翻译 光子带隙分析

光子带隙分析 介绍

该模式描述了,由砷化镓支柱等间距放置组成的光子晶体中的波传播，支柱之间的距离决定了波数与光频之间的关系，光频阻止了某些确定波长的光透射到晶体的内部。这个频率范围就叫做带隙，对某个确定的结构来说对应不止一个带隙，该模式摘取了晶体最低频段的带隙。 模型定义

该模式类似于光子晶体波导模式，它们之间的区别在于，该模式分析晶体本身而不是本身就是一个波导，因为它有一个重复的模式使得使用周期边界条件情况成为可能。因此，只需一个支柱就可以完成该模拟过程。该模式包含一个小的不对称性，以此来除去具有相同的特征值特征函数的困难，该对称性不是体现在光子晶体波导模式上。

在这种带隙分析中存在两个主要的问题，首先，砷化镓的折射率与频率有关，其次，波矢必定会为带面而倾斜。尽管，你可以通过特征值求解的方式分别解决这两个问题，但是它们之间的结合使得在没有脚本的情况下该问题的解决变得困难。然而，把该特征值当成一个未知数，我们可能解决一个非线性固定求解的问题，特征值是一个规范的电场，因此，平均值是在域的统一。非线性求解器找到了一个与要找的特征值相同的具有最新折射率的特征值。并且参数求解可以复现波矢k 。特征值等于自由空间波矢平方： k 02=Λ

特征值记为Λ，以避免与自由空间波长λ

0混乱，Λ

与λ

0之间的关系为：

Λ

2π0=

λ 发散播波矢k 遵从Floquet 周期边界条件进入该模拟过程：

()()βi z z e E E -=12

β是由波矢和周期边界之间的距离d 决定的相位因素，其中 β=kd

波矢k 的扫频范围是由光子晶体的倒晶格向量决定的，并且这些都是由原始晶格矢量确定的。对一个二维晶体来说，它有两个由下图定义的晶格向量，а1和а2。

倒易晶格向量是从а1和а2用以下关系计算得来的

()

321321a a a a a 2⨯⋅⨯=π

b ()

3211

32a a a a a 2⨯⋅⨯=π

b

此处假设a 3是单位向量e z 。当а1、а2及а3相互垂直时，b 1、b 2变为

1111a a a 2b π=

2

222a a a 2b π=

解答过程是相当复杂的，你必须找到合适的非线性参数初始条件，这是至关重要的，因为系统中有很多答案，每一个对应一个特征值。在COMSOL 中你可以先用特征值求解器找到一个在任何k -向量下的一个特征解，由于砷化镓的折射率随频率的变化而变化，这种解答方式是不准确的。我们可以对特征值重复的计算来获得更准确的解。特征值问题第一次迭代以后，你可以直接切换到时谐分析类型。在非线性求解器中，把该解答作为初始猜测。利用非线性求解器你可以构建一个k=0到k=0.5的坡道，在预先定义的方向上，该坡道代表了一半的由b 1、b 2线性组合组成的互易向量，如例（1，1）

上述所描述的解答步骤可以在COMSOL 或MATLAB 中自动生成，由于在把数据载入非线性解答器之前你必须得改变分析求解方法，因此用求解器脚本是无法自动生成该步骤的。如果你对不同频段不同波矢方向的扫描感兴趣，建议你用自动生成的方法。

下图1表示的是在点（1，1）上场的大致轮廓，波矢的频率是395THz ，且特征值k=0相当于频率为423THz 。

图1

在（1，1）方向上五个最低的频带如下图2所示，三个最低的频带没有实际的带隙离的非常近，在第四和第五频带之间有一个带隙。

图2

用一个脚本，你可以在不同方向对不同的频带进行扫描，你还可以对波矢k参量进行扫描.这些分析方法形成了波矢k空间中的许多波面。图3显示了在“COMSOL脚本建模”下用脚本创建的方式获得表面带宽，在第四和第五带面之间有一个大的带隙，在此频率范围内，没有任何的波可以穿透此晶体。

图3

下面我们就用COMOL建模：

建立模型

1. 打开COMSOL，在新增选项卡中，选择空间维度为2D。

2. 应用模式下依次选择射频模块→平面波→TE波→特征频率分析，、。

3. 点击确定。

选项设置

1. 在打开的窗口中，依次选择选项→常数。

2. 然后将以下数据输入，点击确定完成常数设定。

名称表达式描述

k 0 Fraction of wave vector magnitude

k1 1 1st component of wave direction vector k2 1 2nd component of wave direction vector a1x 375[nm] x-component of 1st lattice vector

a1y 0[nm] y-component of 1st lattice vector

a2x 0[nm] x-component of 2nd lattice vector

a2y 375[nm] y-component of 2nd lattice vector

标量设定

1. 依次选择选项→表达式→标量表达式。

2. 输入以下数据，点击确定完成标量表达式的设定。

名称表达式描述

kx k*(k1*b1x+k2*b2x) 1st k-component for periodic

condition

ky k*(k1*b1y+k2*b2y) 2nd k-component for periodic

condition

b1x 2*pi*a2y/(a1x*a2y-a1y*a2x) x-component of 1st

reciprocallattice vector

b1y -2*pi*a2x/(a1x*a2y-a1y*a2x) y-component of 1st reciprocal

lattice vector

b2x -2*pi*a1y/(a1x*a2y-a1y*a2x) x-component of 2nd reciprocal

lattice vector

b2y 2*pi*a1x/(a1x*a2y-a1y*a2x) y-component of 2nd reciprocal

lattice vector

n_Air 1 Refractive index of air

n_GaAs 3.3285e5[1/m]*lambda0_rfwe+

3.5031 Dispersive refractive index of GaAs

1. 建立几何模型

依次选择绘图→指定对象→矩形。

2. 在打开的窗口中设置矩形的宽度、长度都为为

3.75e-7，位置中以中心为起

点。点击确定。

3. 依次选择绘图→指定对象→圆。

4. 在打开的窗口中设置圆的半径为7e-8，位置以中心为起点，点击确定。

5. 在工具栏中点击“缩放至窗口大小按钮”。

边界条件设定

选择物理量→边界设定。

1. 选定1、4边界，在“边界源项与约束”中，依次选择：边界条件为周期性

条件，周期性类型为Floquet周期，周期索引为0.

2. 在“起点端变换和终点端命令”下，数量k值分别选为kx、ky，点击应用。

3. 选定2、3边界，同上的设置，只需把上述设置中的周期索引改为2，点击

应用。

4. 点击确定。

求解域设定

1. 选择物理量→求解域设定。

2.选择求解域1，在右方的物理量标签下，选择“以折射率指定材料属性”，

折射率n的值输入n＿Air,选择初始标签，在Ez（t

）的值中输入Ez。

3.选择求解域2，设置同上，只需把折射率你的值改为n＿GaAs。

4. 点击确定

积分耦合变量设定

1. 选择选项→积分耦合变量→求解域变量。

2. 在打开的对话框中群体选择求解域1、2，按下表完成名称、表达式、积分