．3- 6．5

5； 7．()()+∞-∞-,01, ； 8．25

5

； 9．⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞,42