导数与函数、不等式综合压轴题题型归纳

函数与不等式相结合
【典例1】 已知2
1()ln 2
x f x x ae x =+-． （1）设1
2
x =
是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间： （2）0a >时，求证：()1
2
f x >．
【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞， 又由()1x
f x x ae x '=+-
，且1
2
x =是函数()f x 的极值点， 所以1
2112022f ae ⎛⎫=+'-= ⎪⎝⎭
，解得a =，
又0a >时，在()0,+∞上，()f x '是增函数，且102f ⎛⎫
= ⎪⎭
'⎝， 所以()0f x '>，得12x >
，()0f x '<，得102
x <<， 所以函数()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭，单调递减区间为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
. （2）由（1）知因为0a >，在()0,+∞上，()1
x
f x x ae x
'=+-
是增函数， 又()1110f ae '=+->（且当自变量x 逐渐趋向于0时，()f x '趋向于-∞）， 所以，()00,1x ∃∈，使得()00f x '=，
所以0
0010x
x ae x +-
=，即000
1
x ae x x =-， 在()00,x x ∈上，()0f x '<，函数()f x 是减函数， 在()0,x x ∈+∞上，()0f x '>，函数()f x 是增函数， 所以，当0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值， 所以()()022*******min 0
111
ln ln ,(01)22x f x f x x ae x x x x x x ==+-=+--<<， 令()211
ln ,(01)2g x x x x x x
=
+--<<，
则()()2211111x g x x x x x x
+=-
--=--'， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以()()1
12
g x g >=
， 即()()min 1
2
f x f x ≥>成立， 【典例2】已知函数()ln x
f x x
=．
(Ⅰ)求函数()f x 的极值；
(Ⅰ)若0m n >>,且n m m n =,求证：2mn e >． 【解析】(Ⅰ)()ln x f x x Q =
()f x ∴的定义域为()0,∞+且()2
1ln x
f x x -'= 令()0f x '>，得0x e <<；令()0f x '<，得x e >
()f x ∴在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减
∴函数()f x 的极大值为()ln 1
e f e e e
=
=，无极小值 (Ⅰ)0m n >>Q ，n m m n = ln ln n m m n ∴=
l ln n m m n
n
∴
=，即()()f m f n = 由(Ⅰ)知()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减 且()10f =，则1n e m <<<
要证2mn e >，即证2e
m e
n >>，即证()2e f m f n ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()2e f n f n ⎛⎫< ⎪⎝⎭
即证
()2
2ln ln n n n n e
-< 由于1n e <<，即0ln 1n <<，即证222ln 2ln e n n n n <- 令()()2
2
2
ln 2ln 1G x e x x x x x e =-+<<
则()()()()()2
242ln 2ln 12ln 1e x e x e e G x x x x x x x x x x x x x +-⎛⎫'=-++=-+-=+- ⎪⎝⎭
1x e <<Q ()0G x '∴>恒成立 ()G x ∴在()1,e 递增
()()0G x G e ∴<=在()1,x e ∈恒成立2mn e ∴>
【典例3】已知函数()x
f x e ax b =++，曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为20ex y --=.
（1）求函数()f x 的解析式，并证明：()1f x x ≥-.
（2）已知()2g x kx =-，且函数()f x 与函数()g x 的图象交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且线段AB 的
中点为()00,P x y ，证明：()()001f x g y <<.
【解析】（1）由题意得：()12f e a b e =++=-，即2a b +=- 又()x
f x e a '=+，即()1f e a e '=+=，则0a =，解得：2b =-
则()2x
f x e =-.
令()()11x
h x f x x e x =-+=--，()1x
h x e '=-
令()0h x '=，解得：0x =
则函数()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增
()()00h x h ∴≥=，则：()1f x x ≥-
（2）要证()()001f x g y <<成立，只需证：1212x 2
4
222
x x x e e e
k ++--<-<
即证12
12
2
2x x x x e k e e
++<<
，即：112
2122212x
x x x x x e e e x e e x +-+<<- 只需证：21
21212
21112
x x x x x x e e x x e
----+<<- 设210t x x =->，即证：2
11
2
t
t t e e e t -+<<
要证2
1
t t e e t
-<，只需证：22t t e e t -->
令()2
2
t t F t e e
t -
=--，则()2
2
1102t t
F t e e -⎛⎫'=+-> ⎪⎝⎭
()F t ∴在()0,∞+上为增函数
()()00F t F ∴>=，即2
1
t
t e e t -<成立；
要证112t t e e t -+<，只需证明：112
t t e t e -<+
令()112t
t e t G t e -=
-+，则()()
()()
()()
2
2
22
2
411210212121t t t t
t t
t
e e e e G t e e e -+--'=-==
<+++
()G t ∴在()0,∞+上为减函数 ()()00G t G ∴<=，即11
2t t e e t -+<
成立 2
11
2
t
t t e e e t -+∴<<
，0t >成立 ()()001f x g y ∴<<成立
【典例4】已知函数()()2
()1ln 1(0)f x a x x x ax a =++-->是减函数.
（1）试确定a 的值； （2）已知数列{}()()*123ln 11
n n n n n a a T a a a a n N n +=
=∈+L L ，求证：()ln 212n n
n T +<-⎡⎤⎣⎦. 【解析】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()1,-+∞，()()ln 12f x a x x +'=-.
由()f x 是减函数得，对任意的()1,x ∈-+∞，都有()()ln 120f x a x x +-'=≤恒成立. 设()()ln 12g x a x x =+-.
∵()2121
a x g x x ⎡⎤
⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+，由0a >知112
a
->-， ∴当1,
12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()'0g x >；当1,2a x ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， ∴()g x 在1,12a ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减， ∴()g x 在12
a
x =
-时取得最大值.
又∵()00g =，∴对任意的()1,x ∈-+∞，()()0g x g ≤恒成立，即()g x 的最大值为()0g . ∴
102
a
-=，解得2a =. （Ⅰ）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <， ∴()0f n <，即()()2
21ln 12n n n n ++<+.
两边同除以()2
21n +得，
()ln 112
1
211
n n n n n n ++<
⋅⋅
+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++. 从而1231
123
3452...............223412341n n n
n n T a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=<
⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭
1
1221n n n ++=⋅+， 所以()()()212ln 2ln 21n n n n T n +⎡⎤
+⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦
()()()2ln 2ln 11ln2n n n =+-+-+①.
下面证()()()2ln 2ln 11ln2102n
n n n +-+-++-<；
记()()()()2ln 2ln 11ln212
x
h x x x x =+-+-++-，[)1,x ∈+∞.
∴()22111ln2ln2212322
x h x x x x x =--+=-++'+++ 11
ln2223x x
=-+++，
∵2
y x x
=+在[)2,+∞上单调递增，
∴()h x '在[
)2,+∞上单调递减， 而()()()()1111
2ln223ln22ln806233
h x h ≤=
-+=-=-'<'， ∴当[
)2,x ∈+∞时，()0h x '<恒成立， ∴()h x 在[
)2,+∞上单调递减，
即[
)2,x ∈+∞时，()()22ln4ln33ln2ln2ln30h x h ≤=--=-<， ∴当2n ≥时，()0h n <. ∵(
)19
12ln3ln22ln2ln 028
h =---
=-<， ∴当*n N ∈时，()0h n <，即()()()2ln 2ln 11ln212
n
n n n +-+-+<-②. 综上①②可得，()ln 212
n n
n T ⎡⎤+<-
⎣⎦.
课后训练
1. 已知函数()()
22
122()2
x f x x x e ax a R =-+-
∈. （1）当a e =时，求函数()f x 的单调区间； （2）证明：当2a ≤-时，()2f x ≥.
解：（1）当a e =时，()()
22
1222
x
f x x x e ex =-+-
， 所以()()
2'x
x
f x x ex x x e e e =-=-，讨论：①当0x <时，0x xe e -<，有()'0f x >；
②当01x <<时，由函数x
y xe =为增函数，有0x xe e -<，有()'0f x <； ③当1x >时，由函数x
y xe =为增函数，有0x xe e ->，有()'0f x >.
综上，函数()f x 的增区间为(),0-∞，()1,+∞，减区间为()0,1. 证明：（2）当2a ≤-时，有112a -
≥，所以221
2
ax x -≥， 所以()(
)
2
2
22x
f x x x e x ≥-++.
令()()
2
2
22x
g x x x e x =-++，则()()
2'22x
x
g x x x e e x x =+=+.
令()2x
h x xe =+，有()()'1x
h x x e =+.令()'0h x =，得1x =-.
分析知，函数()h x 的增区间为()1,-+∞，减区间为(),1-∞-.所以()()min 1
120h x h e
=-=->. 所以分析知，函数()g x 的增区间为()0,∞+，减区间为(),0-∞,
所以()()()
2
2
min 0020202g x g e ==-⨯+⨯+=,故当2a ≤-时，()2f x ≥.
2. 已知函数()ln ()a
f x x x a R x
=++
∈. （1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围；
（2）若函数2
()()(1)g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312x x e
>（e 为自然对数）.
解析：（1）由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，
()222
11a x x a
f x x x x
='+-=+-，
因为函数()f x 在[)1,+∞为增函数，所以()0f x '≥在[
)1,+∞上恒成立， 等价于20x x a +-≥在[
)1,+∞上恒成立，即()
2
min
a x x
≤+，
因为2
211224x x x ⎛⎫+=+-≥ ⎪⎝
⎭，所以2a ≤， 故a 的取值范围为2a ≤.
（2）可知()()2
2
2
ln 1ln g x x x x a a x x x x ax x a =++-+-=--+，
所以()ln 2g x x ax '=-，
因为()g x 有两极值点12,x x ，所以1122ln 2,ln 2x ax x ax ==，
欲证23
12x x e ⋅>，等价于要证：()
2312ln ln 3x x e ⋅>=，即12ln 2ln 3x x +>，
所以12322
ax ax +>，因为120x x <<，所以原式等价于要证明：12324a x x >+，① 由1122ln 2,ln 2x ax x ax ==，可得()2
211
ln 2x a x x x =-，则有2
121ln
2x x a x x =-（），② 由①②原式等价于要证明：2
12112
ln
32x x x x x x >
-+，
即证()221122
112
1
313ln 212x x x x x
x x x x x ⎛⎫- ⎪
-⎝⎭>=++，
令21x t x =
，则1t >，上式等价于要证()31ln 12t t t
->+， 令()()
31ln 12t h t t t
-=-+，则()()()()()()()22
3126114111212t t t t h t t t t t +----=-=++' 因为1t >，所以()0h t '>，所以()h t 在()1,+∞上单调递增， 因此当1t >时，()()10h t h >=，即()31ln 12t t t
->
+.所以原不等式成立，即23
12x x e ⋅>.
3.已知函数()x x f x e
=
. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：12ln x
x e ex
>
-. 解析：（1）由题意可得()1'x x
f x e
-=
，令()'0f x =，得1x =. 当(),1x ∈-∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 单调递减.
所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞，()f x 的单调递减区间为()1,+∞. （2）要证12ln x x e ex >
-成立，只需证2
ln x x x x e e
>-成立. 令()ln g x x x =，则()'1ln g x x =+，令()'1ln 0g x x =+=，则1
x e
=， 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()'0g x >，
所以()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，所以()11g x g e e ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭， 又由（1）可得在()0,+∞上()()max 1
1f x f e
==， 所以max
21x x e e e ⎛⎫
-=-
⎪⎝⎭，所以不等式得证. 4. 已知函数()x f x e ax a =--（其中e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若对任意2(]0,x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）设*n N ∈，证明：1
23()()()()1
n
n
n
n
n e n
n
n
n
e ++++<
-L . 【解析】解：（1）因为()x
f x e ax a =--，所以()x
f x e a '=-，
①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增； ②当0a >时，()0ln x
f x e a x a >⇒>⇒>'，
()0ln x f x e a x a <⇒<⇒<'
所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.
（2）因为对任意的(]
0,2x ∈，不等式()f x x a >-恒成立，即不等式()1x
a x e +<恒成立.
即当(]0,2x ∈时，1x
e a x
<-恒成立.
令()(]()10,2x e g x x x =-∈，则()()2
1x
x e g x x -'=
.
显然当()0,1x ∈时，()0g x '<，(]
1,2x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在(]
1,2上单调递增. ∴1x =时()g x 取最小值1e -. 所以实数a 的取值范围是(),1e -∞-
（3）在（1）中，令1a =可知对任意实数x 都有10x e x --≥，
即1x x e +≤（等号当且仅当0x =时成立）
令()11,2,3,,k x k n n +==L ，则1k n k e n -<，即n
k
k n
n k e e n e -⎛⎫<= ⎪⎝⎭
故123n n n n
n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ()1231n
n e e e e e <++++L ()
()()111n n
e e e e e e -=<--。