常微分方程模型全国大学生数学建模竞赛2004年D题新版15
高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（四套ABCD）
高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（四套ABCD）当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个朋友;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老朋友重逢。
我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。
让我们一起到店铺一起学习吧!2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题 CT系统参数标定及成像CT(Computed T omography)可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。
一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。
X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。
对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。
CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品(称为模板)标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。
请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题：(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸收率”。
对应于该模板的接收信息见附件2。
请根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。
(2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。
利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。
另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附件4。
数学建模-赛题-微分方程竞赛试题
高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）A题 SARS的传播SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件2提供的数据供参考。
（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。
附件3提供的数据供参考。
（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。
附件1：SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测2003年5月8日在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。
前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。
在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。
希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。
1 模型与参数假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。
则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：N（t）= N0 (1+K)t如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。
全国大学生数学建模竞赛2004优秀论文：C、D题()
酒精在人体内的分布与排除优化模型
一、 问题的重述
国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精 含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克／百毫升，小于 80 毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于 100 毫克／百毫升），血液 中的酒精含量大于或等于 80 毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于 100 毫克／百 毫升）。
的驾车标准. 紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车
回家.检测时距晚饭喝的那瓶啤酒已过了八小时，其胃中酒精及体液中的酒精含 量分别为：
c18 20.9031 20毫克/百毫升（标准）；
x 0 8
5483.6(毫克）；
x1
8
8988.33(毫克）；
由浓度状态函数 c1(8) 20.9031 20毫克/百毫升（标准）可知，检查时被定 为饮酒驾车.
V——人体体液量和人体血液量；
酒精进入中心室的速率：
f0 t
D k e k01t 0 01
x1(t) ——中心室的酒精量；微分方程为：
x1'
t
k10 x1t x1t Vc1t
f
0
t
（9）
k10 ——酒精从中心室向体外排除的速率系数（由人体机能确定的常数）
由方程（9）得：
c1' t k10c1t
房室模型Ⅰ（在短时间内喝下酒精量为 D0 ） 在短时间内喝下酒精量为 D0 ，酒精进入胃，人体吸收酒精，然后排除出体外。吸收酒
精的过程相当于酒精进入体液（中心室）的过程，全过程可以简化为下图：
2015年全国大学生数学建模竞赛国家一等奖论文D题众筹筑屋规划方案设计模型
其中： 其他分摊到普通宅的比为普通宅的占地总面积与普通宅和非普通住宅的总面 积和的比值，得到普通宅分摊比可表达为：
LS P
N Ai Dij N Ai Dij N Ai Dij N
i 1 i i 4 i 3 i 1 8 i 11 11
3
A D11
Z ep Ni Ai Dij lS p Ni Ai Dij Z z p
i 1 i 9 3 10
非普通宅增值额 Z epf =非普通宅总售价 Z sjpf +其他宅分摊普通宅总售价 Z sjfpf -非普 通宅可扣除金额 Z zpf 即
Z epf Ni Ai Dij lS pf Ni Ai Dij N11 A11D11 Z zpf
1.7387 108 元。
针对问题三：通过对方案二的核算，得投资回报率为 23.49% 25% ，未达到可执行 要求 25%， 因此在问题二非线性规划的基础上增加回报率约束条件， 重新用 MATLAB 进行 计算，得调整后的方案：总套数为 2017 套，各房型套数为： 139，197，135，200，234 ，275，309 ，162，89，131，146 再次利用问题一的方法对上述调整方案进行全面核算得： 回报率为 25.01% ，容积率为 2.2791 2.28 核算结果满足全部要求，可以被执行。 上述非线性规划模型科学合理，计算精确可靠，符合建房要求和最大程序满足了众 筹者的意愿，具有较高的参考价值。
【关键词】 回报率
容积率 非线性规划
归一化处理
1
一、模型背景与问题的重述
1.1 模型的背景 众筹筑屋是互联网时代一种新型的房地产经营模式，由于其建筑设计阶段用大幅低 于市场价的优惠吸引用户参与众筹。 用户通过众筹筑屋平台对建筑方案提出自己的意见 并参与优化设计。因此，正确、及时的核算建房实际成本与收益、容积率和增值税等信 息尤为重要。从而不仅为众筹者提供满意的住房条件，而且还能为开发商提供科学的决 策依据一。 1.2 问题重述 在建房规划设计中，需考虑诸多因素，如容积率、开发成本、税率、预期收益等。 根据国家相关政策，不同房型的容积率、开发成本、开发费用等在核算上要求均不同， 结合国家相关条例政策和本题具体要求，建立数学模型分析研究解决下面的问题： 问题一 根据方案 I 相关数据计算成本与收益、容积率和增值税等信息。然后对其 建立模型对方案 I 进行全面的核算，帮助其公布相关信息。 问题二 通过对参筹者进行抽样调查，得到了参筹者对 11 种房型购买意愿的比例。 为了尽量满足参筹者的购买意愿，请你重新设计建设规划方案（称为方案Ⅱ），并对方 案 II 进行核算。 问题三 一般对于开发商而言， 只有投资回报率达到 25%以上的众筹项目才会被成功 执行。根据问题二所给出的众筹筑屋方案Ⅱ能否被成功执行，需要通过建立相应模型进 行具体分析说明。
全国大学生数学建模竞赛D题解析
汇报人：
CONTENTS
PRT ONE
PRT TWO
竞赛名称：全国大学生数学建模竞 赛
竞赛目的：培养大学生数学建模能 力提高解决实际问题的能力
添加标题
添加标题
竞赛级别：国家级
添加标题
添加标题
竞赛影响：促进大学生数学建模技 术的发展选拔优秀人才
竞赛起始于XXXX年 每年举办一次 参赛对象为全国大学生 竞赛目的是提高大学生数学建模能力和科技创新能力
组建合适的团队分工明确
制定详细的计划合理安排时间
充分准备所需的知识和技能
准备阶段：研究 题目收集资料建 立模型
实施阶段：编程 实现模拟实验优 化模型
总结阶段：撰写 论文整理思路提 炼经验
反思阶段：总结 得失分析原因改 进策略
赛题分析：对竞赛题目进行深入剖析明确解题思路和要点 经验教训：总结竞赛过程中遇到的问题和不足提出改进措施 团队协作：评估团队成员在竞赛中的表现和贡献提出优化建议 未来规划：根据竞赛经验和教训制定个人和团队未来的学习和发展计划
模型验证：通过对比实际数据和模型预测结果对模型的准确性和可靠性进行评估和改进
数据清洗：去除异常值、缺失值和重复值 数据筛选：根据需求筛选有效数据 数据转换：对数据进行必要的转换以适应分析需求 数据可视化：通过图表、图像等形式直观展示数据
确定问题类型和目 标函数
确定算法的输入和 输出
设计算法的流程图 和伪代码
培养团队协作精神 提升大学生数学应用能力
促进学科交叉融合
为国家和社会培养创新型人 才
PRT THREE
题目背景：全国大学生数学建模竞赛D题 题目要求：分析D题所涉及的数学建模方法和技巧 题目内容：对D题进行解析包括问题分析、模型建立、求解过程等 题目难度：对D题的难度进行评估并给出解题建议
2015年全国数学建模竞赛D题全国一等奖论文2
2
10
C1 s1 jn1 jc1 j s1 jn1 jc1 j
j 1
j 9
82062750 105913500 0.2531（54005850 29745450） 209173704 （元）
(3)普通住宅房地产开发费用=（土地使用权支付金额+房地产开发成本）*10%
结合方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和参考文献，最后对众筹筑屋规划方案提出一些对策和建议。
关键词：众筹筑屋；增值税；收益；投资回报率；Lingo
1
一、问题重述
2014 年以来房产众筹在中国如雨后春笋般出现，迅速铺开。从个人到房企、再到互联 网金融陆续参与进来，众筹概念从年初唱到年尾，并延续至 2015 年。随着房产众筹模式推 进，众筹筑屋也处于不断升级中，当下众筹筑屋带来的市场反应似乎已超出预期。众筹筑屋 是可以避免项目融资中由于国家和银行政策频繁变更造成的资金链断裂问题，为项目平稳运 作提供保障。众筹筑屋使购房人有机会在土地阶段就参与房产项目众筹，获得定制化服务与 更大的购房优惠空间。同时，房产开发商可以通过众筹大幅降低融资成本，并提前锁定了购 房客户，降低项目的销售风险与销售成本。众筹筑屋首先从Байду номын сангаас合众筹业务起步，会逐步形成 全面的互联网金融服务。“众筹筑屋”是一个开放式的第三方平台，是为整个房地产行业服 务，所有的房地产企业均可入驻，共同创造新常态下的房产新模式1。
则可以计算出其它房型归为非普通住宅的比为1 0.2531 0.7469 。
1、普通住宅增值税的有关核算
(1)普通住宅土地使用权支付金额= *取得土地支付金额
M1 0.2531777179627 196704164 （元）
(2)普通住宅房地产开发成本=允许扣除的普通住宅开发成本+ *其它住宅开发成本
【数学建模国赛获奖】2015年全国数学建模竞赛D题全国一等奖论文1
二 问题的分析
对于众筹筑屋规划方案的设计，需要考虑的因素很多，比如：房屋的建筑成 本、建筑容积率、所应缴纳的增值税等，这些信息都会影响到项目的最终回报。 同时，与其它房地产开发项目不同的是，这是一个“众筹资金”项目，项目成员的 满意比例和项目的投资回报率也会影响到项目资金筹集情况，直接关系到项目能 否顺利实施。因此，我们对本题提出的三个问题做出如下分析：
11
因此 总建筑面积 iaibi ，可得容积率 P 约为 2.275，符合国家标准。 i 1
5.1.2 方案Ⅰ的增值税税额 该方案Ⅰ增值税税额的计算，是整个问题中最复杂的部分，也关系到投资总
额和利益的计算。由《中华人民共和国土地增值税暂行条例》（附件 2）知，其 计算将遵循四级超率累进税率，与增值额和扣除项目金额两个因素有关。具体计 算分为以下几个步骤。 ⑴ “其他”住宅类型的转换
根据附件 1-1 的说明可知，在计算增值税时有两类核算模式，分别是普通住 宅计算模式和非普通住宅计算模式。因此，在正式计算以前，我们需要将“其他”
类型住宅按照已有普通宅和非普通宅建筑面积比，分摊后再计算。假设 s1 , s2 , s3
分别代表普通宅、非普通宅、其它类型住宅占总建筑面积的比例，经 C++编程计
关的税金为收入的 5.65%。因此，
Z4
3 i 1
ai bi di
10
0.253
i9
ai bi di
5.65%
。
⑤其他扣除项目 Z5 。按《实施细则》第七条得，该项可按取得土地使用权
数学模型及数学建模竞赛中的常微分方程模型
在一个资源有限(有限的食物、空间、水等等)的环境里发现天然存在的动 物群体. 试选择一种鱼类或哺乳动物(如北美矮种马、鹿、兔、鲑鱼、带条纹的 欧洲鲈鱼)以及一个你能获得适当数据的环境，并形成一个对该动物群体的捕获 量的最佳方针. 优秀论文与评述参看《工科数学》9:1(1993),35-39. (2) SUMCM90A 局部脑血流量侧定(注：S 为上海) [《工科数学》专辑 p25] 用放射性同位素测量大脑局部血流量的方法如下：由受试者吸入含某放射 性同位素的气体,然后将探测器置于受试者头部某固定处,定时测量该处的放射 性记数率,同时测量他呼出气的记数率.实验证明由脑血流引起局部地区计数率 下降的速度与当时该处的记数率成正比,其比例系数反映该处的脑血流量,被称 为脑血流量系数.已知某受试者的从 1.00 分至 10.00 分的测试数据 37 组(含时间, 头部记数率, 呼出气记数率).试建立确定血流系数的数学模型并计算上述受试 者的脑血流量系数.
某种鱼分 4 个年龄组, 各年龄组每条鱼平均重量( g )为 5.07,11.55,17.86, 22.99,自然死亡率均为 0.8(1/年).这种鱼季节性在每年最后 4 个月集中产卵繁 殖,平均 4 龄鱼产卵量为 1.109 × 105 个,3 龄鱼减半,1、2 龄鱼不产卵.卵孵化成活 为 1 龄鱼，成活率为 1.22 ×1011 /(1.22 × 1011 + n) ( n 为产卵数). 渔业部门规定，每年只允许在卵孵化期前的 8 个月内捕捞，使用只捕 3、4
2
(2) 物理现象产生的微分方程 (5) 控制系统
(4) 化学动力学 (7) 生命科学
ห้องสมุดไป่ตู้
(2) 物体冷却过程 (5) 放射性衰变
(3) 气体混合 (6) 草履虫群体增长
全国大学生数学建模大赛D题优秀论文（精）
会议筹备优化模型摘要能否成功举办一届全国性的大型会议，取决于会前的筹备工作是否到位。
本文为某会议筹备组，从经济、方便、满意度等方面，通过数学建模的方法制定了一个预订宾馆客房、租借会议室和租用客车的合理方案。
首先，通过对往届与会情况和本届住房信息有关数据的定量分析，预测到本届与会人数的均值是662人，波动范围在640至679之间。
拟预订各类客房475间。
其次，为便于管理、节省费用，所选宾馆应兼顾客房价位合适，宾馆数量少，距离近，租借的会议室集中等要素。
为此，依据附件4，借助EXCEL计算，得出7号宾馆为10个宾馆的中心。
然后，运用LINGO软件对选择宾馆和分配客房的0-1规划模型求解，得出分别在1、2、6、7、8号宾馆所预订的各类客房。
最后，建立租借会议室和客车的整数规划模型，求解结果为：某天上下午的会议，均在7、8号宾馆预订容纳人数分别为200、140、140、160、130、130人的6个会议室；租用45座客车2辆、33座客车2辆，客车在半天内须分别接送各两趟，行车路线见正文。
注：表中有下画线的数字，表示独住该类双人房间的个数。
关键词：均值综合满意度EXCEL 0-1规划LINGO软件1．问题的提出1.1基本情况某一会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议。
本着经济、方便和代表满意的原则，从备选10家宾馆中的地理位置、客房结构、会议室的规模（费用）等因素出发，同时，依据会议代表回执中的相关信息，初步确定代表总人数并预定宾馆和客房；会议期间在某一天上下午各安排6个分组会议，需合理分配和租借会议室；为保证代表按时参会，租用客车接送代表是必需的（现有45座、36座、33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元）。
1.2相关信息（见附录）附件1 10家备选宾馆的有关数据。
附件2 本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人）。
附件3 以往几届会议代表回执和与会情况。
附件4 宾馆平面分布图。
高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题
学生宿舍设计方案的评价摘 要本题是一个典型的对于多指标（或多因素）的对象进行综合测评问题，就是要通过建立合适的综合测评数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标作为一个恶综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。
针对本题，，我们进行研究并做了以下工作：1.由于在评价过程中，涉及到一些定性和定量的指标，使决策具有明显的模糊性和不确定性，因此我们应用模糊决策法和层次分析法进行综合评价。
2.经过对平面设计图的分析和整理，我们选择建设成本1P 、运行成本2P 、收费标准3P 、人均面积4P 、使用方便5P 、互不干扰6P 、采光和通风7P 、人员疏散8P 和防盗9P 作为评价要素。
3.对于定性的指标我们采用线性隶属度来确定指标评语集合特征值；对于定量的指标我们采用最大最优min max minij i ij i i x x y x x -=-和最小最优max max mini ij ij i i x x y x x -=-的原则确定指标的特征值。
4.利用层次分析求出评价因素指标的权重向量，在层次分析方法求权重的过程中，我们建立目标层、准则层和指标层三个层次，通过同一层目标之间的重要性的两两比较，得到判断矩阵，求出判断矩阵的特征向量，用方根法求出它们的最大特征根()max 1nii iPw nw λ==∑和特征向量()ij n nP p ⨯=，作为各指标相对上层指标的权重()121......T j n Q q q q ⨯=。
5.确定评价指标的特征值矩阵和评价指标的相对优属度矩阵，最后计算系统的综合评价判值。
6.结合模糊决策方法，我们将与宿舍有关的主要因素及其相对重要性进行量化，得到模糊关系矩阵Y ，从而得到宿舍设计方案的综合评价模型：121(,,)()()T m ij m n j n Z z z z Y Q y q ⨯⨯==⨯=⨯L 根据四种设计方案给出的数据，利用Matlab 对上述模型和算法进行实践求 解得到()0.21500.10750.10750.16770.16770.06450.03010.09380.0462Q = Z ()0.37430.40110.49400.5799T=。
2004年全国大学生数学建模试题
2004年全国大学生数学建模试题2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）B题电力市场的输电阻塞管理我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。
2003年3月国家电力监管委员会成立，2003年6月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电力市场试点的时间表，标志着电力市场化改革已经进入实质性阶段。
可以预计，随着我国用电紧张的缓解，电力市场化将进入新一轮的发展，这给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。
电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。
我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。
电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。
市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划――各发电机组的出力（发电功率）分配方案；在执行调度计划的过程中，还需实时调度承担AGC （自动发电控制）辅助服务的机组出力，以跟踪电网中实时变化的负荷。
设某电网有若干台发电机组和若干条主要线路，每条线路上的有功潮流（输电功率和方向）取决于电网结构和各发电机组的出力。
电网每条线路上的有功潮流的绝对值有一安全限值，限值还具有一定的相对安全裕度（即在应急情况下潮流绝对值可以超过限值的百分比的上限）。
如果各机组出力分配方案使某条线路上的有功潮流的绝对值超出限值，称为输电阻塞。
当发生输电阻塞时，需要研究如何制订既安全又经济的调度计划。
电力市场交易规则：1. 以15分钟为一个时段组织交易，每台机组在当前时段开始时刻前给出下一个时段的报价。
各机组将可用出力由低到高分成至多10段报价，每个段的长度称为段容量，每个段容量报一个价（称为段价），段价按段序数单调不减。
在最低技术出力以下的报价一般为负值，表示愿意付费维持发电以避免停机带来更大的损失。
2015全国大学生数学建模竞赛D题(专科组)
众筹筑屋规划方案设计摘要本题针对众筹筑屋规划问题，以容积率大小为指标，综合分析众筹屋建设方案表、核算相关数据、各种房型建设约束范围、参筹登记网民对各种房型的满意比例和相关说明，运用线性规划、检验法分别建立了收益最大化模型、检验方法模型，运用EXCEL、LINGO等数学软件得出了相应的各种房型的套数。
最后，我们从收益最大化的角度对方案II进行了评价，与方案I作对比得到了新方案更优的结论。
针对问题一，根据题目给出数据对开发成本、收益、容积率、增值税,建立数学模型。
1.成本=开发成本+土地支付的金额+税收成本（所有收入的5.56%）2.收益（L)=(各建筑每平米的售价-每各建筑平米开发成本)*各建筑建筑面积*各房屋套数-购地成本-税收3.容积率=总建筑面积/土地所有面积4.增值税将其他类型的房型根据普通和非普通房型面积比例分摊，再分类为普通宅和非普通宅分别计算增值额和扣除项目金额。
再由附件二得出数学模型增值额:iiiizpnez-=∑=1111分别计算普通房型和非普通房型的增值税，整合得出增值税。
针对问题二，根据所给房型的建设约束范围、参筹满意度比例等条件，确定各种房型的对应比例。
在考虑总成本即开发成本、扣除项目金额和地价最小的前提下运用线性规划思想，建立了收益最大化模型。
以容积率小于或等于2.28为条件，同时为了确定各种房型的建房套数和网民对各种房型的满意比例之间的对应关系，我们引入了0—1规划并运用LINGO数学软件分别对11个房型进行线性规划分析，从而得到11种房型的套数。
针对问题三，我们在问题一和问题二的基础上，首先，本文还对模型的误差进行了定性分析；利用lingo软件对问题二中的方案II进行了检验，恰当地对新的方案址进行了评价；最后对众筹筑房问题进行了推广。
本文建模思路清晰，观点独到，分析全面，特色分明。
关键词：众筹筑屋 0-1规划 LINGO EXCEL§1 问题的重述众筹筑屋是互联网时代一种新型的房地产形式。
全国大学生数学建模竞赛2004A题(22-55)
优秀论文选编A题之一（全国一等奖）奥运会临时超市网点设计广西师范大学，吴宗显、单俊辉、谭春亮；指导教师：数学建模组摘要：本文首先根据问卷调查数据计算观众出行、用餐和购物等方面的分布，分析各种分布的特点。
然后，根据观众出行、用餐分布，场馆分布情况和最短距离原则，测算出测算20个商区的人流量及其分布。
最后，根据商圈分析中零售引力法则（即里利法则）、哈夫概率模型、饱和理论，建立设计MS网点大小规模类型的数学模型。
在约定大规模MS网点的面积为1个单位的基础上，经过计算求解，得到小规模MS网点的面积为0.6个单位，并得出20个MS网点的设计方案，具体设计方案是：A区有2个大规模MS网点，分别设在A6小区和A1小区，其余8个小区均为小规模MS网点；B区有2个大规模MS网点，分别设在B6小区和B3小区，其余4个小区均为小规模MS网点；C区有1个大规模MS网点，设在C4小区，其余3个小区均为小规模MS网点。
奥运会临时超市网点设计一、问题的分析与基本假设（一）问题的分析题目要求完成如下工作：1、根据附录中给出的问卷调查数据，找出了观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律2、在一天内每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径前提下。
依据1的结果，测算图2中20个商区的人流量分布。
3、按照满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利的要求，根据流量分布规律，在有两种大小不同规模的MS类型供选择情况下，给出图2中20个商区内MS网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数）。
（二）基本假设1、假定A区（国家体育场）容量为10万人，B区（国家体育馆）容量为6万人，C区（国家游泳中心）容量为4万人。
三个场馆的每个看台容量均为1万人，出口对准一个商区，各商区面积相同。
2、无论乘坐何种交通工具的观众所持的票号是随机的。
二、问卷调查数据的统计与分布规律我们把附录中三次调查的数据综合起来并进行的统计和分析得出的观众在出行、用餐和购物等方面的规律如下：1、整个人群的各种行为的分布规律除私车方式偏少一些（仅有9.0377%）外，其余方式分布都比较均匀，均为16%－20%，这说明场馆周围布局的交通车站是比较合理的。
微分方程模型——数学建模真题解析
练习题： 1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本 书，而图书馆每周收回所借图书的10%。2年后， 这个教师手中有大约多少本图书馆的书？ 2、某学院的教育基金，最初投资P元，以后按利 率r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的时 间，都要投入新的资本A/年求7年的累计资金数 量。 另外，如果每年在基金开算的时间，把其中20% 用于奖学金的发放，求7年后累计资金数量。 3、一场降雪开始于中午前的某个时刻，降雪量稳 定。某人从正午12点开始清扫人行道，他的铲雪 速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他 扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什 么时间开始下的？另外，如果他在下午4点开始回 头清扫，什么时间回到开始清扫的地点？
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
2004年全国首届研究生数学建模优秀论文D题
2004年全国首届研究生数学建模优秀论文D题D 题-邓斌，李廷伟，王刚-二等奖全全国国首首届届部部分分高高校校研研究究生生数数模模竞竞赛赛题目(D 题)研究生录取问题摘要：本文将研究生录取问题和跟导师之间的双向选择问题分别转化成层次分析问题和线性规划中的0-1 规划问题。
首先利用层次分析法对进入复试的学生进行差额录取，再在所有可能的师生配对方案中找出使得总体满意度最大的一种方案，作为师生间的最佳配对方案，达到双向选择的目的。
对于满意度量化中各种权值的具体赋值，我们利用层次分析中权值矩阵的一致性检验法则进行了检验计算，使得每个最终配对方案的可信度达到最大。
在比较各个方案的总体满意度大小的基础上，我们提出了更能体现双向选择的录取方案。
关键词：集对分析层次分析法0-1 规划双向选择参赛队号063 参赛密码（由组委会填写）D 题-邓斌，李廷伟，王刚-二等奖一问题重述某学校Ｍ系计划招收10 名计划内研究生，依照有关规定由初试上线的前15 名学生参加复试，专家组由8 位专家组成。
在复试过程中，要求每位专家对每个参加复试学生的以上５个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为A,B,C,D 四个等级，并将其填入面试表内。
所有参加复试学生的初试成绩、各位专家对学生的５个方面专长的评分。
该系现有10 名导师拟招收研究生，分为四个研究方向。
导师的研究方向、专业学术水平（发表论文数、论文检索数、编（译）著作数、科研项目数），以及对学生的期望要求。
在这里导师和学生的基本情况都是公开的。
要解决的问题是：(1) 首先，请你综合考虑学生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门确定10 名研究生的录取名单。
然后，要求被录取的10 名研究生与10 名导师之间做双向选择，即学生可根据自己的专业发展意愿（依次申报２个专业志愿）、导师的基本情况和导师对学生的期望要求来选择导师；导师根据学生所报专业志愿、专家组对学生专长的评价和自己对学生的期望要求等来选择学生。
常微分方程模型全国大学生数学建模竞赛2004年D题新版15
• function E=twoexps(a,x,y) • x=[0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ]; • y=[38 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4]; • %twoexps.m • x=x(:);y=y(:);Y=a(1)*(exp(-a(2)*x)-exp(a(3)*x)); • E=sum((y-Y).^2);
f (t ) k , c1(0) c2 (0) 0
k t t B1e , 0 t T c1 ( t ) A1e k13V1 k12 k t t c ( t ) A e B e , 0 t T 2 2 2 k21k13V2 V1 ( k12 k13 ) V1 ( k12 k13 ) A1 , B2 B1 A2 k21V2 k21V2
其中，(t1 t2 ) (t1 )(t2 )
16
线性可加性
•
c(t1 t 2 ) (t1 t 2 )c(0) e 1 P P c ( 0 ) ( t1 t 2 ) (t1 )(t 2 )c(0)
17
( t1 t 2 )
x '(t ) x(t )
14
• 它对应的通解为
x1 (t ) ae
t
, x2 (t ) be
t
t x ( t ) 1 e x (t ) 2
x1 (0) t e x2 (0)
x1 (0) 1 P c(0) x (0) 2
2004年浙江省大学数学专业竞赛试题及解答
一． 计算题（每小题15分，满分60分） 1．计算：n →∞，其中a 为常数。
2．计算：2cos 2004xdx x x πππ+-+⎰。
3．求函数()22,415f x y x y y =++在(){}22,41x y x y Ω=+≤上的最大、小值。
4．计算：()3max ,Dxy x d σ⎰⎰，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。
二．（本题满分20分） 设()1tan 1x f x arc x -=+，求()0n f 。
三．（本题满分20分） 设椭圆22149x y +=在1,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭点的切线交y 轴于B 点，设l 为从A 到B 的直线段，试计算()sin cos ln 11l y dx y x dy x ⎛⎫⎡-+++- ⎪⎣+⎝⎭⎰。
四．（本题满分20分）已知函数()f x 在[]0,1上三阶可导，且()01f =-，()10f =，()00f '=，试证至少存在一点()0,1ξ∈，使()()()22113!x x f x x f ξ-'''=-++，()0,1x ∈。
五．（本题满分15分） 设函数()f x 在[]0,1上连续，证明：()()22112222002f x f x dx dx t x t t x π⎛⎫≤ ⎪++⎝⎭⎰⎰，()0t >。
六．（本题满分15分） 判别级数1n ∞=的敛散性，其中0α>为常数。
解答案 一、计算题1.计算n a 为常数.解：令{}2max 2,Ma =，则有M M ≤≤从而得n M =.2.计算2cos x dx x x a πππ+-+⎰，其中常数24a π>.解：记b =2tx π=-，则原式2222sin 4t dt t a ππππ--=+-⎰2222dt t bπππ-=+⎰22212dt t b ππ=+⎰ 2012arctan t bb ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2arctan 2b bππ=. 3． 求函数()22,415f x y x y y =++在(){}22,41x y xy Ω=+≤上的最大值、最小值.解:方法一 令1cos 2x r θ=，sin y r θ=，()01,02r θπ≤≤≤≤， 则()22,415f x y x y y =++22221cos 4sin 15sin 4r r r θθθ=++22215sin 15sin 44r r r θθ=++()22152sin 1544r r θ=++-，因0r≥，故当2πθ=时，取得最大值；2πθ=-时，取得最小值.易见，当1,2r πθ==时，(),f x y 取得最大值19； 当1,2r πθ==-时，(),f x y 取得最小值11- .方法二2f x x ∂=∂，222fx∂=∂， 815fy y∂=+∂，228f y ∂=∂，20f x y ∂=∂∂； (),f x y 在Ω内部无驻点，(),f x y 在Ω内部无极值，(),f x y 的最大值、最小值在∂Ω上达到.()()22,41L f x y x y λ=++-，280Lx x xλ∂=+=∂， 81520Ly y yλ∂=++=∂， 22410x y +-=，0x =，1582y λ=-+ 2151082λ⎛⎫--= ⎪+⎝⎭， ()228215λ+=；8215λ+=或者8215λ+=-得到可能的极值点为()()0,1,0,1-;于是由此，可知()max 0,119f f ==，()min 0,111f f =-=- .或者 在Ω的边界上，()()()222115,421544f x y x y y =+++-()211521544y =++- ， 11y -≤≤; 由此，可知()max 0,119f f ==，()min 0,111f f =-=-.4 计算()3max ,Dxy x d σ⎰⎰，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。
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其中，(t1 t2 ) (t1 )(t2 )
16
线性可加性
•
c(t1 t 2 ) (t1 t 2 )c(0) e 1 P P c ( 0 ) ( t1 t 2 ) (t1 )(t 2 )c(0)
17
( t1 t 2 )
f (t ) k , c1(0) c2 (0) 0
k t t B1e , 0 t T c1 ( t ) A1e k13V1 k12 k t t c ( t ) A e B e , 0 t T 2 2 2 k21k13V2 V1 ( k12 k13 ) V1 ( k12 k13 ) A1 , B2 B1 A2 k21V2 k21V2
f ( t ) 0, c1 (0)
k12 k21 k13 k21k13
d c1 ( t ) [( k21 )e t ( k21 )e t ] V1 ( ) c2 ( t ) dk12 (e t e t ) V2 ( )
10
模型建立
f (t )
中心室
c1 (t ), x1 (t ) V1
k12
xi (t ) ~ 酒精量 ci (t ) ~ 酒精浓度 Vi ~ 房室容积 i 1, 2
给酒
k 21
周边室 c2 (t ), x2 (t )
V2
k13
排出
x1 (t ) k12 x1 k13 x1 k21x2 f (t )
• 为什么喝样多的酒，两次检查结果会不 一样呢？
4
需要解决的问题
• 参考下面给出的数据（百毫克、百毫升） （或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精 含量的数学模型，并讨论以下问题：
5
问题1 对大李碰到的情况做出解释
• 问题2 喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后 多长时间内驾车就会违反上述标准，请下 列情况下回答该问题：
• 酒是在很短时间内喝的； • 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的
6
• 问题3 怎样估计血液中的酒精含量在什 么时间最高
• 问题4 根据你的模型论证：如果天天 喝酒，是否还能开车 • 问题5 根据你做的模型并结合新的国 家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机 如何驾车提出忠告
7
• 该题的特点 数据量不大，有该问题的类似 模型 • 问题的信息不完全，需要补充 • 没有用到太深的数学知识
对应齐次方程通解
c1 (t ) A1e B1e t t c2 (t ) A2 e B2 e
t t
k12 k 21 k13 k 21 k13
18
不同的饮酒方式
1.快速饮酒
d , c2 (0) 0 V1
t=0 瞬时酒进入中心室, 酒精浓度为 d/V1
2 (t ) k12 x1 k21 x2 x
f ~ 给酒速率
11
xi (t ) Vi ci (t ), i 1,2
V2 f (t ) c1 ( t ) ( k12 k13 )c1 V k21c2 V 1 1 c ( t ) V1 k c k c 2 12 1 21 2 V2
线性常系数非齐次微分方程组
12
•
c '1 (t ) f (t ) / V1 c '(t ) Ac(t ) 0 c '2 (t )
P AP 0
1
0
13
• 作变量替换
x1 (t ) c(t ) Px(t ) P x2 (t )
lim c( t ) 0
t
19
2.恒速饮酒
0 t T 酒以恒定速率k
进入中心室
V2 f (t ) c ( t ) ( k k ) c k c 12 13 1 21 2 1 V1 V1 c ( t ) V1 k c k c 2 12 1 21 2 V 2
x '(t ) x(t )
14
• 它对应的通解为
x1 (t ) ae
t
, x2 (t ) be
t
t x ( t ) 1 e x (t ) 2
x1 (0) t e x2 (0)
x1 (0) 1 P c(0) x (0) 2
2
新标准
• 驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20 毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮 酒驾车
• 血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百 毫升为醉酒驾车
3
问题背景
• 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检 查时符合新的驾车标准 • 在吃晚饭时他又喝了一瓶啤酒，为了保险 起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，
• 不需要更专业的计算机编程技术
8
• 两房室模型(假设身体分成两部分) • 主要器官（主房室)
• 其他部分（周边室）
9
模型假设
• 中心室和周边室酒精含量分别为 x1 (t ), x2 (t ) , 容积不变 • 酒精从体外进入中心室，在二室间相互转移, 从中心室排出体外
• 酒精在房室间转移速率及向体外排除速率，与该 室酒精浓度成正比
常微分方程模型 全国大学生数学建模竞赛 2004年 D 题
1
赛题背景
• 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人 数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占 有相当的比例。
• 针对这种严重的道路交通情况，国家质量 监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的 《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值 与检验》国家标准。
15
x1 (0) c(0) Px(0) P , x2 (0)
• 对应的齐次方程的通解为
t c ( t ) 1 e c(t ) P c2 (t ) c1 (0) (t ) c2 (0)
1 c1 (0) P c (0) t e 2