李永建-一道国考题的“青蛙爬井”解法

一道国考题的“青蛙爬井”解法

武汉分院李永建

青蛙爬井问题是数学运算里一类典型的题型。下面我们通过一个简单的例题来回忆一下这种题型。

【例1】一只青蛙掉入20米深的井中，它白天往上爬5米，晚上往下掉3米，问这只青蛙需要多少天才能爬出来？（）

A.7

B.8

C.9

D.10

【答案】C

【解析】解法一：直接套用过河问题公式

在宝典中，过河问题和青蛙爬井问题是放在一起的，因为两者有共同点。在过河问题中，分子分母都要减去返回开船的人数；在青蛙爬井问题中，分子和分母都要减去每天倒回的距离。两者相同点显而易见，就是两者都有一个返回的量。

因此，在本题中，所需要的天数＝（20－3）÷（5－3）＝8.5（天），每天中前半天是向上爬的而不是下落的。因此，本题选项为C。

方法二：青蛙爬井问题解法

对于青蛙爬井问题，大家都知道最后一天白天是直接爬上去而不会向下落的。所以先把最后一天要爬行的距离给去除掉。我们可以看作（N－1）天向上爬（20－5）＝15米。在这前（N－1）天中，每天都是爬5米降3米，即每天爬2米。所以，所需天数为（20－5）÷（5－3）＋1＝8.5（天）。因此，本题选项为C。

接下来我们看一下这道“间歇运动”的国考题能不能用青蛙爬井来解决呢？

【例】甲乙两人计划从A地步行去B地，乙早上7：00出发，匀速步行前往，甲因事耽搁，9：00才出发。为了追上乙，甲决定跑步前进，跑步的速度是乙步行速度的2.5倍，但每跑半小时都需要休息半小时，那么甲什么时候才能追上乙？

A.10:20

B.12:00

C.14:30

D.16:10

【答案】C

【解析】本题可以用列表法和代入排除法解决，但也可以用“青蛙爬井”方法解决。由题知，甲跑步的速度是已步行速度的2.5倍，因此我们可以把甲的速度赋值为5，乙的速度赋值为2。在早晨9：00的时候，两人相距为4。甲每小时跑半小时，休息半小时，相当于

每小时跑2.5，而乙每小时的速度为2。前半小时，甲的速度为2.5，乙的速度为1，因此前半小时相当于追上了1.5，而后半小时甲停止，乙又走了1，也就相当于拉开1。也就是说，甲前半小时追上1.5，后半个小时又退回1，因此，所用的时间为（4－1）÷（1.5－1）=个小时。而甲是从9：00开始追及的，所以应该到15:00追上。但是，只是前半小时追，后半小时不追，所以应该再减去半小时。因此，本次选项为C。

另外，如果用青蛙爬井问题的第二种解法解答，可以先把最后半小时的追及先排除掉，就相当于（4－1.5）÷（1.5－1）+0.5＝5.5个小时，因为从9:00开始的，因此，在14:30的时候就可以追及上。

综上所述，这种方法看似复杂，但从中可以看出间歇问题和青蛙爬井问题还是有一定地相似之处的。

评语：

1.李老师的文章创新性非常好，在当前文章千篇一律的环境下非常难能可贵。希望李老师多撰写类似角度新颖、独具匠心的教研文章。

2.文章的逻辑清晰，层次结构完整，但稍嫌不够丰富。如果能加入类似的题目作为第三道题，或有对于“过河爬井”这一类问题的特征总结等，文章会更饱满一些。

2*.可以编写一些模拟题作为演练，包括答案为“分数类”的，这里就会和“爬井”问题产生本质区别，间歇运动追及问题答案不必为“爬井问题”的“整数天”答案。

3.在对题目的解析里，有些话比较绕，考生读来不够深入浅出，还望修改。还有一个更大的问题文章回避了：为什么国考这道题直接代入公式是6而不是5.5？（实际上青蛙爬井是余数进1了。）余数在这种问题里应该怎么处理？

4.本文修改后定级为B档。

4*.有兴趣可以再深入研究、修改包括公式的推导，内容更加充实后可定为A档。