集合与集合的运算

1．(2010年·宁夏模拟)设集合M＝{(x，y)|y＝x2}，N＝{(x， y)|y＝2x}，则集合M∩N的子集的个数为( )
(A)2.
(B)3.
(C)4.
(D)8.
【解析】 M∩N即函数y＝x2与函数y＝2x图象交点的集合，
由图象知M∩N共有三个元素，故M∩N的子集的个数为23＝8.
【答案】 D
2．(2010 年·湖北黄冈中学二模)已知集合 M＝{x|y＝ 3－x2}， N＝{x||x＋1|≤2}，且 M、N 都是全集 I 的子集，则右图韦恩图中 阴影部分表示的集合为( )
(A){x|－ 3≤x≤1}. (B){x|－3≤x≤1}． (C){x|－3≤x＜－ 3}. (D){x|1＜x≤ 3}．
题1 (2010年·天津)设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝ {x||x－b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足( )
(A)|a＋b|≤3. (B)|a＋b|≥3. (C)|a－b|≤3. (D)|a－b|≥3. 【解析】 由题意可得：A＝{x|a－1＜x＜a＋1}，对集合B 有x＜b－2或x＞b＋2，因为A⊆B，所以有b－2≥a＋1或b＋2≤a－ 1，解得a－b≤－3或a－b≥3，即|a－b|≥3，选D. 【答案】 D 题2 (2009年·江苏)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)， 若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
【解析】 M＝[－ 3， 3]，N＝[－3,1]，图中阴影表示 N∩( IM)＝{x|－3≤x＜－ 3}．
【答案】 C
3．用列举法表示集合M＝{m|
∈Z，m∈Z}＝________.
【解析】 m＋1应为10的约数，可取±10，±5，±2或±1.
∴M＝{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}．
【答案】 {－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}
高考问题1：考查元素的性质 重点考查列举法表示的集合中元素的互异性，描述法表示 的集合中根据代表元素确定是数集或点集．多为中等偏容易的 选择、填空题． 高考问题2：考查集合间关系 重点考查集合间的包含关系，常以子集为问题背景，注意 空集的特殊情况．多为选择、填空题中的中等题． 高考问题3：考查集合的运算 综合考查集合的基本运算，注重借助图形将集合运算等价 转化为相应的集合之间的关系．多见于选择、填空题中的中等 题．
3．常用数集的专用符号： 非负整数集(自然数集)N，正整数集N＋或N*，整数集Z， 有理数集Q，实数集R 4．元素与集合、集合与集合的关系 (1)元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，可记为 a∈A，如果a不是集合A中的元素可记为a∉A.
UA＝
(2)集合与集合的关系：若A是B的子集，记为：A⊆B，若A
如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( ) (A)3个． (B)2个． (C)1个． (D)无穷多个．
【解析】 M＝[－1,3]，N为正奇数集合，则图中阴影部分 表示M∩N＝{1,3}．
【答案】 B
问题2 解简单不等式的问题，多以选择题或填空题的形式出 现，试题一般涉及集合的运算、参数的取值范围等.
一般以客观题形式出现，难度控 制在中等以下，分值为4～5分， 预计2012年高考仍以小题目综合 化的方式命题．
了解一元二次不等式与相应的二
次函数、一元二次方程的联系．
会解一元二次不等式．
简单不等 式求解
会利用绝对值的几何意义求解以 下类型的不等式： |ax＋b|≤c；
|ax＋b|≥c；
|x－a|＋|x－b|≤c；
3．“高端数据库”不需专门安排时间讲解，但作为教师必须认 真阅读与理解，切实弄清本章知识在高考中的地位与作用，弄清楚 会有哪些题型、试题如何综合有关知识点、难度如何、近年来有哪 些拓展性试题出现等等，必须引导学生认真领会其中的指导意义．
考 点 考纲要求
考点解读
集合及 其运算
了解集合的含义、元素与集合 的“属于”关系，能用自然语 言、图形语言、集合语言(列举 法或描述法)描述具体问题． 理解集合之间包含与相等的含 义，能识别给定集合的子 集．了解全集与空集的含义．
【答案】 C
题2 (2010年·上海)“x＝2kπ＋ (k∈Z)”是“tan x＝1”成
立的( ) (A)充分不必要条件． (B)必要不充分条件． (C)充要条件． (D)既不充分也不必要条件．
【解析】 x＝2kπ＋π4(k∈Z)⇒tan x＝tan(2kπ＋π4)＝1， 但是 tan x＝1⇒x＝kπ＋π4(k∈Z)，不一定为 x＝2kπ＋π4(k∈Z)． 【答案】 A
考查四种命题的相互转化及命题的
真假，注意互为逆否命题的两个命
题的真假相同，而互否或互逆的两
理解命题的概念，了解“若p则 个命题的真假无关；考查含逻辑联
q”形式的命题的逆命题、否命题 结词的命题的真假；考查全称命题
与逆否命题，会分析四种命题的 与特称命题的真假及否定形式，注
命题、逻 辑联结 词与充 要条件
4．设 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，则 b－a＝ ________.
【解析】 由题意 a≠0，∴a＋b＝0 即 b＝－a≠0，则ba＝ －1，∴b＝1，a＝－1，b－a＝2.
【答案】 2
5．已知全集U＝{x|－3≤x≤3}，M＝{－1＜x＜1}，CUN＝
{x|0＜x＜2}，则(CUM)∩N＝________. 【解析】 (法一)CUM＝{x|－3≤x≤－1或1≤x≤3}，N＝{x|－
相互关系．
意命题的否定与否命题之间的差别；
理解必要条件、充分条件与充要 考查充分条件、必要条件与充要条
条件的意义，
件的判断，特别注意利用子集关系
了解逻辑联结词“或”、“且”、判断的方法．
“非”的含义．
将高中数学其他分支的知识作为背
理解全称量词与存在量词的意义，景，综合考查简易逻辑的相关内容，
能正确地对含有一个量词的命题 是高考命题的一个热点．
高考问题4：考查集合与其他知识的综合(集合思想) 综合考查集合知识的应用，常与函数、方程、不等式等知 识相结合，多为选择、填空题的中等题．
1．集合的定义：指定的某些对象的全体称为集合．集合 具有三个特性：确定性、互异性和无序性．
2集合常用的表示法：列举法和描述法．此外，集合常用 的表示法还有区间表示法和Venn图法．
的集合，记为：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
(3)设集合U为全集，集合A是它的一个子集，则U的子集A的
补集记为
7．集合常用的运算性质及重要结论
(1)A∩A＝A，A∩Ø＝Ø，A∩B＝B∩A，A∪A＝A，A∪Ø ＝A，A∪B＝B∪A；
(2)A∩B⊆A，A∩B⊆B，A⊆A∪B，B⊆A∪B， A∩B⊆A∪B；
是B的真子集，记为：A B，空集是任意集合的子集，是任意非
空集合的真子集．
(3)集合相等表示为：A＝B，两个相等的集合元素相同．
5．按元素个数集合可分为：有限集、无限集和空集．
6．集合运算
(1)A和B的交集：由既属于集合A又属于集合B的所有元素组
成的集合，记为：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(2)A和B的并集：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成
【解析】 对于p1，∵y＝2x为增函数，y＝2－x为减函数， ∴y＝2x－2－x为增函数，故p1为真．
对于p2，又∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝ ，∴y＝ 2x＋2－x不是减函数，故p2为假．
∴q1：p1∨p2为真；q2：p1∧p2为假；q3：(綈p1)∨p2为假； q4：p1∧(綈p2)为真．
集合与简易逻辑
§1.1 集合与集合的运算
知识数据库 技能数据库 预测数据库
第一章 集合与简易逻辑
1．本章内容是高中数学的基础内容，涉及面广，因此必须牢固 掌握．
2．“高端数据库”是教师组织本章复习的方向指南．对“考纲 考点解读”要从考纲要求的层面上了解近年来高考考纲变化中的新 问题、新动向，从而把握高考趋势．对“高考趋势交流”应从高考 问题与相应的高考题型中把握本章的复习重点与主要题型．
3≤x≤0或2≤x≤3}，∴(CUM)∩N＝{x|－3≤x≤－1或2≤x≤3}．
(法二)M∪(CUN)＝{x|－1＜x＜2}，根据摩根定理得： CUM∩N＝CU[M∪(CUN)]＝{x|－3≤x≤－1或2≤x≤3}．
【答案】 {x|－3≤x≤－1或2≤x≤3}
理解两个集合的并集与交集的 含义，会求两个简单集合的并 集与交集．
理解在给定集合中一个子集的 补集的含义，会求给定子集的 补集，能使用韦恩(Venn)图表 达集合的关系及运算.
考查对集合基本概念、基本运算 的认识和理解，如：通过集合的 表示方法能明确集合类型(数集或 点集)，特别是对集合中的元素的 属性要分清．高考试题通常是在 给出集合后，考查集合与集合间 的关系，特别注意用子集的方式 限定集合关系．多与函数、方程、 不等式有关，解决问题时常用数 形结合、等价转换、分类讨论等 数学思想与方法．
(3)A∩( UA)＝Ø，A∪( UA)＝U； (4) U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)； (5)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A； (6)A⊆B，B⊆C⇒A⊆C； (7)n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集， 有2n－2个非空真子集．
＝x2，x∈R}，则A∩B等于( )
(A){x|－1≤x≤1}．
(B){x|x≥0}．
(C){x|0≤x≤1}. (D)Ø.
【解析】 ∵A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{y|y≥0，x∈R}，
∴A∩
题2(2009年·广东)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－ 1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图
|x－a|＋|x－b|≥c.
考查一元二次不等式、简单的分 式不等式、指对数不等式及含绝对 值不等式的解法．其中三个二次之 间的关系是高考的重点及热点．高 考试题通常以集合或函数为背景考 查不等式的求解，注重含参不等式 求解时的分类讨论以及不等式恒成 立问题的等价变形． 不等式求解作为工具涉及的数学知 识广且有深度，在选择、填空及解 答题中均有相应的试题，且多为含 参的不等式问题，一般为中档难度 题目．
进行否定．
一般以客观题的形式出现，难度控
制在中等以下，分值为4～5分，预
计2012年高考仍以综合多个重要知
识点的小题形式命题.
问题1 集合的综合问题，一般以选择题或填空题的形式出
现，试题一般涉及元素的性质、集合间的关系与运算等。
题1 (2010年·江西)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y
3．由于高考中涉及本节知识的试题一般为选择题或填空 题，属于基础题，难度不大，因此在教学过程中要注意对学生 解题规范性、技巧性及效率的培养．
4．本节的高考试题近年来有向探究性(如本节“预测数据库” 中的第11、12两题)发展的趋向，教师要注意把握得当．
5．教学中教师应该对本节所列例题有所选择，不一定要全部讲 完，对“预测数据库”中所列练习也不一定要求学生全部做完，特 别是“拓展探究”中的第11、12题，不必要求所有学生都完成．
§1.1 集合与集合的运算
1．集合及其运算是高中数学的基础，也是高考必考的基 础知识．教学中要注意把握“高考问题导航”中所提出的四个 高考问题，它们揭示了高考中对本节知识的考查重点与方向， 是本节复习的重点与主要题型．
2．复习时要在集合元素的三个特性、集合间的相互关系 、集合运算的法则与韦恩图应用(区间应用)、集合运算与集合 间关系的综合等四个方面多下工夫，重点把握．
【解析】 由log2x≤2，得0＜x≤4，即A＝(0,4]． 由A⊆B，知a＞4，所以c＝4. 【答案】 4 问题3 简易逻辑与其他知识的综合，一般以选择题或填空题 的形式出现，试题一般涉及命题的否定、命题的真假、充要条件
. 题1 (2010年·海南宁夏)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R 上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1： p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命 题是( ) (A)q1，q3. (B)q2，q3. (C)q1，q4. (D)q2，q4.