反证法课件.ppt
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这与_三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°__矛盾；
综上所述,假设不成立.
∴∠B一定是锐角.
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语
否定
正面 词语
等于 大于（>） 小于 (<) 是 都是 只有一 个
不等于 小等于于或 （≤）大等于于或（≥） 不是
没有或 不都是 至少有
两个
至多有 至少有一 任意的 所有的 至多 任意两
一个
个
有n个 个
至少有 否定 两个
一个也 没有
某个
某些 至少有n 某两 ＋1个 个
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
❖ 证明：1假 设x 两个数1都 不y 小于2，则
2,
2
y
x
因为 x 0, y 0
所以 1 x 2 y, 1 y 2x
两式相加得 2 x y 2( x y)
整理得 x y 2 与已知 x y 2 矛盾
所以1 x ，1 y 中至少有一个小于2. yx
方法小结：
❖ 1．反证法
归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理，得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立。
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾；
（2）与假设矛盾
（3）与已有公理、定理、定义矛盾； （4）与客观事实矛盾。
P89 思考题.
例1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
例 3.若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3， c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c 至少有一个大于 0.
[证明] 假设 a，b，c 三个数均不大于 0， 即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c≤0， 又 a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3>0. 与假设矛盾，所以假设不成立．故原命题成立． 即 a，b，c 至少有一个大于 0.
❖ A．一个是正数，一个是负数
❖ B．两个都是正数
❖ C．至少有一个正数
❖ D．两个都是负数
❖ [答案] C
❖ [解析] 假设两个数都是负数，则两个数 之和为负数，与两个数之和为正数矛盾， 所以两个实数至少有一个正数，故应选C.
4.已知x，y>0，且x y 2.试证：
1 x ，1 y 中至少有一个小于2. yx
提升训练
❖ 一、选择题
❖ 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下 列哪些作为条件使用 ( )
❖ ①结论相反判断，即假设 ②原命题的结论
❖ ③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
❖ A．①④
B．①②③
❖ C．①③④
D．②③
❖ [答案] C
❖ [解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条 件使用，故应选C.
CD交于点P，且AB、CD不是直径.
求证：弦AB、CD不被P平分.
A
O
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
C
由于P点一定不是圆心O，连结OP， B
根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都垂直，
这与垂线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
1、证明：在 ABC中，若 C 是直 角，则 B 一定是锐角。
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾, 若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立，结论 a > b成立。
反证法是一种常用的间接证明的方法。 一般地，假设原命经题过不正成确立的，推理，
最后得因出此矛说盾明。假设错误，从而证 明了原命题成立，这样的证明方法叫做反 证法（归谬法）。 其步骤： 反设——假设命题的结论不成立；
练习、已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有 且只有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2 ∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0 ∵ x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
2.2.2直接证明与间接证明 -反证法
综合法(顺推法)
直接证明 分析法(逆推法)
引例1：
将9个球分别染成红色或白色。那么无 论怎样染，至少有5个球是同色的。你能 证明这个结论吗？
间接证不明是：直接从原命题的条件逐步推得 命题成立的证明方法。
引例 2
证明：如果a>b>0，那么 a > b
证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
❖ 2．命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ( )
❖ A．两个内角是直角 ❖ B．有三个内角是直角 ❖ C．至少有两个内角是直角 ❖ D．没有一个内角是直角 ❖ [答案] C ❖ [解析] “最多只有一个”即为“至多一
个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C.
❖ 3．如果两个实数之和为正数，则这两个 数( )
例2 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（kwk.baidu.comN）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
假设不成立，故 2 是无理数。
❖ 假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下，结
论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，
因
此
说
明
假设错误，从而证明了 原命题成立
，这种
证明方法叫做反证法．
❖ 2．反证法常见矛盾类型
❖ 在反证法中，经过正确的推理后“得出矛盾”，
所得矛盾主要是指与
矛已盾知，条件与
、
数、学公理、 公式 或定义 定理 已被证明了矛的结盾论 ，
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或_钝___角__. 当∠B是_直__角__时，则___∠__B__+__∠__C__= 180°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾；
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+___∠_C__＞__1_8_ 0°
综上所述,假设不成立.
∴∠B一定是锐角.
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语
否定
正面 词语
等于 大于（>） 小于 (<) 是 都是 只有一 个
不等于 小等于于或 （≤）大等于于或（≥） 不是
没有或 不都是 至少有
两个
至多有 至少有一 任意的 所有的 至多 任意两
一个
个
有n个 个
至少有 否定 两个
一个也 没有
某个
某些 至少有n 某两 ＋1个 个
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
❖ 证明：1假 设x 两个数1都 不y 小于2，则
2,
2
y
x
因为 x 0, y 0
所以 1 x 2 y, 1 y 2x
两式相加得 2 x y 2( x y)
整理得 x y 2 与已知 x y 2 矛盾
所以1 x ，1 y 中至少有一个小于2. yx
方法小结：
❖ 1．反证法
归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理，得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立。
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾；
（2）与假设矛盾
（3）与已有公理、定理、定义矛盾； （4）与客观事实矛盾。
P89 思考题.
例1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
例 3.若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3， c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c 至少有一个大于 0.
[证明] 假设 a，b，c 三个数均不大于 0， 即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c≤0， 又 a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3>0. 与假设矛盾，所以假设不成立．故原命题成立． 即 a，b，c 至少有一个大于 0.
❖ A．一个是正数，一个是负数
❖ B．两个都是正数
❖ C．至少有一个正数
❖ D．两个都是负数
❖ [答案] C
❖ [解析] 假设两个数都是负数，则两个数 之和为负数，与两个数之和为正数矛盾， 所以两个实数至少有一个正数，故应选C.
4.已知x，y>0，且x y 2.试证：
1 x ，1 y 中至少有一个小于2. yx
提升训练
❖ 一、选择题
❖ 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下 列哪些作为条件使用 ( )
❖ ①结论相反判断，即假设 ②原命题的结论
❖ ③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
❖ A．①④
B．①②③
❖ C．①③④
D．②③
❖ [答案] C
❖ [解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条 件使用，故应选C.
CD交于点P，且AB、CD不是直径.
求证：弦AB、CD不被P平分.
A
O
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
C
由于P点一定不是圆心O，连结OP， B
根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都垂直，
这与垂线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
1、证明：在 ABC中，若 C 是直 角，则 B 一定是锐角。
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾, 若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立，结论 a > b成立。
反证法是一种常用的间接证明的方法。 一般地，假设原命经题过不正成确立的，推理，
最后得因出此矛说盾明。假设错误，从而证 明了原命题成立，这样的证明方法叫做反 证法（归谬法）。 其步骤： 反设——假设命题的结论不成立；
练习、已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有 且只有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2 ∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0 ∵ x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
2.2.2直接证明与间接证明 -反证法
综合法(顺推法)
直接证明 分析法(逆推法)
引例1：
将9个球分别染成红色或白色。那么无 论怎样染，至少有5个球是同色的。你能 证明这个结论吗？
间接证不明是：直接从原命题的条件逐步推得 命题成立的证明方法。
引例 2
证明：如果a>b>0，那么 a > b
证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
❖ 2．命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ( )
❖ A．两个内角是直角 ❖ B．有三个内角是直角 ❖ C．至少有两个内角是直角 ❖ D．没有一个内角是直角 ❖ [答案] C ❖ [解析] “最多只有一个”即为“至多一
个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C.
❖ 3．如果两个实数之和为正数，则这两个 数( )
例2 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（kwk.baidu.comN）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
假设不成立，故 2 是无理数。
❖ 假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下，结
论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，
因
此
说
明
假设错误，从而证明了 原命题成立
，这种
证明方法叫做反证法．
❖ 2．反证法常见矛盾类型
❖ 在反证法中，经过正确的推理后“得出矛盾”，
所得矛盾主要是指与
矛已盾知，条件与
、
数、学公理、 公式 或定义 定理 已被证明了矛的结盾论 ，
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或_钝___角__. 当∠B是_直__角__时，则___∠__B__+__∠__C__= 180°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾；
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+___∠_C__＞__1_8_ 0°