两自由度系统的振动

整理后得
m m e
m Jc
e
1

x


k
k1 2l4

k2 k1
l
3
k2l4
k
2
l
2 4

k1l3
k1
l
2 3

x



0 0
两自由度系统的振动
➢ 静力耦合和动力耦合
一般情况下两自由度系统无阻尼自由振动微分方程组为
m11 m21
t
2

q

12

M


J
ma2 ma
mma
K


k1l12 k2l2
k2l22 k1l1
k2l2 k1
k1l1 k2

q


x
座标之间的耦合称为静 力耦合或弹性耦合
两自由度系统的振动
➢固有频率
m1x1 (K1 m2 x2 K2 x1
这个比值称为振幅比
虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时， 振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。
两自由度系统的振动
➢ 固有振型（主振型）
对应于
12
和

2 2
振幅A1和A2，之间有两个确定的比值。
x1 x2

AA12ssiinntt
两个质量任一瞬时的位移的比值x1/x2也同样是确定的，并且 等于振幅比 o在振动过程中系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定 o振幅比决定了整个系统的振动形态，称为主振型
的通解是两种主振动的叠加
x1 x2

x1(1) x2(1)

x1(2) x2( 2 )

A1(1) sin(1t 1) v1A1(1) sin(1t 1)
A1(2) v2
sin(2t 2 ) A1(2) sin(2t
2
)
在一般情况下，系统的自由振动是两种不同频率的主振动的叠 加，其结果不一定是简谐振动。
矩阵形式
m1

0
0 m2


xx12

k1 k2

k2
k2 k2 k3


xx12


0 0
M

m1

0
0
m2

质量矩阵
K

k1 k2

k2
k2
k2

k3

刚度矩阵
双盘转子的扭振
m12 m2


xx12

k11 k21
k12 k22


xx12


0 0
每个方程式中往往都有耦合项
m1x1 (K1 m2 x2 K2 x1
K2 )x1 (K2

K2 x2 K3 ) x2
0 0
座标之间的耦合称为静力耦合或弹性耦合 加速度之间的耦合称为动力耦合或惯性耦合
两自由度系统的振动
➢ 双质量弹簧系统的自由振动 m1x1 (K1 K2 )x1 K2 x2 0 m2 x2 K2 x1 (K2 K3 )x2 0
➢双盘转子的扭振
J11 kt11 kt12 0
( 2 ) a 2
b 0
c d 2
( 2 ) 4 (a d ) 2 (ad bc) 0
该方程唯一确定了频率ω所需满足的条件，称为频率方程或特 征方程
两自由度系统的振动
➢固有频率
( 2 ) 4 (a d ) 2 (ad bc) 0
(a 2
cA1
) A1 bA2
(d 2 ) A2
0
0
任一式
v1 v2

A(1) 2
A(1) 1
A(2) 2
A(2) 1
a 12
b

a


2 2
b
c
d 12

d
c
22

对应于
12
和

2 2
，振幅A1和
之间有两个确定的A比2 值。

J22
kt11
(kt1

kt2 )2

0
➢汽车车体的平面振动
广义坐标：车体随参考点O 的（上下）平动x和车体在平 面内绕O点的转动θ
(J ma2 ) ma x (k1l12 k2l22 ) (k2l2 k1l1)x 0 ma mx (k2l2 k1l1) (k1 k2 )x 0
以钢杆中点垂直位移和转角为广义坐 标，可以得到如下动力学方程
mxm(mxee)(k1k1(kx2)lx3)(k2kl24(x k1ll43))00 meJxc(Jkc2(xmel42))l4(kk21l4(xkl13l3))xl3(mk(2xl42ek)1el32) 0 0
两自由度系统 列出下列系统的动力学微分方程
两自由度系统的振动
➢单自由度系统与多自由度系统
✓单自由度系统
❖描述系统运动状态只需一个广义坐标；系统振动微分方 程为一个二阶常微分方程； ❖系统有一个固有频率；系统自由振动的频率为固有频率。
✓多自由度系统
❖描述系统运动状态需多个广义坐标；系统振动微分方程 一般包括多个相互耦合的二阶常微分方程组； ❖系统具有多个不同数值的固有频率（特殊情况下数值可 能相等或有一个等于零）。当系统按其中任一固有频率 作自由振动时，称为主振动。主振动是一种简谐振动 ❖系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相 对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。
x2(2)

A1(2) sin(2t 2 ) A2(2) sin(2t 2 ) v2 A1(2) sin
2t 2

系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位 置，以确定的频率和振型作简谐振动。
两自由度系统的振动
➢ 系统的自由振动
微分方程组
x1 ax1 bx2 0 x2 cx1 dx2 0
两自由度系统的振动
➢两个自由度的振动系统
✓工程实际中大量的问题不能简化为单自由度系统， 往往需要简化成多自由度系统；
✓两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是 模型的简化、振动微分方程式的建立和求解的一 般方法、以及系统响应表现出来的振动特性等等， 两自由度系统的多自由度系统没有什么本质上区 别，却有数学上求解比较简便的好处。
m1x1 (K1 K2 )x1 K2 x2 0 m2 x2 K2 x1 (K2 K3 )x2 0
两自由度系统的振动
➢ 自由振动微分方程
m1x1 (K1 K2 )x1 K2 x2 0 m2 x2 K2 x1 (K2 K3 )x2 0
✓研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振 动特性的基础。
两自由度系统的振动
➢ 双质量弹簧系统的自由振动
m1与m2的任一瞬时位 置只要用和两个独立座 标就可以确定，系统具 有两个自由度
质量 m1与m2的 自由振动微分方程
m1x1 K1x1 K2 (x2 x1 )
m2 x2 K 2 (x2 x1 ) K3 x2


2 2

v1

1 b

a

d 2


a

d
2

bc

0
2


v2

1 b

a

d 2


a
2
d
2



bc

0

o说明系统以频率ω1振动时，质量与总是按同一个方向运动， 而以频率ω2振动时，则按相反方向运动。
与ω1对应的振幅比ν1称为第一阶主振型 与ω2对应的振幅比ν2称为第二阶主振型
两自由度系统的振动
➢ 固有振型（主振型）
2 1,2

ad 2


a

d
2


bc
2
v1 v2

A(1) 2
A(1) 1
A(2) 2
A(2) 1
a 12
b
a 22
b
c
d 12

d
c
振动方程的矩阵形式 Mq Kq 0
质量矩阵
M

m11 m21
M

m1

0
0
m2

K

k1 k2

k2
m12
m22

k2
k2

k3

刚度矩阵
q


x1 x2

K

k11 k21
k12
k22

M加动 速力J01度耦J之合02 间或K的惯耦性合耦kkt1t称合1 为kt1 ktk1
含-bx2项，第二个方程中包含-cx1项，称为耦合项。 如果耦合项均为零时，方程组便成为两个独立的单自由
度系统自由振动的微分方程
两自由度系统的振动
➢ 固有频率
x1 ax1 x2 cx1

bx2 dx2

0 0
设在振动两个质量按同样频率和相位角作简谐振动
x1 x2

➢例1 试求图示系统的
振动系统的固有频率和 主振型
假设已知 m1 m m2 2m
K1 K2 K K3 2K
例4.1 试求图示系统的振动系统的固有频率和主振型。
已知
m1 m m2 2m
K1 K2 K K3 2K
解 振动微分方程
记
a K m
mx11xx1122a(KxKx11aKxx222)x1 00 K2 xx21 2m2mx2x22aKxx121x1 3aK(xK22 00K3 )xx22
两自由度系统的振动
➢ 主振动
系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称 为系统的主振动
第一阶主振动为
x1(1)
x2(1)

A1(1) A2(1)
sin(1t sin(1t
1 ) 1 )

v1 A1(1)
sin
1t
1

第二阶主振动为
x1(2)
动力学方程
J1

0
1
k t1 k
t
2

1 2


0 0
汽车车体的振动
系统简化成二自由度系统，即一根刚 性杆（车体的简化模型）支承在两个 弹簧（悬挂弹簧和轮胎的模型）上， 刚性杆作跟随其质心的上下垂直振动 和绕刚性杆质心轴的俯仰运动。
➢ 固有频率
两自由度系统的振动
(a 2
cA1
) A1 bA2
(d 2 ) A2
0
0
这是A1和A2的线性齐次代数方程 显组然， A1 = A2 =0 是它的解，但这只对应于系统处于静 平衡的情况，不是我们所需的解
A1和A2具有非零性解的充要条件是系数行列式等于零
AA12ssiinntt
其中振幅A1与A2，频率ω和相位角θ都为待定常数 代入运动微分方程组可得
[ a 2 A1 bA2 ]sin t 0
[cA1 (d 2 ) A2 ]sin( t ) 0
Sin(ωt+θ)不恒等于零
频率方程是ω2的二次代数方程，它的两个特征根为
2 1,2

a
d 2


a

d
2

(ad

bc)
2
a K1 K2 m1
ad

a

d
2


bc
2 2
b K2 c K2
m1
m2
弹簧刚度和质量恒为正数，a，b，c， d的值都是正数
d K1 K2 m2
K2 )x1 (K2

K2 x2 K3 ) x2
0 0
为了书写简便，引入符号：
a K1 K2 b K2 c K2 d K1 K2
m1
m1
m2
m2
x1 ax1 x2 cx1

bx2 dx2

0 0
这是二阶常系数性齐次联立微分方程组。第一个方程中包
12 和 22 都是实根 由于ad＞bc12 和 都是正数
➢ 固有频率
两自由度系统的振动
12
和

2 2
是两个正实根。它们仅决定于系统本身的物理性质，
称为振动系统的固有频率。较低的一个称为第一阶固有频
率，简称基频。较高的一个称为第二阶固有频率。
➢固有振型
将特征值 12 和

2 2
分别代回方程组
00AA12ssiinntt
代入运动微分方程组得 频率方程
([2a2a2 )2A1A1 aAa2A2]s0in