第三章 轴线拉压变形

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26
第三章 轴向拉压变形
B
1
2 C
45o A
A2
A1
A
4、节点位移计算
Ax
AA2 =
l2
=
Fl (
EA
)
Ay
l1 = cos 45°
l2
+
2
2Fl EA
Fl EA
(2
=
) 2 + 1 Fl (
)
EA
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27
第三章 轴向拉压变形
例：ABC刚性杆，求节点C的位移。
1
A
30o B
C
解：先计算杆1内力FN 1 与伸长 l1
例：图示涡轮叶片，已知A, E, ，角速度 ，求叶片 横截 面上的正应力与轴向变形。
解：1、叶片的外力
作用于微段 d 上的离心力为 q( ) = 2dm 2 A d
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第三章 轴向拉压变形
总伸长：
2、叶片的内力与应力
( ) FN
x
=
R0 x
2
Ad
( ) 2 A
2
R02 = x2
2
( ) ( x) = 2
然后画B点位移
再画C点位移
C y 2=By 4 l1
F
B
思考：有同学问BB’,CC’铅垂向下，
C 刚性杆ABC杆为什么能伸长？
答：切线代圆弧的近似。
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第三章 轴向拉压变形
例：画出节点A的位移
A
A
F F
A A
杆两端均为可动点情形：
平移+变形(伸长或缩短)+ 转动(切线代圆弧)
29
第三章 轴向拉压变形
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7
第三章 轴向拉压变形
泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其 在摆的运动和声学理论中的应用。他工作 的特色是应用数学方法研究各类物理问题， 并由此得到数学上的发现。他对积分理论、 行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁 理论、位势理论和概率论都有重要贡献。 他还是19世纪概率统计领域里的卓越人物。 他改进了概率论的运用方法，特别是用于 统计方面的方法，建立了描述随机现象的 一种概率分布──泊松分布。他推广了“大 数定律”，并导出了在概率论与数理方程 中有重要应用的泊松积分。
8-12
μ
0.25-0.30 0.26-0.34 0.33-0.35 0.23-0.27
对于各向同性材料，三个材料常数存在如下关系：
G=E/2(1+ μ)
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第三章 轴向拉压变形
例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
F
F
D
d
思考：当圆管受拉时，外径 减小，内径增大还是减小？
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第三章 轴向拉压变形
FN(x)表达式不能写出，怎么办？
在x段再建立ξ坐标系，取d ξ微段研究
FN ( x + dx)
需两次积分，第一次求轴力，第二次求总伸长量。
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第三章 轴向拉压变形
例：已知 q, l, E, A，求 l ? （续）
q(x)
(2) q = q( x) 为变量
l
d x
x
dx
解：(a)取长度为x的杆段为分离体；
F
F
F
F1 + F2
F1
F2
F1
l1
l
l2
l
l1
l*
l
材料非线性问题， l* l1 l2 , 叠加原理不成立。
第三章 轴向拉压变形
*几何非线性问题例
l
l
例：已知F , l , EA ，初始两杆水平， A 设材料线弹性，且结构小变形，
求F 与 关系。
B
C
FN
F
FN
C
F
讨论： 1 C点位移是否与载荷成正比关系？ 2 叠加原理是否成立？
l FN (x) dx l EA(x)
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第三章 轴向拉压变形
例：已知E，A1，A2，求总伸长 l（续）
2F
解法二：各载荷效应叠加
l1
F
l2
l3
la
Fl1 = F ( l2 + l3 )
EA1
EA2
F
lb
2Fl1 = 2Fl2 EA1 EA2
l1
l2
l3
(a)
2F
l =la
lb
Fl1 + Fl2 EA1 EA2
FN ( x) FN ( x + dx)
(b)分离体内再取微段d ，微段载荷
dF ( x) = q( ) d
(c)轴力
FN ( x) =
x dF ( x)
0
xq( )d
0
(d) dx 微段伸长：d ( l ) FN ( x) dx
EA
(e)总伸长： l l d (=l ) 0
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第三章 轴向拉压变形
例：画节点A的位移 思考：点A有无水平位移？
1
2
1
2
3
A
B
A
l1
A
F
A
B
F A A'''
*左图杆2不受力，不伸长转动。
•右图B点位移由杆1和2确定（与左图A点相同）;
•刚梁AB先随B点平动，B至B’点,A至A’点；然后绕B’点转动；
•杆3伸长到A’’，然后转动，与刚性梁对应点交于A’’’点。
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第三章 轴向拉压变形
例：求A，C相对位移
FA
D
O
B
*设想固定BD中点 和BD方位
CC
F
*D点随OD杆变形发
生位移，DC杆平 移、伸长、转动，
由对称性，C点到 达C’点。
AC 2CC '
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第三章 轴向拉压变形
§3-4 拉压与剪切应变能
两条平行的研究途径(从物理、理力到材力)
例： m2 > m1, 无摩擦，求 a
在数学中以他的姓名命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、 泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流、 泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法等。
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第三章 轴向拉压变形
典型材料常数
弹性常数
钢与合金 钢
铝合金
铜
铸铁 木（顺纹）
E/GPa 200-220 70-72 100-120 80-160
例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
F
( ) 解： =
F=
E AE
4F D2 d2 E
=
F
D
d
4F
( ) D2 d 2 E
先求内周长,设ds 弧长改变量为du, ’＝du/ds
d
u= 0
ds =
d 0
4F ( D2 d 2 )E ds =
4 Fd (D2 d2)E
du= ’ds
d=u =
4 Fd (D2 d2)E
B 1
由节点A的平衡
FN1 = 2F (拉)
FN2 = F
(压)
2 45o A C
F
由胡克定律
l1
FN1l1 = 2F 2l
E1 A1
EA
l2
FN 2l2 = Fl E2 A2 EA
2Fl
EA (伸长) (缩短)
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第三章 轴向拉压变形
2、节点A的位移的精确计算
B
及其困难。
2 C
1
•位移求法：杆1伸长 l1 到 A1 点，
EA
EA
总伸长为
l l d ( =l ) l qxdx ql 2dx
0
0 EA 2EA
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第三章 轴向拉压变形
例：已知 q, l, E, A，求 l ? （续1：分析方法）
q(x)
(2) q = q ( x) 为变量
l
d x
x
dx
求解难点讨论
d ( l ) FN ( x) dx
EA FN ( x)
Fl3 EA3
与解法一结果一致，引出
l1
l2
l3
叠加原理
(b)
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第三章 轴向拉压变形
叠加原理：几个载荷同时作用所产生的 总效果，等于各载荷单独作用产生的效 果的总和。
叠加原理的适用范围
*材料线弹性 *小变形 *结构几何线性
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F
F
F
F1 + F2
F1
F2
l1
l
l2
l
l1
l2
l
材料线性问题， l* =l1 l2 , 叠加原理成立。
杆2伸长 l2 到A2 点，
45o A
以B、C为圆心作圆交于A’点
A2 l2
A l1 1
F •计算困难：解二次方程组；
A
•由于位移内力变化，需迭代求解.
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第三章 轴向拉压变形
B
3、小变形问题实用解法
1
2 C
45o A
A2
A1
A A
小变形：与结构原尺寸相比 为很小的变形。
实用解法： *按结构原几何形状与尺 寸计算约束反力与内力； *采用切线代圆弧的方法 确定节点位移。
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2
第三章 轴向拉压变形
§3-1 引言
1 2 34
5
A
A
F
F
思考：为什么要研究变形？下述问题是否与变形（小变
形）相关？
•A点位移? 位移是否与力F 同方向？
•各杆内力？
•各杆材料不同，温度变化时内力？
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第三章 轴向拉压变形
§3-2 拉压杆的变形与叠加原理
一、拉压杆的轴向变形与胡克定律
l3
l A
l
B
C
FN
F
FN
C
F
(三次抛物线关系,瞬时 机构,叠加原理不成立)
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第三章 轴向拉压变形
例：已知 q,l, E, A，求 l
q(x)
l q
x
dx
FN ( x)
?
(1) q 为常量
解：距端点x处截面的轴力为
FN ( x) = qx
dx 微段伸长
d ( l ) FN ( x) dx = qxdx
二、拉压杆的轴向变形与泊松比
F
b
b1
l
l1
b b1 = b
=b b
F
横向正应变
试验表明：对传统材料，在比例极限内， 且异号。
定义： =
(0
0.5) , ——泊松比
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第三章 轴向拉压变形
西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson 1781～1840）法国数学家、 几何学家和物理学家。1781年6月 21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶， 1840年4月25日卒于法国索镇。 1798年入巴黎综合工科学校深造。 受到拉普拉斯、拉格朗日的赏识。 1800年毕业后留校任教，1802年任 副教授，1806年任教授。1808年任 法国经度局天文学家。1809年巴黎 理学院成立，任该校数学教授。 1812年当选为巴黎科学院院士。
材料力学 第三章 轴向拉压变形
北方民族大学 土木工程学院 傅博
第三章 பைடு நூலகம்向拉压变形
§3-1 引言 §3-2 拉压杆的变形与叠加原理 §3-3 桁架的节点位移 §3-4 拉压与剪切应变能 §3-5 简单拉压静不定问题 §3-6 热应力与预应力 §3-7 拉压杆弹塑性分析简介 §3-8 结构优化设计概念简介
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第三章 轴向拉压变形
例：已知F , l , EA ，
求F 与 关系。
解：(1)节点C平衡：
FN
=
F 2 sin
sin
/ l (微小)
(2)杆伸长： l FNl = Fl 2
EA 2EA
(3) l 关系：
l l2 = 2 l + 2 / (2l )
(4) F = 2EA l EA 3
l2
方法一： a = T m1g m2 g T
m1
m2
v m1
h
h
v m2
a = (m2 m1 )g m1 + m2
方法二：
T
T
m1
m2
m1 g
m2 g
E
=
1 2
m1V
2
1 2
m2V
2
+
m1
gh
m2 gh
由 E =0
a (m2 m1 )g
t
m1 + m2
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第三章 轴向拉压变形
外力功、应变能与功能原理
历史回顾：
1678年：Hooke发现“胡克定律”。 Hooke是伦敦皇家学会第一任会长 （1662），他对弹性体做了许多试 验，他与牛顿是同时代人，没有受 牛顿影响而系统地阐述了万有应力 定律。
中国人郑玄（127-200）在《考工记• 弓人》的注就提到弓的“每加物一 石，则张一尺”。唐初贾公考又对 郑注作了详细解释。
Δ
F
dW = fd , W = fd
0
W=F l
o
2
• 拉压杆应变能
Vε
= FN2l 2EA
（如何推导）
f
dA
d
f
df
•弹性体功能原理：
Vε = W ,
•对线弹性体：FN2l = F l 2EA 2
=
d
D
D=
4 FD
( ) D2 d 2 E
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第三章 轴向拉压变形
三、多力杆的变形与叠加原理
例：已知E，A1，A2，求总伸长 l
A1
A2 2F F
解：1. 内力分析。轴力图 FN1=FN2=F，FN3= _ F
l1
l2
l3
2. 变形计算。（用何方法？ ）
FN
方法一：多荷载作用下各段变形叠加
F
F
•外力功( W):构件变形时，外力在相应位移上做的功。
•应变能（ V）：构件因变形贮存能量。
•弹性体功能原理： Vε = W （根据能量守恒定律） •功能原理成立条件：载体由零逐渐缓慢增加，动能 与热能等的变化可忽略不计。
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第三章 轴向拉压变形
一、轴向拉压应变能
f
*线弹性材料
• 外力功
F
x
步骤：*用截面法分段求轴力；
F
*分段求出变形；
l =l1
l2 +l3
Fl1 EA1
Fl2 EA2
Fl3 EA3
*求代数和。
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第三章 轴向拉压变形
讨论： •阶梯形杆： l = n FNi li
i=1 Ei Ai n－总段数 FNi－杆段 i 轴力
•变截面变轴力杆
d( l) = FN ( x)dx EA( x)
R02 x2
3、叶片的变形
dx 微段:
d ( l ) FN ( x) dx
EA
l
( ) ( ) F R0 N x dx = 2
Ri EA
6E
2R03
3R02 Ri = Ri 3
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第三章 轴向拉压变形
§3-3 桁架的节点位移
例：已知 E1 A1 = E2 A2 EA, l2 = l ,求桁架节点A的水平与铅垂位移 解：1、轴力与变形分析（两杆伸长（缩短））
胡克的弹性实验装置
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第三章 轴向拉压变形
拉压杆的轴向变形与胡克定律
b
b1
F
l
l1
•轴向变形 l = l1 -l •横向变形 胡克定律
b = b1
F b (伸长为正)
=E (
p)
= FN ，
=l
A
l
F N
=
E
l
Al
l = FNl EA
拉压刚度
使用范围：线弹性体，比例极限范围内
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第三章 轴向拉压变形