高中必修课数学辅导

第一章集合与函数概念

第一节集合

一、重点

1、集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容；区别元素与集合等概念及其符号表示；用集合语言（描述法）表达数学对象或数学内容；集合表示法的恰当选择。

2、子集、真子集的概念；元素与子集，属于与包含间的区别；空集是任何非空集合的真子集的理解；补集的概念及其有关运算。

3、并集、交集的概念及其符号之间的区别与联系。

二、难点

集合表示法的恰当选择。

三、重要概念

1、元素：数学上要研究的单个对象称为元素。

注意：⑴是单个对象。

⑵集合中元素的三个特性：①元素的确定性；②元素的互异性；③元素的无序性。

2、集合：由一些元素组成的总体叫做集合。

注意：元素与总体的区别。

⑴子集：对于两个集合A，B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集。记作：A⊆B（或B ⊇A）。

⑵真子集:如果集合A⊆B但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A 集合B的真子集，记作:A B(B A)

⑶空集:不含任何元素的集合叫做空集。记作: 。

⑷全集：一个集合中含有研究问题上涉及的所有元素，称这个集合为全集。记作：U。

四、知识点

1、数学中一些常用的数集及其记法

⑴全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作：N。

注意：①为什么会叫非负整数？我们在初中就已经学过，0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界数。根据1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9），规定自然数包括0。②自然数就是我们常说的正整数和0，整数包括自然数。自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。③自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。

⑵所有正整数组成的集合称为正整数集，记作:N*或N+；

想一想：为什么会叫正整数？

⑶全体整数组成的集合称为整数集，记作：Z；

想一想：整数集的元素中有0吗？

⑷全体有理数组成的集合称为有理数集，记作：Q；

⑸全体实数组成的集合称为实数集，记作：R。

2、集合的表示方法及概念：

⑴列举法：把集合一一列举出来的方法。

⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。

⑶图示法: 用一条封闭曲线（内部区域）直观地表示集合及其关系方法。

⑷数轴法:用数轴描述一个集合特征的方法。

3、元素与集合的关系：

元素与集合的关系有两种：属于（∈）和不属于（∉）。

4、集合间的关系：

子集、相等、真子集。通俗的讲，集合间的关系就是包含、包含于、不包含三种关系。

⑴“包含”关系—子集

注意：B

A⊆有两种可能①A是B的一部分；②A与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A

⑵“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”。

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

注意：⑴任何一个集合是它本身的子集；⑵空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；⑶如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C；⑷如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B。

5、集合的基本运算：

6、集合的分类：

集合分为：有限集、无限集、空集三类。

五、小结：

集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用。

六、技巧

1、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x ∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题。

2、注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，

定

义

由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A ∩B （读作‘A 交B ’），即A ∩B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A ∪B （读作‘A 并B ’），即A ∪B ={x|x ∈A ，或x ∈B})． 一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(或余集)。记作：C U A ， 即C U A ={x|∈U 且x ∉A} 韦

恩

图

示 A B 图1 A B 图2

图3 性 质 A ∩A=A A ∩Φ=Φ A ∩B=B ∪A A ∩B ⊆A A ∩B ⊆B A ∪A=A A ∪Φ=A A ∪B=B ∪A A ∪B ⊇A A ∪B ⊇B

(C U A)∩(C U B)= C U (A ∪B)

(C U A)∪(C U B)=C U (A ∩B)

A ∪(C U A)=U

A ∩(C U A)= Φ

要考虑到空集的可能性，如A ⊆B,则有A=∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论。

3. 注意集合下列性质：

⑴集合{a1,a2,……an}的所有子集的个数是2n ；

⑵若A ⊆B<=> A ∩B=A ，那么A ∪B=B ；

⑶德摩根定律：CU(A ∪B)=(CUA)∩(CUB)，CU(A ∩B)=(CUA)∪(CUB)。

七、举例

［例1］设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论.

命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.

知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了.

错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.

技巧与方法：由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得值.

解：∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅

∵⎩⎨⎧+=+=b

kx y x y 12 ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0

∵A ∩C =∅

∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0

∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1 ① ∵⎩⎨⎧+==+-+b

kx y y x x 052242

∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0

∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0

∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <2.5 ② 由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得

⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-0

32,018422k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅.