处处不可导的连续函数

等式右端必定是整数，且其奇偶性与 m 一致，由此可知
lim f (x hm ) f (x)
m
hm
不存在，也就是说， f (x) 在点 x 处不可导。
因此， f (x) 就是一个处处连续，但处处不可导的函数。
10m ,
hm
10m ,
当am 0,1,2,3,5,6,7,8, 当am 4,9,
例如设 x = 0.309546…，则我们取 h1 101 ， h2 102 ， h3 103 ， h4 104 ，
h5 105 ， h6 106 ，… 显然 hm 0 ( m )。
根据 hm 的取法，可以知道： ⑴ 当 n m 时， (10n( x hm )) = (10n x 10nm ) = (10n x )；
⑵
当n
m
时，10n(
x
hm
)与
10n
x
或者同属于区间
k,
k
1 2
，或者同属于
区间
k
1 2
,
k
1
（
k
为某一整数），因而
(10n( x hm )) (10n x ) = 10n hm ， 其中符号是由 x ，n 与 m 唯一确定。
现在考察
f (x hm ) f (x) = (10n (x hm)) (10n x)
的收敛性，应用 Weierstrass 判别法，可知
f (x)
表达式中的函数项级数在 (, ) 上一致收敛。再由 (x)的连续性，可知 f (x)
在 (, ) 上连续。
现考虑 f (x) 在任意一点 x 处的可导性。由于 f (x) 的周期性，不妨设 0 x 1，
并将 x 表示成无限小数
x 0. a1a2 an 。 若 x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个 0。然后我们取
处处不可导的连续函数
常见的连续函数在其绝大部分连续点上总是可导的，因此人们一直猜测：连 续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数 的不可导点至多是可列集。但 Weierstrass 利用函数项级数第一个构造出了一个处 处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结。下面给出由荷兰 数学家 Van Der Waerden 于 1930 年构造的一个处处不可导的连续函数的例子。
hm
n0
10n hm
在上式右端的和式中，当 n m 时，由于 (10n ( x hm )) = (10n x )，这些项都
为 0；当 n m 时，由于分子与分母都为 10nm ，但符号可能不同，因此这些项
不是 +1 就是 -1。于是我们得到
f (x hm ) f (x)
=
m1
1
，
hm
n 0
设(x) 表示 x 与最邻近的整数之间的距离，例如当 x = 1.26，则(x) = 0.26； 当 x = 3.67，则(x) = 0.33。显然 (x)是周期为 1 的连续函数，且(x) 1/ 2 。
令
f
(x)
n0
(10n 10n
x)
，
由于
(10n x) 10n
1 2 10n
Fra Baidu bibliotek
，及
1
n0 2 10n