郑州市外国语新枫杨学校数学整式的乘法与因式分解章末练习卷(Word版 含解析)
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（4）4个一组提取公因式，整体代入即可.
【详解】
（1） ， ，
（2） 对一切实数 均成立，
，
（3） ，
解得
（4） ，
故答案为：−5；9； ；0.
【点睛】
本题主要考察幂的运算及整式的乘法，掌握其运算法则是关键.
14．我国宋朝数学家杨辉在他的著作 详解九章算法 中提出“杨辉三角” 如图 ，此图揭示了 为非负整数 展开式的项数及各项系数的有关规律．
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．
故选C．
8．下面四个代数式中，不能表示图中阴影部分面积的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得 、 、 ，分别可列式，列出可得答案.
【详解】
解：依图可得，阴影部分的面积可以有三种表示方式：
；
；
.
故选：B.
【详解】
根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，
∵1=20
1+1=21
1+2+1=22
1+3+3+1=23
∴（a+b）n各项系数的和等于2n
故答案为n+1，2n
【点睛】
本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．
郑州市外国语新枫杨学校数学整式的乘法与因式分解章末练习卷（Word版 含解析）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．将多项式 加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( )
A． B．±4xC． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分x2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.
11．设 是一列正整数，其中 表示第一个数， 表示第二个数，依此类推， 表示第 个数( 是正整数)，已知 ， ，则 ___________.
【答案】4035
【解析】
【分析】 整理得 ，从而可得an+1-an=2或an=-an+1，再根据题意进行取舍后即可求得an的表达式，继而可得a2018.
【详解】∵ ，
=a（2x+y）（2x-y），
故答案为a（2x+y）（2x-y）．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
A．a2+2ab+b2=（a+b）2
B．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2
C．4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2
D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
【答】C
【解析】
【分析】
根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．
【详解】
∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，
例如： ，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； ，
则 的展开式共有______项，系数和为______．
【答案】
【解析】
【分析】
本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和．因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和即可．
所以 =102x÷103y=102x-3y=102=100.
故答案为100.
【点睛】
此题主要考查了幂的乘方和同底数幂相除，解题关键是根据幂的乘方和同底数幂相除的性质的逆运算变形，然后整体代入即可求解.
13．（1）已知 ， ，则 ______．
（2）对于一切实数 ，等式 均成立，则 的值为______．
B.底数不变指数相乘，故B错误；
C.系数相加字母部分不变，故C错误；
D.两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D正确；
故选D.
【点睛】
本题考查了平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法的运算.
二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）
2．若 的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．1B．-1C．2D．-2．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据多项式相乘展开可计算出结果.
【详解】
=x2+(m-1)x-m，而计算结果不含x项，则m-1=0，得m=1.
【点睛】
本题考查多项式相乘展开系数问题.
3．下列分解因式正确的是
A． B．
C． D．
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
5．规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（）
A．0B．2aC．2bD．2ab
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵a*b=ab+a+b
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式及整式的加减，关键是熟练掌握图形面积的求法，还有本题中利用割补法来求阴影部分的面积，这是一种在初中阶段求面积常用的方法，需要熟练掌握.
9．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a12÷a3=a4B．（3a2）3=9a6
C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2D．2a•3a=6a2
【解析】
【分析】
利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．
【详解】
矩形的面积为：
（a+4）2-（a+1）2
=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）
=a2+8a+16-a2-2a-1
=6a+15．
故选D．
7．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）
15．分解因式 ___________
【答案】
【解析】
根据因式分解的方法，先提公因式-3y，再根据完全平方公式分解因式为： .
故答案为 .
16．－3x2＋2x－1＝____________＝－3x2＋_________.
【答案】－(3x2－2x＋1)(2x－1)
【解析】根据提公因式的要求，先提取负号，可得－(3x2－2x＋1)，再把2x-1看做一个整体去括号即可得（2x-1）.
（3）已知多项式 可以分解为 的形式，则 的值是______．
（4）如果 ，则 ______．
【答案】（1） ;（2）9;（3） ;（4）0.
【解析】
【分析】
（1）根据积的乘方和幂的乘方，将 整体代入即可；
（2）将等式后面部分展开，即可求出p、q的值，代入即可；
（3）根据多项式乘法法则求出 ，即可得到关于m、n的方程组，解之即可求得m、n、的值，代入计算即可；
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出an+1-an=2.
12．已知 ，则 ＝_______．
【答案】100
【解析】
【分析】
根据题意可得2x-3y=2，然后根据幂的乘方和同底数幂相除，底数不变，指数相减即可求得答案.
【详解】
由已知可得2x-3y=2，
则m2+ =7，
故答案为：7
点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
20．分解因式：4ax2-ay2=________________.
【答案】a（2x+y）（2x-y）
【解析】
【分析】
首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
【详解】
原式=a（4x2-y2）
∴a*（﹣b）+a*b
=a（﹣b）+a -b+ab+a+b
=﹣ab+a -b+ab+a+b
=2a
故选B．
考点：整式的混合运算．
6．如图，从边长为( )cm的正方形纸片中剪去一个边长为（ ）cm的正方形（ ），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【答案】B
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A、x2-x+2=x（x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；
B、x2-x=x（x-1），故选项正确；
C、x-1=x（1- ），不是分解因式，故选项错误；
D、（x-1）2=x2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．
【详解】∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0，
故答案为0．
【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．
19．若m+ =3，则m2+ =_____．
【答案】7
【解析】
分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．
详解：把m+ =3两边平方得：（m+ ）2=m2+ +2=9，
【详解】
解：①当x2是平方项时，4士4x+x²=（2士x）2，则可添加的项是4x或一4x；
②当x2是乘积二倍项时，4+ x2+ =（2+ ）2，则可添加的项是 ；
③若为单项式，则可加上-4.
故选：D.
【点睛】
本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.
【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．
10．下列运算中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法，可判断A和B，根据合并同类项，可判断C，根据平方差公式，可判断D．
【详解】
A.底数不变指数相加，故A错误；
∴ ，
∴ ，
∴an+1=an+1-1或an+1=-an+1+1，
∴an+1-an=2或an=-an+1，
又∵ 是一列正整数，
∴an=-an+1不符合题意，舍去，
∴an+1-an=2，
又∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，……，an=2n-1，
∴a2018=2×2018-1=4035，
故答案为4035.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得.
【详解】A、原式=a9，故A选项错误，不符合题意；
B、原式=27a6，故B选项错误，不符合题意；
C、原式=a2﹣2ab+b2，故C选项错误，不符合题意；
D、原式=6a2，故D选项正确，符合题意，
故选D．
故答案为：－(3x2－2x＋1)，(2x－1).
17．计算： ___________．
【答案】
【解析】
根据整式的除法—多项式除以单项式，可知： 8a5÷2a2-6a3÷2a2= .
故答案为： .
18．若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．
【答案】0
【解析】
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据因式分解的方法（提公因式法，运用公式法），逐个进行分析即可.
【详解】
A. ，分解因式不正确；
B. ，分解因式不正确；
C. ，分解因式正确；
D. 2，分解因式不正确.
故选：C
【点睛】
本题考核知识点：因式分解.解题关键点：掌握因式分解的方法.
4．下列分解因式正确的是（ ）
A．x2-x+2=x（x-1）+2B．x2-x=x（x-1）C．x-1=x（1- ）D．（x-1）2=x2-2x+1
【详解】
（1） ， ，
（2） 对一切实数 均成立，
，
（3） ，
解得
（4） ，
故答案为：−5；9； ；0.
【点睛】
本题主要考察幂的运算及整式的乘法，掌握其运算法则是关键.
14．我国宋朝数学家杨辉在他的著作 详解九章算法 中提出“杨辉三角” 如图 ，此图揭示了 为非负整数 展开式的项数及各项系数的有关规律．
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．
故选C．
8．下面四个代数式中，不能表示图中阴影部分面积的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得 、 、 ，分别可列式，列出可得答案.
【详解】
解：依图可得，阴影部分的面积可以有三种表示方式：
；
；
.
故选：B.
【详解】
根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，
∵1=20
1+1=21
1+2+1=22
1+3+3+1=23
∴（a+b）n各项系数的和等于2n
故答案为n+1，2n
【点睛】
本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．
郑州市外国语新枫杨学校数学整式的乘法与因式分解章末练习卷（Word版 含解析）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．将多项式 加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( )
A． B．±4xC． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分x2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.
11．设 是一列正整数，其中 表示第一个数， 表示第二个数，依此类推， 表示第 个数( 是正整数)，已知 ， ，则 ___________.
【答案】4035
【解析】
【分析】 整理得 ，从而可得an+1-an=2或an=-an+1，再根据题意进行取舍后即可求得an的表达式，继而可得a2018.
【详解】∵ ，
=a（2x+y）（2x-y），
故答案为a（2x+y）（2x-y）．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
A．a2+2ab+b2=（a+b）2
B．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2
C．4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2
D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
【答】C
【解析】
【分析】
根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．
【详解】
∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，
例如： ，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； ，
则 的展开式共有______项，系数和为______．
【答案】
【解析】
【分析】
本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和．因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和即可．
所以 =102x÷103y=102x-3y=102=100.
故答案为100.
【点睛】
此题主要考查了幂的乘方和同底数幂相除，解题关键是根据幂的乘方和同底数幂相除的性质的逆运算变形，然后整体代入即可求解.
13．（1）已知 ， ，则 ______．
（2）对于一切实数 ，等式 均成立，则 的值为______．
B.底数不变指数相乘，故B错误；
C.系数相加字母部分不变，故C错误；
D.两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D正确；
故选D.
【点睛】
本题考查了平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握平方差公式、合并同类项以及同底数幂的乘法的运算.
二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）
2．若 的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．1B．-1C．2D．-2．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据多项式相乘展开可计算出结果.
【详解】
=x2+(m-1)x-m，而计算结果不含x项，则m-1=0，得m=1.
【点睛】
本题考查多项式相乘展开系数问题.
3．下列分解因式正确的是
A． B．
C． D．
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
5．规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（）
A．0B．2aC．2bD．2ab
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵a*b=ab+a+b
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式及整式的加减，关键是熟练掌握图形面积的求法，还有本题中利用割补法来求阴影部分的面积，这是一种在初中阶段求面积常用的方法，需要熟练掌握.
9．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a12÷a3=a4B．（3a2）3=9a6
C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2D．2a•3a=6a2
【解析】
【分析】
利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．
【详解】
矩形的面积为：
（a+4）2-（a+1）2
=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）
=a2+8a+16-a2-2a-1
=6a+15．
故选D．
7．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）
15．分解因式 ___________
【答案】
【解析】
根据因式分解的方法，先提公因式-3y，再根据完全平方公式分解因式为： .
故答案为 .
16．－3x2＋2x－1＝____________＝－3x2＋_________.
【答案】－(3x2－2x＋1)(2x－1)
【解析】根据提公因式的要求，先提取负号，可得－(3x2－2x＋1)，再把2x-1看做一个整体去括号即可得（2x-1）.
（3）已知多项式 可以分解为 的形式，则 的值是______．
（4）如果 ，则 ______．
【答案】（1） ;（2）9;（3） ;（4）0.
【解析】
【分析】
（1）根据积的乘方和幂的乘方，将 整体代入即可；
（2）将等式后面部分展开，即可求出p、q的值，代入即可；
（3）根据多项式乘法法则求出 ，即可得到关于m、n的方程组，解之即可求得m、n、的值，代入计算即可；
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出an+1-an=2.
12．已知 ，则 ＝_______．
【答案】100
【解析】
【分析】
根据题意可得2x-3y=2，然后根据幂的乘方和同底数幂相除，底数不变，指数相减即可求得答案.
【详解】
由已知可得2x-3y=2，
则m2+ =7，
故答案为：7
点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
20．分解因式：4ax2-ay2=________________.
【答案】a（2x+y）（2x-y）
【解析】
【分析】
首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
【详解】
原式=a（4x2-y2）
∴a*（﹣b）+a*b
=a（﹣b）+a -b+ab+a+b
=﹣ab+a -b+ab+a+b
=2a
故选B．
考点：整式的混合运算．
6．如图，从边长为( )cm的正方形纸片中剪去一个边长为（ ）cm的正方形（ ），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【答案】B
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A、x2-x+2=x（x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；
B、x2-x=x（x-1），故选项正确；
C、x-1=x（1- ），不是分解因式，故选项错误；
D、（x-1）2=x2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．
【详解】∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0，
故答案为0．
【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．
19．若m+ =3，则m2+ =_____．
【答案】7
【解析】
分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．
详解：把m+ =3两边平方得：（m+ ）2=m2+ +2=9，
【详解】
解：①当x2是平方项时，4士4x+x²=（2士x）2，则可添加的项是4x或一4x；
②当x2是乘积二倍项时，4+ x2+ =（2+ ）2，则可添加的项是 ；
③若为单项式，则可加上-4.
故选：D.
【点睛】
本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.
【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解本题的关键．
10．下列运算中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法，可判断A和B，根据合并同类项，可判断C，根据平方差公式，可判断D．
【详解】
A.底数不变指数相加，故A错误；
∴ ，
∴ ，
∴an+1=an+1-1或an+1=-an+1+1，
∴an+1-an=2或an=-an+1，
又∵ 是一列正整数，
∴an=-an+1不符合题意，舍去，
∴an+1-an=2，
又∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，……，an=2n-1，
∴a2018=2×2018-1=4035，
故答案为4035.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的法则逐项计算即可得.
【详解】A、原式=a9，故A选项错误，不符合题意；
B、原式=27a6，故B选项错误，不符合题意；
C、原式=a2﹣2ab+b2，故C选项错误，不符合题意；
D、原式=6a2，故D选项正确，符合题意，
故选D．
故答案为：－(3x2－2x＋1)，(2x－1).
17．计算： ___________．
【答案】
【解析】
根据整式的除法—多项式除以单项式，可知： 8a5÷2a2-6a3÷2a2= .
故答案为： .
18．若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．
【答案】0
【解析】
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据因式分解的方法（提公因式法，运用公式法），逐个进行分析即可.
【详解】
A. ，分解因式不正确；
B. ，分解因式不正确；
C. ，分解因式正确；
D. 2，分解因式不正确.
故选：C
【点睛】
本题考核知识点：因式分解.解题关键点：掌握因式分解的方法.
4．下列分解因式正确的是（ ）
A．x2-x+2=x（x-1）+2B．x2-x=x（x-1）C．x-1=x（1- ）D．（x-1）2=x2-2x+1