几类特殊矩阵

的特征值 3，使得 ( A)
定理 3 设 A O 为 n 阶矩阵，则 （1） A 有一非负特征值等于它的谱半径，此外，这特征值为
正，除非 A 为可约并且 A 的法式为严格上三角矩阵 （2） 对应于 ( A) 有特征向量 x 0 （3） 当 A 的任一元素增加时， ( A) 不减少
0 2 1
( A) 1 10 是它的一个正的单特征值，而属于 ( A)
的正特征向量是 (2, 10,2)T ，且模等于 ( A) 的特征值就 ( A) 一个
非负不可约矩阵 A 的模等于 ( A) 的特征值并非唯一的
例 2 对于非负不可约矩阵
0 0
1 0
0 1
定理 4 设 A 和 B 为两个 n 阶矩阵，并且 O B A ， 则 (B) ( A)
引理 6 设 A O 为不可约 n 阶矩阵，则或者对所有
n
1 i n 成立有 ( A) aij ，或者有 j 1
n
n
min( 1 i n
j 1
aij
)

( A)
定理 2 n 阶非负矩阵 A 是随机矩阵的充分必要条件是 x (1,1, L ,1)T 为 A 的 对 应 于 特 征 值 1 的 特 征 向 量 ， 即 Ax x
同阶随机矩阵之积仍是随机矩阵
定理 3 设 n 阶非负矩阵 A 的谱半径 ( A) 0 ，对应的特 征向量 x ( x1 , x2 , L , xn )T 0，则矩阵 A 能相似于数 ( A) 与
某 个 随 机 矩 阵 P 的 乘 积 ， 即 A D(( A)P)D1 ， 其 中 D diag( x1 , L , xn )，即 D1 AD ( A)是随机矩阵
设某个过程或系统可能出现 n 个随机事件 S1 , L , Sn ，且在 时间序列 t0 , t1 , t2 , L的每一瞬间，这些事件有一个且只有一个

max( 1 i n
j 1
aij
)
定理 5 设 A O 为不可约 n 阶矩阵，又设 P 为正向量
n
a x ij j
x 0 的全体，则对任一 x P ， ( A) j1
，对所有
xi
1 i n 成立，
或者有
n
n
aij x j
aij x j
mi n( j1
L L
0 0
A


M
M
M
L
M
，它的特征值是
0 0 0 L 1
1 0 0 L 0 nn
2 k

i
e
n
，从而它的特征值的模等于 ( A) 1
i
定理 2 设 A O 为 n 阶矩阵，则 （1） ( A) 为 A 的一个正特征值，相应地有一正特征向量
（2） A 的任何其他特征值 ，都有 ( A) （3） ( A) 是 A 的单特征值
用 A 表 示 元 素 为 aij 的 矩 阵 ， 特 别 地 ， 当
x
( x1 , x2 , L , xn )T
C n 时，x
(x , 1
x 2
,L,
x n
)T 表
示一个非负向量
引理 1 设 A 是 n 阶矩阵，A O 的充分必要条件是 对一切非零的 x 0 ，有 Ax 0
引理 2 设 n 阶矩阵 A (aij ) O ，则 A 是不可约 矩阵的充分必要条件是 (I A)n1 O
) ( A) max( j1
)
1 i n
xi
1 i n
xi
例 3 求不可约矩阵的谱半径
0 0 1 1
B

1 4

0 1 1
0 1 1
1 0 0
1 00
7 1 2 2
CBaidu Nhomakorabea

1 6

1 2 2
7 2 2
2 7 1
2 71
推论 1 正矩阵 A 的模等于 ( A) 的特征值是唯一的。
推论 1 对一般的非负矩阵未必成立
0 3 0 0
例如
A


3 0 0
0 0 0
0 3 0
0 02
，
( A)

3 是的特征值，
但 ( A) 3 是 A 的二重特征值，同时， A 还有异于 ( A)
本原矩阵的性质：
定理 6 设 A ， B 均为 n 阶非负矩阵，且 A 是本原矩
阵，则
（1） AT 也是本原矩阵 （2） 对任一正整数 k ， Ak 也是本原矩阵 （3） A B 也是本原矩阵
定理 7 非负矩阵 A 是本原矩阵的充分必要条件是存
在某个正整数 k ，使得 Ak O
6.2 随机矩阵与双随机矩阵
定义 1
设 A (a ) Rnn 是非负矩阵， ij
如果 A 的每一行的元素之和都等于 1，即
n
aij 1 (i 1,2, L , n) 则称 A 为随机矩阵；如果 A 还满足
j 1
n
a ij
1
(j
1,2, L , n) ，则称 A 为双随机矩阵
i 1
定理 1 设 A (aij ) Rnn 是随机矩阵，则有 ( A) 1
直接观察得 (B) 1 ， (C ) 2
2
定义 2 设 A O 为不可约 n 阶矩阵，令 k 为 A 的模 等于 ( A) 的特征值的个数。若 k 1时，则称 A 为本原矩
阵，若 k 1时，则称 A 为具有指标 k 的循环矩阵
正矩阵是本原矩阵，但本原矩阵未必都是正矩阵
定理 1（Perron-Frobenius） 设 A O 为不可约 n 阶
矩阵，则
（1） A 有一个正特征值等于它的谱半径 （2） 对于 ( A) ，相应地有一正特征向量 x （3） 当 A 的任一元素增加时， ( A) 也增加 （4） ( A) 是 A 的单特征值
1 2 0 例 1 对于非负矩阵 A 2 1 3 ，其谱半径
6.1 非负矩阵
定义 1 设 A (aij ) ， B (bij ) 是两个 n m矩阵， 如 果 对 所 有 1 i n ， 1 j m 恒 有
a b (a b )，则记 A B ( A B) ，用O 表示零
ij
ij
ij
ij
矩阵。如果 A O ( A O) ，则称 A 为非负矩阵（正矩阵）。