高中数学总复习提纲

第一章 集合与简易逻辑

集合及其运算

一．集合的概念、分类： 二．集合的特征：

⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三．表示方法：

⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法 四．两种关系：

从属关系：对象 ∈、∉ 集合；包含关系：集合 ⊆、 集合

五．三种运算：

交集：{|}A B x x A x B =∈∈且 并集：{|}A B x x A x B =∈∈或 补集：U A {|U }x x x A =∈∉且 六．运算性质：

⑴ A ∅=A ，A ∅=∅．

⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． ⑶ 若B A ⊆，则A B =A ，A B =B ．

⑷ U A A =（）∅，U A A =（）U ，U U A =（）A ． ⑸ U U A B =（）（）U A

B （），U U A B =（）（）U A

B （）．

⑹ 集合123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅的所有子集的个数为2n ，所有真子集的个数为

21n -，所有非空真子集的个数为22n -，所有二元子集（含有两个元素

的子集）的个数为2

n C ．

简易逻辑

一．逻辑联结词：

1．命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题．

2．逻辑联结词有“或”、“且”、“非”．

3．不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．

4．真值表：

1．原命题：若p则q

逆命题：若P则q，即交换原命题的条件和结论；

否命题：若q则p，即同时否定原命题的条件和结论；

逆否命题：若┑P则┑q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定．2．四个命题的关系：

⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；

⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；

⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真．

三．充分条件与必要条件

1．“若p则q”是真命题，记做p q

⇒，

“若p则q”为假命题，记做p q，

2．若p q

⇒，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件

3．若p q

⇒，且p q，则称p是q的充分非必要条件；

若p q，且p q

⇐，则称p是q的必要非充分条件；

若p q

⇒，且p q

⇐，则称p是q的充要条件；

若p q，且p q，则称p是q的既不充分也不必要条件．

4．若p的充分条件是q，则q p

⇒；

若p的必要条件是q，则p q

⇒．

第二章 函数

指数与对数运算

一．分数指数幂与根式：

如果n x a =，则称x 是a 的n 次方根，0的n 次方根为0，若0a ≠，则当n 为奇数时，a 的n 次方根有1

；当n 为偶数时，负数没有n 次方根，正数a 的n 次方根有2个，其中正的n

．负的n

次方根记做． 1．负数没有偶次方根；

2

．两个关系式：n a =

||a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数

3

、正数的正分数指数幂的意义：m n

a =

正数的负分数指数幂的意义：m n a -=

．

4、分数指数幂的运算性质：

⑴ m n m n a a a +⋅=； ⑵ m n m n a a a -÷=； ⑶ ()m n mn a a =； ⑷ ()m m m a b a b ⋅=⋅；

⑸ 01a =，其中m 、n 均为有理数，a ，b 均为正整数 二．对数及其运算

1．定义：若b a N =(0a >，且1a ≠，0)N >，则log a b N =． 2．两个对数：

⑴ 常用对数：10a =，10log lg b N N ==； ⑵ 自然对数： 2.71828a e =≈，log ln e b N N ==． 3．三条性质：

⑴ 1的对数是0，即log 10a =； ⑵ 底数的对数是1，即log 1a a =； ⑶ 负数和零没有对数． 4．四条运算法则：

⑴ log ()log log a a a MN M N =+； ⑵ log log log a

a a M

M N N

=-； ⑶ log log n a a M n M =； ⑷

1

log log a a M n

=．

5．其他运算性质：

⑴ 对数恒等式：log a b a b =；

⑵ 换底公式：log log log c a c a

b b

=

； ⑶ log log log a b a b c c ⋅=；log log 1a b b a ⋅=；

⑷ log log m n a a n

b b m

=．

函数的概念

一．映射：设A 、B 两个集合，如果按照某中对应法则f ，对于集合A 中的任

意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A 到集合B 的映射．

二．函数：在某种变化过程中的两个变量x 、y ，对于x 在某个范围内的每一

个确定的值，按照某个对应法则，y 都有唯一确定的值和它对应，则称y 是

x 的函数，记做()y f x =，其中x 称为自变量，x 变化的范围叫做函数的定

义域，和x 对应的y 的值叫做函数值，函数值y 的变化范围叫做函数的值域．

三．函数()y f x =是由非空数集A 到非空数集B 的映射． 四．函数的三要素：解析式；定义域；值域．

函数的解析式

一．根据对应法则的意义求函数的解析式；

例如：已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式． 二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；

例如：已知()f x 是一次函数，且[()]43f f x x =+，函数)(x f 的解析式． 三．由函数)(x f 的图像受制约的条件，进而求)(x f 的解析式．

函数的定义域

一．根据给出函数的解析式求定义域： ⑴ 整式：x R ∈ ⑵ 分式：分母不等于0

⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0 ⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0