分类与整合的数学思想

分类与整合的数学思想

教学目的：掌握分类与整合的数学思想. 教学重点：分类与整合的数学思想的应用 教学难点：分类与整合的数学思想的应用. 教学方法：点播式

典例分析

例题1：[2012·陕西卷] 两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )

A ．10种

B ．15种

C ．20种

D ．30种

解：最少要比赛三场、最多比赛五场．比赛三场结束有2种情况(甲胜三场或者乙胜三场)；比赛四场，如果是甲胜，则甲在前面三场胜两场，第四场再胜，此时有情况C 23种，乙胜的

情况同甲，此时有2C 23＝6种情况；如果是比赛五场结束，同理有2C 2

4＝12种情况．根据分类加法计数原理，共有情况2＋6＋12＝20种．

练习1：(1)设函数f (x )＝sin3x ＋|sin3x |，则f (x )为( )

A ．周期函数，最小正周期为2π3

B ．周期函数，最小正周期为π

3

C ．周期函数，最小正周期为2π

D ．非周期函数

(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x ≠0，

0，x ＝0，

则关于x 的方程

f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同实数解的充要条件是( ) A ．b <－2且c >0 B ．b >－2且c <0 C ．b <－2且c ＝0 D ．b ≥－2且c ＝0

解： (1)f (x )＝sin3x ＋|sin3x |＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2sin3x ，sin3x ≥0，0，sin3x <0，最小正周期为2

3π；

(2)对比选择项不难发现可以从c ＝0，c ≠0两种情形来考虑．若c ＝0，则x ＝0是方程f 2(x )

＋bf (x )＋c ＝0其中的一个根，x ≠0时，且f (x )[f (x )＋b ]＝0，此时f (x )≠0，所以f (x )＋b ＝0，因此当－b >2时，f (x )＋b ＝0有四个根，满足题意，所以b <－2.综上可选C.

练习2：已知函数f (x )＝x －2

x

＋a (2－ln x )，a >0，讨论f (x )的单调性．

解：f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2

－ax ＋2

x 2

.

设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ＝a 2－8<0，即00都有f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上是增函数．

②当Δ＝a 2－8＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上也是增函数．

③当Δ＝a 2－8>0，即a >22时，

方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－8，x 2＝a ＋a 2－8

，0

a ＋a 2－8

2

，＋∞上单调递增． 练习3：学校新来了五位同学，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，但其中同学A 不分配到甲班的分配方案种数是( )

A ．60

B ．100

C ．162

D ．243

解：A 的分配方案有2种，如果A 所在的班级不再分配学生，则把其余四人按照一三和二

二分组后分配到另外两个班级，分配方法是⎝⎛⎭⎫C14＋C24C22A22A22＝14；如果A 所在的班级再分配一名学生，则把剩余的三位按照一二分组后分配到另外两个班级，分配方法是C14C13A22＝24；

如果A 所在的班级再分配两名学生，则剩余的两位同学就分配到另外的两个班级，方法数是C24A22＝12.根据加法和乘法原理得总数为2×(14＋24＋12)＝100.

练习4：某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图7－22－1所示正方形ABCD (边长为3个单位)的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i (i ＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，

A 处的所有不同

走法共有( )

A ．22种

B ．24种

C ．25种

D ．36种

2．记点到图形上每一个点的距离的最小值为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能．．．是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．直线

解：掷三次骰子，点数最多为18，因此回到点A 处只能是一次，而不能是回到点A 后再次回到点A .由于正方形的周长为12，即说明三次掷的骰子点数之和为12，设三次点数分别为a ，b ，c ，即方程a ＋b ＋c ＝12满足1≤a ，b ，c ≤6的解的组数即为所求的走法．我们可以先固定其中的一个点数，分类求解另外的点数的各种可能情况．a ＝1，则b ＋c ＝11，只能是(5,6)，(6,5)，2种情况；a ＝2，则b ＋c ＝10，只能是(4,6)，(5,5)，(6,4)，3种情况；若a ＝3，则b ＋c ＝9，只能是(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，4种情况；若a ＝4，则b ＋c ＝8，只能是(2,6)，(3,5)，

(4,4)，(5,3)，(6,2)，5种情况；若a ＝5，则b ＋c ＝7，只能是(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，6种情况；若a ＝6，则b ＋c ＝6，只能是(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，5种情况．故总计2＋3＋4＋5＋6＋5＝25种走法．

解：设定圆C ：x 20＋y 20＝r 2

，

定点A (a ，b )，动点P (x ，y )．根据题意有|x 2＋y 2－r |＝x －a 2＋y －b 2，当P 过圆C 圆心时，所得方程变形为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2表示圆；当点P 在圆C 内，但不过圆心时，方程变形为x －a 2＋y －b 2＋x 2＋y 2＝r 表示到两定点C ，A 的距离和为r 的图形，可能为椭圆；当P 在圆C 上时，方程表示x －a 2＋y －b 2＝0，表示点；当P 只能在圆外时，方程变形为x 2＋y 2－x －a 2＋y －b 2＝r ，表示到两定点C ，A 的距离差为r 的图形，可能为双曲线的一支．故点P 的轨迹不可能为直线，故选D.

练习5：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }是首项为1，公比为b 的等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .

解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1.

所以a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2，n ＝1，

2n －1，n ≥2.

(2)当b ＝1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

2，n ＝1，

2n －1，n ≥2.此时T n ＝2＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2＋1；

当b ≠1时，a n b n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2，n ＝1，

2n －1 b n －1

，n ≥2. 此时T n ＝2＋3b ＋5b 2＋…＋(2n －1)b n －

1， ①

两端同时乘以b 得，bT n ＝2b ＋3b 2＋5b 3＋…＋(2n －1)b n . ②

①－②得，(1－b )T n ＝2＋b ＋2b 2＋2b 3＋…＋2b n －

1－(2n －1)b n

＝2(1＋b ＋b 2＋b 3＋…＋b n －1)－(2n －1)b n

－b ＝2 1－b n 1－b

－(2n －1)b n －b ，

所以T n ＝2 1－b n 1－b 2－2n －1 b n

1－b －b

1－b

. 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

n 2

＋1，b ＝1，2 1－b n 1－b 2－2n －1 b n 1－b －b

1－b ，b ≠1.

小 结：

教后记：