高中必修课数学辅导

第一章集合与函数概念
第一节集合
一、重点
1、集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容；区别元素与集合等概念及其符号表示；用集合语言（描述法）表达数学对象或数学内容；集合表示法的恰当选择。

2、子集、真子集的概念；元素与子集，属于与包含间的区别；空集是任何非空集合的真子集的理解；补集的概念及其有关运算。

3、并集、交集的概念及其符号之间的区别与联系。

二、难点
集合表示法的恰当选择。

三、重要概念
1、元素：数学上要研究的单个对象称为元素。

注意：⑴是单个对象。

⑵集合中元素的三个特性：①元素的确定性；②元素的互异性；③元素的无序性。

2、集合：由一些元素组成的总体叫做集合。

注意：元素与总体的区别。

⑴子集：对于两个集合A，B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集。

记作：A⊆B（或B ⊇A）。

⑵真子集:如果集合A⊆B但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A 集合B的真子集，记作:A B(B A)
⑶空集:不含任何元素的集合叫做空集。

记作: 。

⑷全集：一个集合中含有研究问题上涉及的所有元素，称这个集合为全集。

记作：U。

四、知识点
1、数学中一些常用的数集及其记法
⑴全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作：N。

注意：①为什么会叫非负整数？我们在初中就已经学过，0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界数。

根据1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9），规定自然数包括0。

②自然数就是我们常说的正整数和0，整数包括自然数。

自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。

③自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。

⑵所有正整数组成的集合称为正整数集，记作:N*或N+；
想一想：为什么会叫正整数？
⑶全体整数组成的集合称为整数集，记作：Z；
想一想：整数集的元素中有0吗？
⑷全体有理数组成的集合称为有理数集，记作：Q；
⑸全体实数组成的集合称为实数集，记作：R。

2、集合的表示方法及概念：
⑴列举法：把集合一一列举出来的方法。

⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。

⑶图示法: 用一条封闭曲线（内部区域）直观地表示集合及其关系方法。

⑷数轴法:用数轴描述一个集合特征的方法。

3、元素与集合的关系：
元素与集合的关系有两种：属于（∈）和不属于（∉）。

4、集合间的关系：
子集、相等、真子集。

通俗的讲，集合间的关系就是包含、包含于、不包含三种关系。

⑴“包含”关系—子集
注意：B
A⊆有两种可能①A是B的一部分；②A与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A
⑵“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”。

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
注意：⑴任何一个集合是它本身的子集；⑵空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；⑶如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C；⑷如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B。

5、集合的基本运算：
6、集合的分类：
集合分为：有限集、无限集、空集三类。

五、小结：
集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用。

六、技巧
1、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x ∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题。

2、注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，
定
义
由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A ∩B （读作‘A 交B ’），即A ∩B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A ∪B （读作‘A 并B ’），即A ∪B ={x|x ∈A ，或x ∈B})． 一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(或余集)。

记作：C U A ， 即C U A ={x|∈U 且x ∉A} 韦
恩
图
示 A B 图1 A B 图2
图3 性 质 A ∩A=A A ∩Φ=Φ A ∩B=B ∪A A ∩B ⊆A A ∩B ⊆B A ∪A=A A ∪Φ=A A ∪B=B ∪A A ∪B ⊇A A ∪B ⊇B
(C U A)∩(C U B)= C U (A ∪B)
(C U A)∪(C U B)=C U (A ∩B)
A ∪(C U A)=U
A ∩(C U A)= Φ
要考虑到空集的可能性，如A ⊆B,则有A=∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论。

3. 注意集合下列性质：
⑴集合{a1,a2,……an}的所有子集的个数是2n ；
⑵若A ⊆B<=> A ∩B=A ，那么A ∪B=B ；
⑶德摩根定律：CU(A ∪B)=(CUA)∩(CUB)，CU(A ∩B)=(CUA)∪(CUB)。

七、举例
［例1］设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论.
命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.
知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了.
错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.
技巧与方法：由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得值.
解：∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅
∵⎩⎨⎧+=+=b
kx y x y 12 ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0
∵A ∩C =∅
∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0
∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1 ① ∵⎩⎨⎧+==+-+b
kx y y x x 052242
∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0
∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0
∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <2.5 ② 由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得
⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-0
32,018422k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅.
［例2］向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.
知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来. 错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.
技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.
解：赞成A 的人数为50×
5
3=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B .
设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不赞成的学生人数为3
x +1,赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x .
依题意(30－x )+(33－x )+x +(3
x +1)=50,解得x =21. 所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.
第二节 函数及其表示
一、重点
在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y =f （x ）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解；函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

二、难点
1、函数定义域与值域的求法；
2、符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
3、函数的模型化。

三、重要概念
1、函数：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x),x∈A（简单的说：函数是“两个数集间的一种确定的对应关系）。

其中x叫自变量，x的取值范围A，叫做函数的定义域；与x相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域.
注意：⑴如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
⑵关于定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：①分式的分母不等于零；②偶次方根的被开方数不小于零；③对数式的真数必须大于零；④指数、对数式的底必须大于零且不等于1；⑤如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；⑥指数为零底不可以等于零；⑦实际问题中的函数的定义域还要保证其对实际问题有意义。

⑶求出不等式组的解集即为函数的定义域。

⑷构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称
这两个函数相等（或为同一函数）。

⑸两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)。

⑹关于值域：①函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域；②必须熟悉掌握一次函数、以及以后要学到的二次函数、指数、对数函数、各三角函数的值域，它是求解各种复杂函数值域的基础。

2、映射：设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
3、分段函数：已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样，则称这样的函数为分段函数。

其中定义域所分成的有限个区间称为分段区间，分段区间的公共端点称为分界点。

注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况。

四、知识点
1、函数的三种表示法：
⑴解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

⑵图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。

注意：函数图象既可以是曲线、也可以是直线、折线、离散点等等。

⑶列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

2、区间：
⑴区间的分类：闭区间、开区间、半开半闭区间；
⑵无穷区间；
注意：对区间的三种（不等式法、集合法、数轴法）表示方法应熟练掌握、并能正确应用。

五、小结
函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，是高中数学的另一个重要基本知识，它是学习高中数学其他知识重要基础，同样是历年高考必考重点内容之一。

是我们解决学习和实践中各种具体问题的重要基础。

六、技巧
(本节仅仅是对函数的初步认识，解答函数题的技巧将在第三节指导)
七、举例
（本节仅仅是对函数的初步认识，故举例略）
第三节函数的基本性质
一、重点
函数的单调性及其几何意义。

二、难点
1、利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性；
2、函数值域的求解方法；
3、奇偶性与单调性的判定。

三、重要概念
1、函数的单调性：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

注意：⑴函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；⑵必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。

2、增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。

3、减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。

4、最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：⑴对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；⑵存在x0∈I，使得f(x0) = M，那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

想一想：最小值应该如何定义？
注意：⑴函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)
= M；⑵函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。

5、偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。

6、奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。

注意：⑴函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；⑵由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

四、知识点
1、用函数单调性定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
⑴任取x1，x2∈D，且x1<x2；
⑵作差f(x1)－f(x2)；
⑶变形（通常是因式分解和配方）；
⑷定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑸下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

2、用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
⑴用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
⑵用图象求函数的最大（小）值；
⑶用函数单调性的判断函数的最大（小）值。

注意：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)。

3、具有奇偶性的函数的图象的特征
⑴偶函数的图象关于y轴对称；
⑵奇函数的图象关于原点对称。

4、用函数的奇偶性定义判断函数奇偶性的格式步骤：
⑴药确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
⑵药确定f(－x)与f(x)的关系；
⑶药作出相应结论：
若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；
若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。

注意：函数具有奇偶性的一个必要条件是：定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数。

5、利用函数的奇偶性补全函数的图象的规律：
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称。

注意：这也可以作为判断函数奇偶性的依据。

6、函数的奇偶性与单调性的关系：
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致。

五、小结
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称。

单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质。

六、技巧
1、函数的单调性：一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论。

2、函数值域求解难点所涉及的问题及解决的主要方法：
(1)求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等。

无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域。

(2)函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目。

此类问题要求我们具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力。

在今后的高考命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可能逐渐加强。

(3)运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力。

3、奇偶性与单调性判定类题目
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样，深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象具有重要的学习意义和现实意义。

(1)判断函数的奇偶性与单调性
若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性。

若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性。

同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，根据后面的例题，认真体会，做好数与形的统一。

复合函数的奇偶性、单调性。

问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数。

(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用。

⑶在利用函数的奇偶性和单调性解决实际应用问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决。

特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题。

七、举例
［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传
画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［43,32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力。

知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识。

错解分析：证明S (λ)在区间［43,32］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决。

技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决。

解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2,则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160,将x =λ10
22代入上式得：S =5000+4410 (8λ+λ5
),当8λ=λ5
,
即λ=85(85<1)时S 取得最小值.此时高：x =
λ4840=88 cm,宽：λx =85×88=55 cm. 如果λ∈［4
3,32］可设32≤λ1<λ2≤43,则由S 的表达式得： )58)((1044)5858(1044)()(2
121221
121λλλλλλλλλλ--=--+
=-S S 又21λλ≥8532>,故8－2
15λλ>0, ∴S (λ1)－S (λ2)<0,∴S (λ)在区间［43,
32］内单调递增. 从而对于λ∈［4
3,32］,当λ=32时，S (λ)取得最小值. 答：画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［43,
32］,当λ=32时，所用纸张面积最小。

［例2］已知函数f (x )=x
a x x ++22,x ∈［1,+∞) (1)当a =2
1时，求函数f (x )的最小值. (2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.
命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于综合分析能力以及运算能力。

知识依托：本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.
错解分析：不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得。

(1)解：当a =21时，f (x )=x +x
21+2 ∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数， ∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=2
7. (2)解法一：在区间［1，+∞)上，f (x )=x
a x x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立. 设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)
∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，
∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.
解法二：f (x )=x +
x
a +2,x ∈［1,+∞) 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；
当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,
当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3。

［例3］已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2
1)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xy
y x ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.
命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力。

知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想。

错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得。

技巧与方法：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定
2
1121x x x x --的范围是焦点。

证明：(1)由f (x )+f (y )=f (
xy y x ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (2
1x x x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.
(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减. 令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)－f (－x 1)=f (2
1121x x x x --) ∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴
1
2121x x x x -->0, 又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0
∴x 2－x 1<1－x 2x 1,
∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (2
1121x x x x --)<0， 即f (x 2)<f (x 1).
∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0.
∴f (x )在(－1，1)上为减函数.
［例4］设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y =(
2
1)132+-a a 的单调递减区间.
命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法。

知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题。

错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱。

技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法。

解：设0<x 1<x 2,则－x 2<－x 1<0，∵f (x )在区间(－∞,0)内单调递增，
∴f (－x 2)<f (－x 1),∵f (x )为偶函数，∴f (－x 2)=f (x 2),f (－x 1)=f (x 1),
∴f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，+∞)内单调递减. .03
2)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又 由f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1)得：2a 2+a +1>3a 2－2a +1.解之，得0<a <3.
又a 2－3a +1=(a －23)2－4
5. ∴函数y =(21)132+-a a 的单调减区间是［2
3，+∞］ 结合0<a <3,得函数y =(23)132+-a a 的单调递减区间为［2
3，3)。

［例5］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值.
命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力。

知识依托：主要依据函数的性质去解决问题。

错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，容易漏掉定义域。

技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值。

解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-6
6603333332x x x x 得且x ≠0,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数， ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6},
∴B =A ∪{x |1≤x ≤5}={x |1≤x <6},又g (x )=－3x 2+3x －4=－3(x －21)2－4
13知：g (x )在B 上为减函数，∴g (x )max =g (1)=－4.
［例6］已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m ,使f (cos2θ－3)+f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有θ∈［0,2
π］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由.
命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力。

知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题。

错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法。

技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题。

解：∵f (x )是R 上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f (x )是R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为f (cos2θ－3)>f (2m cos θ－4m ),
即cos2θ－3>2m cos θ－4m ,即cos 2θ－m cos θ+2m －2>0.
设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t )=t 2－mt +2m －2=(t －2
m )2－42
m +2m －2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g (t )在［0，1］上的最小值为正.
∴当
2
m <0,即m <0时，g (0)=2m －2>0⇒m >1与m <0不符； 当0≤2m ≤1时，即0≤m ≤2时，g (m )=－42m +2m －2>0 ⇒4－22<m <4+22,∴4－22<m ≤2.
当
2
m >1,即m >2时，g (1)=m －1>0⇒m >1.∴m >2 综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m >4－2。

本 章 总 结
123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩。