微分方程的基本概念ppt课件

解 令 xyu, 则d xyux,d y du 1，于是
d u 1 u, dx
即
dx du
u1 dx
dx
分离变量得 1 d u d x
u1
积分得 ln (u1 )xlnC .
将 uxy代入上面式子得：ln (xy1)xlnC
或yCexx1
注意：形如 yf(ax b)y(b0)的方程可用uaxby
这种解法叫分离变量法
分离变量法步骤: 1.分离变量;
2.两端积分-------隐式通解.
.
11
例1. 求微分方程 dy 3x2 y 的通解.
dx
解: 分离变量得 dy 3x2 dx 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
两边积分 dyy 3x2 dx
得 lnyx3C1
或
变形, 因此可能增、 减解.
( 3 )求此可分离变量方程的解，并回代 u y .
x
.
16
例1 求解微分方程 y2x2dyxydy.
解
原方程可变为：d
y
( y ) 2 dx
x
dx
dx y1
令 u y ，则 yx u,xyxuu，
x
xu u
u2
即 xu u
u1
u1
(1 1)du d x u ln u ln x ln C
dx
如：y2x2dyxydy dx dx
x
dd dd
yy xx
(
y x
y) 22
xyy1x2
d x x ( x )2 dy y y
x
(2)解法: -----变量代换法
(1)令 u y x
即
yxu,则
dy uxdu, dx dx
( 2 )代入原方程得：uxdu(u),即 du(u)u.
dx
dx x
例2. 解初值问题 y(0) 1
解: 分离变量得
dy x y 1 x2 dx
两边积分得 llnnyylnln 11 llnn CC xx2211
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为 y x2 1 1
.
13
例3. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
即
yex3C1 eC1ex3 lnyx3lnC
令CeC1
y Cex3
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
.
12
注意: 1.y0也是原,叫 方“ 程.以 奇 的后 解不 ” . 2 .ln y 写 为 ln y ,但 结 果 的 形 式 不 变 . 3.C1也可以 lnC 写 (C为 成任意 ). 常数 xydx(x21)dy0
利用初始条件易得: C1 A , Cx 2 0C ,1 k s in k t C 2 k c o sk t 故所求特解为 xAcoskt
问 ： x C c o s k t 是 方 程 的 解 吗 ？ 是 什 么 解 ？ ( C 为 常 数 )
.
9
第二节 一阶微分方程
1.可分离变量的微分方程
( 1 ) 定 义 ： 形 如 d y f(x )g (y )的 方 程 叫 可 分 离 变 量 的 方 程 . d x
dy y
y
.
23
备用题 设曲线y f(x)过原点及点(2,3)，且f(x)
为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任
取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线
与x轴和曲线y f(x)围成的面积是另一条平 行线与y轴和曲线y f(x)围成的面积的两
倍，求曲线方程.
y
备用题解答：如图 S2 2S1
x
QS2 0 f(x)dx x
如 ：d y 2 x dx
，d 2 s d t2
0 .4
， y2yy0
.
5
三、微分方程的主要问题-----求方程的解
1.微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 设 y (x )在I 区 上 n 阶 间 有,导数 F ( x , ( x ) ( ,x ) , ( n ) ( x ) ) 0 .
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程
的阶数相同. 特解 — 通解中的任意常数被确定后的解.
引例1
dy dx
2x
y x12
引例2
d2y dx2
0.4
st00,
ds dt
t0 20
通解: yx2 C
特解: yx2 1
s 0 .2t2C 1 tC 2
s0.2t220 t
.
6
2.定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): y ( x 0 ) y 0 ,y ( x 0 ) y 0 , L ,y ( n 1 ) ( x 0 ) y 0 ( n 1 )
dy 2x
①
dx
y x12
②
由 ① 得 y2xdx x2C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1 .
.
3
引例2. 列车在平直路上以 20m s的速度行驶, 制动时
获得加速度 a0.4ms2,求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
S1 S2
S1xyS2xy0f(x)dx o
yf(x)
P(x, y)
x
x
x
x
0f(x)d x2[xy0f(x)d x]30 f(x)dx2xy,
.
24
x
30 f(x)dx2xy,
y
两边同时对 x求导
S1
3 f(x ) 2 y 2 x y 2xyy o S 2
2 x dy y 2 dy 1 dx
dy
dy
1
dy
u2 du y
1 lnylnC 即 1 l n C y
u
u
微分方程的解为
y
ln
Cy
即C y
e
y x
.
x
.
18
例2. 解微分方程(y22xy)d xx 2d y0.
解: 方 程 变 形 为dy2y y2,
dx x x
令 u y 则有 uxu2uu2 x
分离变量
du u2 u
x
y
即 F xco xF ssixn F yysixn Fsixn
Fx y tanx
y
Fy
因此有
yytaxn yx0 1
y 1 , cos x
即y secx
.
21
内容小结
1. 微分方程的概念
微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (xy)y0有解
dx
yx
积分得: y 2 Cx ,
因 为 曲 线 y f ( x ) 过 点 ( 2 , 3 ) C 9
y2 9 x, 2
2
因为 f ( x)为单调函数
所以所求曲线为:
y 3 2x. 2
.
yf(x)
P(x, y)
x
25
思考题
若 连 续 函 数 f(x ) 满 足 ， f(x )2 xf(t) d t ln 2 求 f(x ) .
dx x
即 1 1dudx
u1 u
x
积分得 ln (u 1 ) ln u ln x ln C 即 x ( u 1) C
u
代回原变量得通解 x(yx)Cy (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
求解过程中丢失了.
.
19
dy
例3 求解微分方程 x y.
02
分 析 ： 这 类 方 程 叫 积 分 方 程 ， 其 解 法 是 化 为 微 分 方 程 .
解 两边同时对 x求导 f(x)=2f(x)
记f(x)=y 则 d y = 2 y dx
d y =2d x lny2xlnCyCe2x y
由 原 方 程 知 f(0 )ln2Cln2
f(x)e2xln2
y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 .
2. 可分离变量方程的求解方法:
分离变量法步骤: 1.分离变量;
2.两端积分-------隐式通解.
.
22
3.齐次方程 形如 dy ( y)的微分方程
dx x 解法：作变量代换 u y , 即 y xu.
x
若 d x (x) 令 u x .
即
(exC)ey10 ( C < 0 )
解法 2 令 uxy,则 u1y
故有
u1eu
du 1 eu
dx
两边积分
du
1eu
xC
uln (1eu)xC
(1eu)eu
1eu
du
所求通解: ln (1exy)yC( C 为任意常数 )
.
15
2.齐次微分方程
(1)定义：形如 d y ( y ) 的方程叫做齐次方程 .
由已知得
d2 s dt2
0.4
ds
st00,dt
t
0 20
由前一式两次积分, 可得 s0 .2t2 C 1t C 2 利用后两式可得 C 12,0 C 20
因此所求运动规律为 s0.2t220t
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
.
4
二、微分方程的基本概念
代换，将其化为可分离变量的方程.
.
20
例4 已知曲线积分L F (x ,y )[y sx id x n cx o d y ]s
与路径无关, 其中 F C 1,F(0,1)0,求由 F(x,y)0
确定的隐函数 yf(x).
解: 因积分与路径无关 , 故有
[ F (x ,y)co x] s[F (x ,y)ysix]n
引例1
通解: 特解:
dy dx
2x
y x12
引例2
yx2 C
yx2 1
d2y dx2
0.4
st00,
ds dt
t0 20
s 0 .2t2C 1 tC 2
s0.2t220 t
.
8
例1. 验证函数
是微分方程
d2 dt
x
2
x C 1c o sk t C 2sin k t(C1,C2为常数) k 2 x 0 的解, 并求满足初始条件
第十章 微分方程
.
1
第十章 微分方程
已y知 f(x),求 y— 积分问题
推广
已知含y及其若干阶导数的 , 求方y 程 — 微分方程问题
.
2
一、引例
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
1.微分方程：含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
实质：联系自变量，未知函数及其导数的式子 . 区别：与以往学习的代数方程的区别是：代数方程是含 未知数的等式，微分方程是含未知函数及其导数的等式 .
分类 常微分方程：所含未知函数是一元函数. 偏微分方程
注：本章只讨论常微分方程
2.微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数 叫做微分方程的阶.
解: 如图所示,设所求曲线的方程为y=f(x).
则点 P(x, y) 处的法线方程为
Y y 1 (X x)
y
y
P
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
Xxyy
Q o xx
xyyx,即 yy2x0
.
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练习: 求方程dyexy的通解. dx
解法 1 分离变量 eydyexdx
两边积分得 eyexC
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
yf(x,y,y) yxx0 y0,yxx0 y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
.
7
3.解的几何意义 解: 积分曲线. 特解: 微分方程的一条积分曲线. 通解: 积分曲线族.
u
xy
即 ulnCux ln Cy
xy
故微分方程的解为 C y e x .
.
17
例1 求解微分方程 y2x2dyxydy. dx dx
另解 原方程可变为：d x x ( x )2 dy y y
令u
x ，则 xuy, y
dxyduu， dy dy
y du u u u2 即 y d u u 2
x
t0
A, dx dt
t
0 0
的特解
.
解:
d2x d t2
[ C 1 k sin k t C 2 k c o sk t]tC1k2coskt C2k2sinkt
k2(C 1sin ktC 2co skt) k2 x
这说明 xC 1co sktC 2sin kt 是方程的解 .
C 1 , C 2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
Baidu Nhomakorabea
.
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例如dy 2x2dx dy 2x2 y
y
dx
两边积分, 得
ln y 2 x3 C
y
eC
2x3
e3
3
.
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(2)解法：1.分离变量: g(y)dyf(x)dx
2.两边积分 g(y)dyf(x)dx
设函数G( y)和F(x)是依次为 g( y)和 f (x)的原 函数, G(y)F(x)C为微分方程的解.