清华数学实验8-约束优化

250.0000
0.0000
0.0000
10.0000
数据分析：① 当第五个不等式的右端增加一个单位后，总利润增加 50 元，为 88750 元，可以验证 lag.ineqlin 中的数据正好也是对应方程的影子价格。即从中可以看到，若甲乙 丙丁四区用水需求增加，公司还会赚更多的钱。
② 当 lag.lower 最后一个 v1 由 0 变为 1 时，公司不得不从 C 运水到丁区时，不可有利 润。
v1=zeros(1,12);
[x2,f,exitfag,out,lag]=linprog(c,A1,B2,[],[],v1)
解得：
x2 = 0.0000 100.0000 % 由 A 向乙区供水 100kt
0.0000
0.0000 30.0000 % 由 B 向甲区供水 30kt 40.0000 % 由 B 向乙区供水 40kt
exitfag =1
out =iterations: 7
cgiterations: 0
algorithm: 'large-scale: interior point'
结果：公司由 A 向乙区供水 50kt，由 B 向乙区供水 50kt，由 B 向丁区供水 10kt，由 C 向甲区供水 40kt，由 C 向丙区供水 10kt，可获得最大利润为 47600 元
lag.ineqlin
lag.lower
0.0000
1.0e+007 *
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
50.0000
0.0000
50.0000
0.0000
0.0000
0.0000
260.0000
0.0000
270.0000
0.0000
220.0000
0.0000
≤ ≤
−70 −10
；
⎪⎩x4 + x8 + x12 ≥ 10
⎪⎩−x4 − x8 − x12 ≤ −10
2.受最大供应量约束：
⎧ ⎪ ⎨
x1 x5
+ +
x2 x6
+ +
x3 x7
+ +
x4 x8
≤ ≤
50 60
；
⎪⎩x9 + x10 + x11 + x12 ≤ 50
3.为了节约水资源，多出基本生活用水的供水量最好不要超过额外申请量：
a1=[-1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0;
0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0;
0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0;
0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1];
a2=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;
Hale Waihona Puke Baidu
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0;
表 1.
引水管理费/元/kt
甲
乙
丙
丁
A
160
130
220
170
B
140
130
190
150
C
190
200
230
/
模型及其求解 (1)本题是一个有约束的优化问题。
决策变量是自来水公司由 A、B、C 三个水库向甲乙丙丁四区分别送多少水，记由 A 地
送到甲乙丙丁四区的水量为 x1, x2 , x3, x4 ,由 B 地送到甲乙丙丁四区的水量为 x5, x6 , x7 , x8 ，
cgiterations: 0
algorithm: 'large-scale: interior point' 结果：由 B 向甲区供水 30kt 由 B 向乙区供水 40kt，由 B 向丁区供水 50kt，由 C 向甲 区供水 50kt，由 C 向丙区供水 30kt，可知可获得最大利润为 88700 元。 查看 lag 得到：
（1）应如何安排生产？ （2）如果产品 A 的最大市场需求量增长为 600t，应如何安排生产？ （3）如果乙的进化价格下降为 13 千元/t，应如何安排生产？分别对（1）、（2）两种情 况进行讨论。
模型及其求解 （1）本题是一个有约束的优化问题。
决策变量是公司用甲、乙两种液体原料的量 x1, x2 用于生产混合液体，以及将混合液体 分为 x3, x4 的量与 x5, x6 量的丙混合分别生产 A 和 B。
所以 lag.ineqlin 中的数据正好是对应方程的影子价格。 ② 当 lag.lower 最后一项不为 0，说明此不等变化时对总利润有影响，将非负限制的最 后一个元素 0 变为 1 时，利用 MATLAB 解得： x =[ 0，50，0，0，0，51，0，9，39，0，9，39]；得到总利润为-9.9952e+007，约为 1.0e+007 *10，可见 lag.lower 中的数表示非负限制增加 1 时，总利润的变化。 可以理解，当不得不从 C 运水到丁区时，公司是不可能赚到钱的。
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1];
a3=[1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0;
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0;
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1];
A1=[a1;a2;a3];
B1=[-30,-70,-10,-10,50,60,50,80,140,30,50];
送到甲乙丙丁四区的水量为 x9 , x10 , x11, x12 。 目标函数是公司的总利润，记为 f ，则有：
∑ ∑ ∑ max f = 900 xi − (ai + 450)xi = (450 − ai )xi ，其中 ai 是对应的引水管理费，
i
i
i
所以本题是一个有约束的线性优化问题。为了方便用 MATLAB 计算，化为求极小：
0.0000 50.0000 % 由 B 向丁区供水 50kt 50.0000 % 由 C 向甲区供水 50kt
0.0000 30.0000 % 由 C 向丙区供水 30kt
0.0000 f = -8.8700e+004 % 可知可获得最大利润为 88700 元
exitfag =1
out =iterations: 7
v1=zeros(1,12);
[x,f,exitfag,out,lag]=linprog(c,A1,B1,[],[],v1)
解得：
Optimization terminated successfully.
x = 0.0000 50.0000 % 由 A 向乙区供水 50kt
0.0000
0.0000
0.0000
50.0000 % 由 B 向乙区供水 50kt
0.0000
10.0000 % 由 B 向丁区供水 10kt
40.0000 % 由 C 向甲区供水 40kt
0.0000
10.0000 % 由 C 向丙区供水 10kt
0.0000
f = -4.7600e+004 % 可知可获得最大利润为 47600 元
∑ min(− f ) = (ai − 450)xi i
⎧x1 + x5 + x9 ≥ 30
⎧−x1 − x5 − x9 ≤ −30
约束条件：1.保证基本生活用水量：
⎪⎪ ⎨ ⎪
x2 x3
+ +
x6 x7
+ +
x10 x11
≥ 70 ≥ 10
，化为
⎪⎪− ⎪⎨−
x2 x3
− −
x6 x7
− −
x10 x11
查看 lag 得到：
lag.ineqlin
lag.lower
0.0000
1.0e+007 *
0.0000
0.0000
40.0000
0.0000
20.0000
0.0000
320.0000
0.0000
320.0000
0.0000
260.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
a1=[-1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0;
0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0;
0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0;
0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1];
a2=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0;
⎛ −1
−1
−1
⎞
⎜ ⎜
−1
−1
−1
⎟ ⎟
⎜
−1
−1
−1 ⎟
⎜ ⎜
−1
−1
−1⎟⎟
⎜1 1 1 1
⎟
⎜
⎟
A =⎜
1111
⎟
⎜ ⎜
1
1
1
1
⎟ ⎟
⎜1
1
1
⎟
⎜ ⎜
1
1
1
⎟ ⎟
⎜
1
1
1⎟
⎜ ⎝
1
1
1
⎟ ⎠
利用 MATLAB 编程，输入程序：
C=[160,130,220,170, 140,130,190,150,190,200,230,1e+8]; c=C-450; % 由 C 到丁区没有管道，视为引水管理费很大，公司不会从此路供水。
(2)
受最大供应量约束变为：
⎧ ⎪ ⎨
x1 x5
+ +
x2 x6
+ +
x3 x7
+ +
x4 x8
≤ 100 ≤ 120
；
⎪⎩x9 + x10 + x11 + x12 ≤ 100
利用 MATLAB 编程，输入程序：
C=[160,130,220,170, 140,130,190,150,190,200,230,1e+8]; c=C-450; % 由 C 到丁区没有管道，视为引水管理费很大，公司不会从此路供水。
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1];
a3=[1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0;
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0;
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1];
A1=[a1;a2;a3];
B2=[-30,-70,-10,-10,100,120,100,80,140,30,50];
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
10.0000
数据分析：
① 当第三个不等式的右端增加一个单位后，利用 MATLAB 解得： x =[ 0，50，0，0，0，50，0，10，41，0，9，0]；且总利润增加 40 元，为 47640 元。 也就是说若丙地的基本用水能少 1kt，则总利润会增加 40 元。 这恰好为 lag.ineqlin 中第 3 个的数据，可以验证 lag.ineqlin 中的数据表示当约束不等 式的右端增加一个单位时，总的价格会相应增加的数量。
实验 8 约束优化
化学工程系 化 71 李骥聪 2007011861
【实验目的】
1． 掌握用 MATLAB 优化工具箱解线性规划和非线性规划的方法； 2． 练习建立实际问题的线性规划和非线性规划模型。
【实验内容】
1.题目 6.
某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由 A,B,C 三个水库供应。四个区每天必须 得到保证的基本生活用水量分别为 30kt,70kt,10kt,10kt，由于水源紧张，三个水库每天最多 只能分别供应 50kt,60kt,50kt 自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送 水所需付出的引水管理费不同（见表 1，其中 C 水库与丁区间没有输水管道），其它管理费 用都是 450 元/kt。根据公司规定，各区用户按照统一标准 900 元/kt 收费。此外，4 个区都 向公司申请了额外用水量，分别为每天 50kt,70kt,20kt,40kt。该公司应如何分配供水量，才 能获利最多？为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大 供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变？公司利润可增加到多少？
结果分析
用 linprog 解约束优化问题，不用输入初值，能够有效地解出解，这说明线性规划问题 的处理比较方便，计算也不太复杂，并且在 lag 中有每个约束不等式的约束情况，当 lag 中
的值较大时，说明此不等式有较强的约束力，稍有变化就能引起最优值的巨大变化。
2.题目 10.
某公司将 3 种不同含硫量的液体原料（为分别记为甲、乙、丙）混合生产两种产品（分 别记为 A,B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙必须首先倒入混合池中混合，混合后的液 体再分别与原料丙混合生产 A，B。已知原料甲、乙、丙的含硫量分别是 3%，1%，2%，进 货价格分别为 6 千元/t，16 千元/t，10 千元/t；产品 A，B 的含硫量分别不能超过 2.5%，1.5%， 售价分别为 9 千元/t，15 千元/t。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量都不能超过 500t； 产品 A,B 的最大市场需求量分别为 100t，200t。
4.非负约束： ∀i, xi ≥ 0 。
⎧x1 + x5 + x9 ≤ 80
⎪⎪ ⎨ ⎪
x2 x3
+ +
x6 x7
+ +
x10 x11
≤ ≤
140 30
；
⎪⎩x4 + x8 + x12 ≤ 50
将这个线性规划写成标准形式可得：
min(− f ) = cT x s.t. Ax ≤ b x ≥ v1
c = [-290 -320 -230 -280 -310 -320 -260 -300 -260 -250 -220 ∞]T