中考数学总复习圆的认识复习课件

圆心角与圆周角
◆中考指数:★★★★☆
知 1.圆周角与圆心角是密切联系的一个整体，实现了圆中角的
识 转化，知其一，可求其二.
点
2.圆周(或心)角与它所对弧常互相转化，即欲求证圆周(或 心)角相等，可转化证“圆周(或心)角所对的弧相等”.弧相
睛 等的条件可转化为它们所对的圆周(或心)角相等的结论.
特 1.考查圆周角和圆心角的这类题侧重对基础知识的考查，利
【解析】分别作弦AB，CD的弦心距，设垂足分别为E，F，连结 OA，OC.∵AB=30 cm，CD=16 cm， ∴AE=1 AB=1 ×30=15(cm)，
22
CF=1 CD=1 ×16=8(cm).
22
在Rt△AOE中，
OE= OA2 AE2 172 152 8cm，
在Rt△OCF中，
【自主解答】(1)∵∠ABC=∠APC， 又∵∠BAC=∠APC=60°, ∴∠ABC=∠BAC=60°，∴∠ACB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形. (2)连结OB，则易得∠OBD=30°, 又∠ODB=90°,∴OD=1 OB=4.
2
【对点训练】 8.(2012·湖州中考)如图，△ABC是⊙O的内接 三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°,∠ABC的 平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( ) (A)45° (B)85° (C)90° (D)95° 【解析】选B.根据直径所对的圆周角为90°，∠C=50°,可得 ∠BAC的度数为40°，再利用圆周角定理，∠CBD=∠CAD= 90= 45°,∠BAD=∠CAD+∠BAC=85°.
【例3】(2012·长沙中考)如图，A,P,B,C是半径为8的⊙O上的 四点， 且满足∠BAC=∠APC=60°,
(1)求证：△ABC是等边三角形.(2)求圆心O到BC的距离OD. 【思路点拨】(1)∠ABC=∠APC→ ∠ABC=∠BAC=60°→ 结论 (2)连结OB→解Rt△OBD→OD的长
一、圆的有关概念 1.圆的基本概念： (1)平面内到一定点的距离等于定长的_所__有__点__组成的图形叫做 圆，这个定点叫做_圆__心__，定长叫做_半__径__. (2)圆可以看成是平面内一个动点绕一个定点_旋__转__一__周__所形成 的图形.
2.圆的弦和弧 如图：线段AB，BC，AC都是⊙O的_弦__，曲线BC，BAC都是⊙O中 的_弧__. 小于半圆周的圆弧叫_劣__弧__，大于半圆周的圆弧叫_优__弧__.
2
9.(2012·万宁中考)如图所示，已知⊙O是
△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结CD，
若AD=3，AC=2，则cos B的值为( )
(A) 3 (B) 5 (C) 5 (D) 2
2
3
2
3
【解析】选B.∵∠B和∠D所对的弧是 A，C根据同弧所对的圆周
角相等，∴∠B=∠D.
又∵AD是直径，∴∠ACD=90°，根据勾股定理，得
【教你解题】
【对点训练】 1.(2012·黔东南中考)如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的 弦，∠ABD=55°,则∠BCD的度数为( )
(A)35° (B)45° (C)55° (D)75° 【解析】选A.连结AD，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°,∴∠A=90°-55°=35°, 根据同弧所对的圆周角相等可得∠BCD=∠A=35°.
【创新命题】圆中的分类讨论 【例】(2011·凉山州中考)如图，∠AOB=100°，点C在⊙O 上，且点C不与A,B重合，则∠ACB的度数为( )
(A)50° (B)80°或50° (C)130° (D)50°或130°
【解题导引】利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆
周角的度数即可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分
3.圆心角与圆周角： (1)顶点在_圆__心__的角叫做圆心角; (2)顶点在_圆__上__，并且两边都与圆_相__交__的角叫做圆周角.
【即时应用】 1.圆的最长的弦是_直__径__. 2.已知圆上有三个点，以任意两个点为端点的弧共有_6_条. 3.如图_∠__B_O_C_是圆心角，_∠__B_A_C_为圆周角.
【即时应用】 1.如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则圆心到这条弦 的距离为_6_.
2.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO=16°,则 ∠BOC= _3_2_°_.
3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°,则∠BAC的度数 等于_5_0_°_.
4.△ABC的三边长分别为5，12，13，则其外接圆的半径为_6_._5_. 5.等边三角形的边长为6，则其外接圆的半径为_2___3_.
OF= OC2 CF2 172 82 15cm，
∴EF=OF-OE=15-8=7(cm)． ∴AB和CD间的距离为7 cm.
三角形的外接圆
◆中考指数:★★★☆☆
知 识 三角形的外心的位置： 点 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是
的中点，钝角三角形的外心在三角形外部. 睛
特 别 1.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点； 提 2.根据三角形的外心的位置可以确定三角形的形状. 醒
两种情况讨论.
【规范解答】选D.当点C在优弧上时，
∠ACB＝1 ∠AOB＝1 ×100°＝50°.
2
2
当点C在劣弧上时，
∠ACB＝1 (360°－∠AOB)＝ 1×(360°－100°)＝130°.
2
2
【名师点评】通过对圆中分类讨论的试题的分析和总结，我们 可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：
(2011·牡丹江中考)已知⊙O的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E，
且CD=32，则AE的长为( )
(A)12
(B)8
(C)12或28
(D)8或32
【解析】选D.如图,连结OC. ∵弦CD⊥AB于点E， ∴CE= 1CD=16.
2
在直角△OCE中，OE OC2 CE2 202 162 12， 则AE=20+12=32，或AE=20-12=8， 故AE的长是8或32.
【核心点拨】 1.一条直线若满足：①垂直于弦；②平分弦；③过圆心；④平 分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧中任意两个条件，则可 得到另外三个条件. 2.离开同圆或等圆，不存在等弧. 3.圆中常用的辅助线 ①作半径，利用同圆或等圆的半径相等可得等腰三角形；②作 半径和圆心到弦的垂线段，与弦的一半构成直角三角形； ③作弦、直径等构造直径所对的圆周角.
2.(2012·六盘水中考)如图，已知∠OCB=20°,则∠A=____度.
【解析】∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=20°, ∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB=140°, ∴∠A= 1∠O=70°.
2
答案：70
3.(2011·兰州中考)如图，OB是⊙O的半径，点C，D在⊙O上， ∠DCB=27°，则∠OBD=____度．
第二十七讲 圆 的 认 识
1.了解：圆的定义及其有关概念，圆心角和圆周角的概念. 2.理解：圆的轴对称性和中心对称性. 3.掌握：垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论. 4.会：运用垂径定理及其推论和圆心角所对的弦、弧之间的关 系定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题. 5.能：用垂径定理及圆周角的性质解决与圆有关的分类问题.
【解析】连结BO.∵直径CD垂直于AB，∴AC BC.
则∠BDC=1 ∠BOC=1 ∠AOC=24°.
2
2
答案：24
6.(2012·衢州中考)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽 口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距 离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm.
别
用有关概念和定理在理解时，要注意其成立的条件，结合图 形进行分析.
提 2.有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转
醒 化为解直角三角形的问题.
【例1】(2012·湘潭中考)如图，在⊙O中，弦AB∥CD,若 ∠ABC=40°，则∠BOD=( ) (A)20° (B)40° (C)50° (D)80°
二、圆的有关性质 1.圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. 2.垂直于弦的直径的性质及其推论 (1)定理：垂直于弦的直径_平__分__这__条__弦__ ，并且平分这条弦所对 的两条弧; (2)推论：平分弦(不是直径)的直径_垂__直__于弦，并且平分弦所 对的_两__条__弧__.
3.圆心角、弧、弦之间的关系 在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所 对的弦也相等. 4.圆周角定理及其推论 (1)定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_相__等__， 都等于这条弧所对的圆心角的_一__半__； (2)推论：半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角__，90°的圆周角 所对的弦是直径. 5.三角形的外心 外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离_相__等__.
【解析】∠DOB=2∠DCB=54°，因为OB=OD,所以△OBD是等腰三 角形，得∠OBD=(180°－54°)÷2=63°． 答案：63
垂直于弦的直径的应用
◆中考指数:★★★★☆
1.垂直于弦的直径及其推论是证线段相等、角相等、垂直关
知 系的重要依据，应用时要注意：垂直于弦的直径的推论“平
识
分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧” 一定要强调“弦不是直径”.
பைடு நூலகம்
(2)求△ABC面积的最大值.
(参考数据：sin 60°= 3 ,cos 30°= 3 ,tan 30°= 3 ).
2
2
3
【教你解题】 (1)
(2)
【对点训练】 4.(2012·湛江中考)如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于 点D，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是_________.
点 2.利用垂直于弦的直径解决问题时，常常把问题转化为半径，
睛 弦长的一半，圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中的
问题.
特
别 定理中的“直径”是指经过圆心的弦，但在实际应用时可以 提 不是直径，如半径、过圆心的直线. 醒
【例2】(2011·江西中考)如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的
长为2 3 ，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B，C两点除外). (1)求∠BAC的度数；
CD AD2 A∴Cc2os B5，=cos D=
CD 5 . AD 3
10.(2011·烟台中考)如图，△ABC的外心坐标是_____.
【解析】三角形的外心为三边垂直平分线的交点，观察图形， 画出AB、BC的垂直平分线，即可得解. 答案：(－2，－1)
【归纳整合】找圆心的两种方法 (1)利用90°的圆周角所对的弦是直径，找到两条直径，它们的 交点即为圆心； (2)作出两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心.
【解析】设圆心为O，过点O作OD⊥AB于点D，连结OA,根据 题意知，OA=5 mm，OD=8－5=3(mm)，根据勾股定理， 得AD： OA2 OD2 4
(mm)，则AB=2AD=8 mm. 答案：8
7.(2012·南通中考)如图，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB ＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD间 的距离．
【解析】连结OA， ∵OC⊥AB,AB=24, ∴AD=1 AB=12.
2
在Rt△AOD中，∵OA=13,AD=12, ∴ OD OA2 AD2 132 122 5, ∴CD=OC-OD=13-5=8. 答案：8
5.(2012·娄底中考)如图，⊙O的直径CD垂直于AB， ∠AOC=48°，则∠BDC=_____度.