高等数学A习题课六

解：f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (0) x3
2!
3!
f（4）(0) x4 o(x4 ) 4!
x x2 1 x3 1 x4 o(x4 ), 24
ln(1 x) x x2 x3 o(x3 ), 23
f (x) x[1 ln(1 x)]
证明：存在 (1, 2)，使 F() 0
4 . 设函数 f (x) 在 a, b上连续 ，
在 (a, b) 内可导，
证明在 (a,b)内至少存在一点,使
2[ f (b) f (a)] (b2 a 2 ) f ( )
5 . 设函数 f (x), g(x) 在 a, b 上连续 ，
在(a, b) 内可导，证明 至少存在一点 (a, b),使
7 . 设函数 f (x) 在 a, b 上连续 ，在(a, b) 内可导，
且f (a) f (b) 2a, f ( a b) a b， 2
证明在(a, b) 内至少存在一点 ,使
f ( ) 1
8. 设f (x) C[0,2 ]，f (0) f (2 ), 且f (x) f (x)， x (0, 2 ), 证明：存在 (0, 2 )，使
tan 2 f ( ) f ( ) f ( )
9. 设f (x)在[a, b]上有三阶连续导数，
证明：存在 (a, b)，使
f (b) f (a) f ( a b)(b a) 1 f ( )(b a)3
2
24
x cos x ex 1
二.1
设
f
(x)
x2
x0
a x0
(1) 问 a 取何值时, f (x)在x 0连续?
(1) 问 a 取何值时, g(x)处处连续.
(2) 对（1）中确定的a，证明 g(x)有一阶连续导数.
五.求下列极限: 2
1.lim arcsin x x2
x0
x
2. lim (6 x 6 x 5 6 x 6 x 5 ) x
1
(e 3 )
(1) 3
3.lim n2 (arctana arctan a )(a 0) (a)
lim
x0
x4
x x2 1 x3 1 x4 o(x4 ) x[1 x 1 x2 1 x3 o(x3 )]
lim
24
23
x0
x4
lim
1 12
x4
o(x4 )
1
x0
x4
12
(2) 在(1)之下, f (x)在x 0是否可导?若可导，求f (x)。
x2 sin x x cosx xex 2ex 2
(a
1 2
,
f
(x)
x3 2
3
x0 )
x0
2. 设f (x)有一阶连续导数，且f (0) f (0) 0， f (0)存在，
g
( x)
f
(x) x
a
x0 x0
习题 课 六
一. 证明题：
1. 设 a1, a2 , an满足
a1
a2 3
(1)n1
an 2n 1
0
证明方程 a1 cosx a2 cos3x an cos(2n 1)x 0
在(0, )内至少有一个根。
2
2. 证明方程 2x x2 1 有且仅有三个实根。
3. 设f (x)在[1, 2]上有二阶导数，且 f (2) 0，F(x) (x 1)2 f (x)，
n
n
n 1
1 x2 x4 1 x2
4. lim
28
x0
x 2 sin x 4
( 1 ) 16
例3 设 f (x) 有四阶导数，且 f (0) 0,
f (0) 1, f (0) 2, f (0) 3, f (4) (0) 6,
求 lim f (x) x[1 ln(1 x)]
x0
x4
f (a) g(a)
f (a) g(a)
(b a)
f (b) g(b)
f ( ) g ( )
f (a) g(a)
f源自文库(a) g(a)
(F (x)
x (b a)
)
f (b) g(b)
f (x) g(x)
6. 设f (x)在[0, 1]上有二阶导数，且f (1) f (0) 0，
证明：存在 (0, 1)，使 f ( ) 2 f ( ) . 1