常微分方程模型全国大学生数学建模竞赛2004年D题新版15
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• 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不 一样呢？
4
需要解决的问题
• 参考下面给出的数据（百毫克、百毫升） （或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精 含量的数学模型，并讨论以下问题：
5
问题1 对大李碰到的情况做出解释
• 问题2 喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后 多长时间内驾车就会违反上述标准，请下 列情况下回答该问题：
线性常系数非齐次微分方程组
12
•
c '1 (t ) f (t ) / V1 c '(t ) Ac(t ) 0 c '2 (t )
P AP 0
1
0
13
• 作变量替换
x1 (t ) c(t ) Px(t ) P x2 (t )
f (t ) k , c1(0) c2 (0) 0
k t t B1e , 0 t T c1 ( t ) A1e k13V1 k12 k t t c ( t ) A e B e , 0 t T 2 2 2 k21k13V2 V1 ( k12 k13 ) V1 ( k12 k13 ) A1 , B2 B1 A2 k21V2 k21V2
lim c( t ) 0
t
19
2.恒速饮酒
0 t T 酒以恒定速率k
进入中心室
V2 f (t ) c ( t ) ( k k ) c k c 12 13 1 21 2 1 V1 V1 c ( t ) V1 k c k c 2 12 1 21 2 V 2
x '(t ) x(t )
14
• 它对应的通解为
x1 (t ) ae
t
, x2 (t ) be
t
t x ( t ) 1 e x (t ) 2
x1 (0) t e x2 (0)
x1 (0) 1 P c(0) x (0) 2
对应齐次方程通解
c1 (t ) A1e B1e t t c2 (t ) A2 e B2 e
t t
k12 k 21 k13 k 21 k13
18
不同的饮酒方式
1.快速饮酒
d , c2 (0) 0 V1
t=0 瞬时酒进入中心室, 酒精浓度为 d/V1
其中，(t1 t2 ) (t1 )(t2 )
16
线性可加性
•
c(t1 t 2 ) (t1 t 2 )c(0) e 1 P P c ( 0 ) ( t1 t 2 ) (t1 )(t 2 )c(0)
17
( t1 t 2 )
f ( t ) 0, c1 (0)
k12 k21 k13 k21k13
d c1 ( t ) [( k21 )e t ( k21 )e t ] V1 ( ) c2 ( t ) dk12 (e t e t ) V2 ( )
2
新标准
• 驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20 毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮 酒驾车
• 血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百 毫升为醉酒驾车
பைடு நூலகம்
3
问题背景
• 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检 查时符合新的驾车标准 • 在吃晚饭时他又喝了一瓶啤酒，为了保险 起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，
15
x1 (0) c(0) Px(0) P , x2 (0)
• 对应的齐次方程的通解为
t c ( t ) 1 e c(t ) P c2 (t ) c1 (0) (t ) c2 (0)
1 c1 (0) P c (0) t e 2
• 不需要更专业的计算机编程技术
8
• 两房室模型(假设身体分成两部分) • 主要器官（主房室)
• 其他部分（周边室）
9
模型假设
• 中心室和周边室酒精含量分别为 x1 (t ), x2 (t ) , 容积不变 • 酒精从体外进入中心室，在二室间相互转移, 从中心室排出体外
• 酒精在房室间转移速率及向体外排除速率，与该 室酒精浓度成正比
2 (t ) k12 x1 k21 x2 x
f ~ 给酒速率
11
xi (t ) Vi ci (t ), i 1,2
V2 f (t ) c1 ( t ) ( k12 k13 )c1 V k21c2 V 1 1 c ( t ) V1 k c k c 2 12 1 21 2 V2
• 酒是在很短时间内喝的； • 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的
6
• 问题3 怎样估计血液中的酒精含量在什 么时间最高
• 问题4 根据你的模型论证：如果天天 喝酒，是否还能开车 • 问题5 根据你做的模型并结合新的国 家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机 如何驾车提出忠告
7
• 该题的特点 数据量不大，有该问题的类似 模型 • 问题的信息不完全，需要补充 • 没有用到太深的数学知识
常微分方程模型 全国大学生数学建模竞赛 2004年 D 题
1
赛题背景
• 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人 数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占 有相当的比例。
• 针对这种严重的道路交通情况，国家质量 监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的 《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值 与检验》国家标准。
10
模型建立
f (t )
中心室
c1 (t ), x1 (t ) V1
k12
xi (t ) ~ 酒精量 ci (t ) ~ 酒精浓度 Vi ~ 房室容积 i 1, 2
给酒
k 21
周边室 c2 (t ), x2 (t )
V2
k13
排出
x1 (t ) k12 x1 k13 x1 k21x2 f (t )
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需要解决的问题
• 参考下面给出的数据（百毫克、百毫升） （或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精 含量的数学模型，并讨论以下问题：
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问题1 对大李碰到的情况做出解释
• 问题2 喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后 多长时间内驾车就会违反上述标准，请下 列情况下回答该问题：
线性常系数非齐次微分方程组
12
•
c '1 (t ) f (t ) / V1 c '(t ) Ac(t ) 0 c '2 (t )
P AP 0
1
0
13
• 作变量替换
x1 (t ) c(t ) Px(t ) P x2 (t )
f (t ) k , c1(0) c2 (0) 0
k t t B1e , 0 t T c1 ( t ) A1e k13V1 k12 k t t c ( t ) A e B e , 0 t T 2 2 2 k21k13V2 V1 ( k12 k13 ) V1 ( k12 k13 ) A1 , B2 B1 A2 k21V2 k21V2
lim c( t ) 0
t
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2.恒速饮酒
0 t T 酒以恒定速率k
进入中心室
V2 f (t ) c ( t ) ( k k ) c k c 12 13 1 21 2 1 V1 V1 c ( t ) V1 k c k c 2 12 1 21 2 V 2
x '(t ) x(t )
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• 它对应的通解为
x1 (t ) ae
t
, x2 (t ) be
t
t x ( t ) 1 e x (t ) 2
x1 (0) t e x2 (0)
x1 (0) 1 P c(0) x (0) 2
对应齐次方程通解
c1 (t ) A1e B1e t t c2 (t ) A2 e B2 e
t t
k12 k 21 k13 k 21 k13
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不同的饮酒方式
1.快速饮酒
d , c2 (0) 0 V1
t=0 瞬时酒进入中心室, 酒精浓度为 d/V1
其中，(t1 t2 ) (t1 )(t2 )
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线性可加性
•
c(t1 t 2 ) (t1 t 2 )c(0) e 1 P P c ( 0 ) ( t1 t 2 ) (t1 )(t 2 )c(0)
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( t1 t 2 )
f ( t ) 0, c1 (0)
k12 k21 k13 k21k13
d c1 ( t ) [( k21 )e t ( k21 )e t ] V1 ( ) c2 ( t ) dk12 (e t e t ) V2 ( )
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新标准
• 驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20 毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮 酒驾车
• 血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百 毫升为醉酒驾车
பைடு நூலகம்
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问题背景
• 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检 查时符合新的驾车标准 • 在吃晚饭时他又喝了一瓶啤酒，为了保险 起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，
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x1 (0) c(0) Px(0) P , x2 (0)
• 对应的齐次方程的通解为
t c ( t ) 1 e c(t ) P c2 (t ) c1 (0) (t ) c2 (0)
1 c1 (0) P c (0) t e 2
• 不需要更专业的计算机编程技术
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• 两房室模型(假设身体分成两部分) • 主要器官（主房室)
• 其他部分（周边室）
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模型假设
• 中心室和周边室酒精含量分别为 x1 (t ), x2 (t ) , 容积不变 • 酒精从体外进入中心室，在二室间相互转移, 从中心室排出体外
• 酒精在房室间转移速率及向体外排除速率，与该 室酒精浓度成正比
2 (t ) k12 x1 k21 x2 x
f ~ 给酒速率
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xi (t ) Vi ci (t ), i 1,2
V2 f (t ) c1 ( t ) ( k12 k13 )c1 V k21c2 V 1 1 c ( t ) V1 k c k c 2 12 1 21 2 V2
• 酒是在很短时间内喝的； • 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的
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• 问题3 怎样估计血液中的酒精含量在什 么时间最高
• 问题4 根据你的模型论证：如果天天 喝酒，是否还能开车 • 问题5 根据你做的模型并结合新的国 家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机 如何驾车提出忠告
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• 该题的特点 数据量不大，有该问题的类似 模型 • 问题的信息不完全，需要补充 • 没有用到太深的数学知识
常微分方程模型 全国大学生数学建模竞赛 2004年 D 题
1
赛题背景
• 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人 数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占 有相当的比例。
• 针对这种严重的道路交通情况，国家质量 监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的 《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值 与检验》国家标准。
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模型建立
f (t )
中心室
c1 (t ), x1 (t ) V1
k12
xi (t ) ~ 酒精量 ci (t ) ~ 酒精浓度 Vi ~ 房室容积 i 1, 2
给酒
k 21
周边室 c2 (t ), x2 (t )
V2
k13
排出
x1 (t ) k12 x1 k13 x1 k21x2 f (t )