第15讲解直角三角形

第15讲 解直角三角形

【基础知识精讲】

解直角三角形：由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下： 两个独立的已知条件

解直角三角形的典型过程 已知a 和A ∠

（1）A B ∠-︒=∠90；

（2）)tan (cot A

a

b A a b =

=或； （3）)sin (sin B

b

c A a c ==或

已知c 和A ∠

（1）A B ∠-︒=∠90； （2）A c a sin =；

（3）A c b cos =（或B c b sin =）。

已知b a ,。

（1）b a

A =tan （或a

b B =

tan ），求出A ∠（或B ∠）

； （2）A B ∠-︒=∠90（或B A ∠-︒=∠90）；

（3）22b a c +=（或 ,sin A

a

c =）

。 已知a c ,。

（1）c a A =sin （或c

a

B =cos ）求出A ∠（或

B ∠）

； （2）A B ∠-︒=∠90（或B A ∠-︒=∠90）； （3）22a c b -=

（或B c b sin =）

。 【例题点拨】

例1:已知,如图,在四边形ABCD 中,AD=CD,AB=7,tanA=2,∠B=∠D=90°,•求BC 的长.

Ａ

Ｂ

Ｄ

Ｃ

例2:如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，sinA ＝

5

2

，D 为AC 上一点，∠BDC ＝450，DC ＝6，求AB 的长。

变式：如图，在△ABC 中，∠B ＝900，C 是BD 上一点，DC ＝10，∠ADB ＝450，

∠ACB ＝600，求AB 的长。

例3:如图，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕

为MN ，若

。

（1）求△ANE 的面积； （2）求sin ∠ENB 的值。

例4:如图，已知BC ⊥AD 于C ，DF ⊥AB 于F ，

9=∆∆EFB

AFD

S S ，∠BAE ＝α。 （1）求ααcos sin +的值； （2）若ADE AEB S S ∆∆=，AF ＝6时， 求cot ∠BAD 的值。

【同步练习】 A 组

一、选择（填空）题：

1．如图(1)所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） A ．1 B ．2 C ．

2

D ．22

(1) (2) (3)

2．如果α是锐角，且cos α=

4

5，那么sin α的值是（ ） A ．9

25

B ．45

C ．35

D ．2

3．等腰三角形的底边长为10cm ，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ） A ．

5

12105.

.

.

13

13

13

12

B C D 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子中正确的是（ ）

A ．sinA=sin

B B ．sinA=cosB

C ．tanA=tanB

D ．cosA=cosB

5．如图(2),在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且cos α=

3

5

，AB=4，则AD 的长为（ ） A ．3 B ．1620.3C 16

.35

D 162016..335C D

6．如图(3),某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ） A ．450a 元 B ．225a 元 C ．150a 元 D ．300a 元

7．已知α为锐角，tan （90°-α）3 ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75°

8．在Rt △ABC 中,∠C=90°,D 为AC 上一点,且AD=BD=5,CD=3,则sinA=_____ 9．已知直角三角形两个锐角的正弦sinA ，sinB 是方程2x 2

－2012=+x 的两个根，

则∠A=______，∠B=________.

10.若tan α+cot α=3, α为锐角,则tan 2

α+cot 2

α=_______.

D C

B

A

二、解答题：

11．如图，△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点且BD=100，∠ADC=60°，sinB=

2

2

，求AC的长

12．等腰三角形的面积为2, 腰长AB为5, 底角为α, 求tanα的值。

B组

1．在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CD=1,已知AD、BD的长是关系x•的方程x2+px+q=0的两个根,且tanA-tanB=2.求p、q.

2.城市规划期间，欲拆除一电线杆AB（如图

所示），已知距电线杆AB水平距离14米的D处有一大坝，背水坡CD的坡度2:1

i=，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30．D，E之间是宽为2米的人行道．试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）．（3 1.732

≈，2 1.414

≈）

30人

行

道

Ｃ

Ａ

Ｂ

ＥD Ｆ

Ａ

Ｃ

Ｂ