弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答 (3)

第一节 极坐标的平衡微分方程 第二节 极坐标的几何方程和物理方程 第三节 极坐标的应力函数和相容方程 第四节 应力分量的坐标变换式 第五节 轴对称应力和相应的位移 第六节 圆环或圆筒受均布压力 第七节 压力隧洞 第八节 圆孔的孔口应力集中 第九节 半平面体在边界上受集中力 第十节 半平面体在边界上受分布力
ur
1 [(1 ) A 2(1 )Br(ln r 1)
E
r
2(1 )Cr I cos K sin，
(1
3)
Br
(e)
u
4B E
r
H
r
I
sin
K
cos。
其中 I，K — 为 x、y 向的刚体平移，
H — 为绕 o 点的刚体转动角度。
§4－6 圆环或圆筒受均布压力
圆环(平面应力)和圆筒(平面应变)受内外均布压力
边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
r 常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
导数的变换：
将对 x, y 的导数，变换为对 r, 的导数：
F (x, y) 可看成是 F (r, )，而 r, 又是 x, y
的函数，即 F 是通过中间变量 r, 为 x, y
(1) 内边界受均匀压力 q1, 而外边界为固定边； (2) 外边界受均匀压力 q2, 而内边界为固定边； (3) 外边界受到强迫均匀位移 ur = -△, 而内边界为
自由(如车辆的轮箍作用)； (4) 内边界受到强迫均匀位移 ur = △, 而外边界为
自由。
Exercise : Chap 4
Today: 4-3 ，4-4 ，4-4 End of Lecture 10
B = 0。
得出 A, 2C
A
r 2 R 2 (q2 q1 ) R2 r2
2C
q1r 2 q2 R 2 R2 r2
拉梅解
σρ
R2 ρ2 R2 r2
1 q1
1
1 1
r2 ρ2 r2 R2
q2
,
σφ
R2 ρ2 R2 r2
1 q1
1
1
1
r2 ρ2 r2 R2
q2 ,
τ ρφ 0.
(d)
解答（d）的应用：
单值条件
（1）只有内压力 q1, q2 = 0. （2）只有内压力 q1, q2 = 0, 且 R ∞ ，成为
具有圆孔的无限大薄板（弹性体）。
（3）只有外压力 q2, q1 = 0.
思考题
轴对称应力条件下的通解，可以应用于各种应力 和位移边界条件的情形。试考虑下列圆环或圆弧的问 题应如何求解：
(b)
式 (b) 中的 τ ρφ 条件是自然满足的，而其余
两个条件还不足以完全确定应力解答(a) 。
边界条件
考察多连体中的位移单值条件：
单值条件
圆环或圆筒，是有两个连续边界的多连体。而在 位移解答中，
uφ
4B E
ρφ
Hr
...,
是一个多值函数：对于 ρ,φ和 ρ是,2同π 一φ点 ，
但式 (c)却得出两个位移值。由于同一点的位移只 能为单值，因此
r
2(1 )C]
(4)求对应的位移：
将应变代入几何方程，对应第一、二式分别分，
u ρ
ρ
ε
ρ
,
u ρ ε ρ d ρ f (φ);
u ρ
ρ
1 ρ
uφ φ
εφ
,
uφ
( ρεφ uρ ) d φ f1(ρ)。
将 u ρ ,uφ 代入第三式，
u
r
1 ur
r
u
r
r 0
分开变量，两边均应等于同一常量 F,
Haha, try
函数的变换： 将式 (a) 或 (b) 代入，
Φ(x, y) Φ( ρ,φ).
矢量的变换：位移
d (u, v) (uρ ,uφ ),
u ur cos u sin ,
或
v ur sin u cos。
(a)
ur u cos v sin ,
(b)
u u sin v cos。
f1ρ
ρ
d
f1ρ
dρ
d f φ
dφ
f
φd φ
F,
由两个常微分方程，
f1
(
ρ)
ρ
d
f1 d
( ρ) ρ
F
,
d
f (φ) dφ
f
(φ)dφ
F
,
f1( ρ) Hρ F ;
d2 f (φ) d φ2
f
(φ)
0,
得： f (φ) I cosφ K sin φ。
位移通解
代入 u ρ ,，uφ得轴对称应力对应的位移通解，
（1）相容方程
(
d2 dρ
2
1 ρ
d dρ
)(
d2 Φ d ρ2
1 ρ
dΦ) dρ
0,
(b)
2
d2 d ρ2
1 ρ
d dρ
1 ρ
d dρ
(ρ
d ), dρ
相容方程成为常微分方程，积分 4 次得 F 的通解.
Φ A ln ρ Bρ2 ln ρ Cρ2 D。 (c)
(2) 应力通解：将式 (c) 代入式 (a)，
的复合函数。
有: F
Φ Φ ρ Φ φ , x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
Φ φ
φy .
轴对称应力问题
§4－5 轴对称应力和相应的位移
轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面。
轴对称应力问题：
应力数值轴对称 -- 仅为 r 的函数，
应力方向轴对称 -- τ ρφ τφρ 0.
相应的应力函数 Φ Φ，ρ所以应力公式为：
σ
ρ
1 ρ
Fra Baidu bibliotek
dΦ dρ
,
σ
φ
d2Φ d ρ2
,
r 0.
(a)
属于轴 对称应 力问 题，可 以引用 轴对称 应力问 题的通 解。
σρ
A ρ2
B(1 2 ln
ρ) 2C,
σφ
1 ρ2
B(3
2 ln
ρ)
2C,
(a)
τ ρφ 0.
边界条件是
(σ ρ ) ρr q1, (τ ρφ ) ρr 0, (σ ρ )ρR q2 , (τ ρφ )ρR 0.
ρ
A ρ2
B(1 2 ln
ρ) 2C,
A ρ2
B(3 2 ln
ρ)
2C,
r 0.
(3) 应变通解：将应力 (d)代入物理方程，得 对应 的应变分量的通解。应变也为轴对称。
r
1 [(1 )
E
A
r2
(1 3 )B 2(1 )B ln
r
2(1 )C]
1 [(1 )
E
A
r2
(3 )B 2(1 )B ln