极坐标系的学习资料

3 极坐标系的概念

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学习目标：

1.理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构；

2.理解广义极坐标系下点的极坐标(,)ρθ与点之间的多对一的对应关系；

3.已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标. 学习重点：极坐标系的理解与应用

学习难点：极坐标系的概念；加强与直角坐标系的联系理解极坐标系的概念，通过实例的应用与分析突破难点. 学习过程： 一、课前准备

阅读教材57P P -的内容，体会极坐标系的建立过程.并回顾以下问题： 1. 在直角坐标系中，要确定一个点的位置，只需要确定这个点的横坐标和纵坐标就可以了；反过来，知道了一个点的坐标，就可以在直角坐标系中找到这个点，并且这个点是唯一的.就是说直角坐标系中，点与坐标之间是一一对应的关系. 2.除了直角坐标系能够确定点的位置，还有其他方法吗？比如说，禅城相对于荷城来说，在什么位置？某同学说：禅城在荷城的东偏北40，距离荷城41公里的地方，这种方法是不是直角坐标系的表示方法？

3．在《解三角形》中，我们经常遇到这样的问题：某船在海岛西偏南30方向，距离海岛60海里处，或两船在灯塔东南方向10海里处相遇.这样的定位方法使用了两个什么量？ 二、新课导学： （一）新知：

（1）思考：右图是某校园的平面示意图， 假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：

①你会怎样描述图书馆、体育馆、 办公楼、实验楼的相对位置？这些描述的对 应位置是否惟一确定？ ②他向东偏北60°方向走120m 后到 达什么位置？该位置惟一确定吗？ ③如果有人打听体育馆和办公楼的位

置，他应如何描述？ 探究结果： ①方位描述与直角坐标描述，位置都是惟一确定的. ②到达图书馆，该位置惟一确定.

③正东方向60m 处与西北方向50m 处. （2）极坐标系的概念

①极坐标系的建立： 在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系. （其中O 称为极点，射线Ox 称为极轴.）

②极坐标系内一点的极坐标的规定：

对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用

办公楼 E

实验楼D C 图书馆 B 体育馆

A 教学楼

60m 50m 120m

60°

45°

θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ就

叫做M 的极坐标.

特别强调：由极径的意义可知0ρ≥；当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)ρθ建立一一对应的关系.我们约定，极点的极坐标是极径0ρ=，极角为任意角.

③负极径的规定：

在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角，当0ρ<时，点(,)M ρθ位于极角终边的反向延长线上，且||||OM ρ=.(,)M ρθ也可以表示为

))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈.

（二）典型例题：

【例1】 写出下图中各点的极坐标：

A ( 4，0 )

B （2 ，

4

π） C ( 3 ，2

π ） D （ 1 ，56π ）

E ( 3.5，π)

F （ 6 ，43

π ） G （ 5 ，53

π ） 并回答下面的问题：

① 平面上一点的极坐标是否唯一？ 答：不是.

② 若不唯一，那有多少种表示方法？ 答：有无数种表示方法.

③ 坐标不唯一是由谁引起的？ 答：角的多值性引起的.

④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？

答：可以；(,2)k ρθπ+与(,)ρθ表示同一个点（k Z ∈）. 动动手：在极坐标系里描出下列各点：

(3,0)A ，(6,2)B π，(3,)2C π，4(5,)3

D π，5(3,)6

E π，(4,)

F π，5(6,)3

G π.

【例2】 在极坐标系中，

O

x

（1）已知两点5(5,

)4P π，(1,)4

Q π，求线段

PQ 的长度；

（2）已知M 的极坐标为(,)ρθ且3

πθ=

，R ρ∈，

说明满足上述条件的点M 的位置.

【解析】（1）作出图形，知，P 、Q 与极点O 三点共线，且P 、Q 在点O 两侧，所以线段PQ 的长度为||516PQ =+=. （2）点M 在一条直线上.

动动手：若ABC ∆的的三个顶点为5(5,

)

2

A π，5(8,)6

B π，7(3,)6

C π，判断三角形的形状.

【解析】如图，120AOC ∠=，||5AO =， ||3CO =，在AOC ∆中，由余弦定理得： 2||259253cos12049AC =+-⨯⨯⋅=， 所以||7AC =，同理在BOC ∆和AOB ∆中，分别求出||||7AB BC ==， 所以ABC ∆是正三角形.

三、总结提升：

1.极坐标系中，点与坐标之间不是一一对应的关系，只有在0ρ>，02θπ≤<的条件下，点（极点除外）和坐标之间才能建立一一对应关系.

2.一般地，极坐标(,)ρθ与(,2)()k k Z ρθπ+∈表示同一个点；极坐标系中，一个点的坐标可以有无数种表示.

3.在学习极坐标的有关内容时，要结合图形，利用解三角形等知识解决问题. 四、反馈练习： 1.在极坐标系中，与点(8,

)6

π关于极点对称的点的一个坐标是 ( B )

A.(8,)6π-

B.5(8,)6π-

C.5(8,)6π

D.2(8,)3π

2．两点(2,)3M π，4(5,)

3

N π之间的距离是 （ C ）

A.3

B.4

C.7

D.8

3.P 与(,)Q ρθ关于极轴对称，则P 的坐标是 （ A ）

A.(,)ρθ-

B.(,)ρπθ-

C.(,)ρπθ+

D. (,2)ρπθ+ 4.如图，写出极坐标系中的边长为a 正方形OABC 的三个顶点的坐标. A ：(,0)a ；B ：2,

)4a π；C ：(,)2

a π. x

O

Q

P

θ

M

x

O

O C

B

A

x

B

x