钟表上的追及问题

钟表上的追及问题

例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。解析：分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：

一. 格数法

钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转

1

12

分格，分针

一分钟转1个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。

解析（1）设3点x分时，时针与分针重合。

则分针走x个分格，时针走

x

12

个分格。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分

针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程x

x

-=

12

15，解得x=16

4

11

。

所以3点164

11

分时，时针与分针重合。

（2）设3点x分时，时针与分针成平角。

因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，

分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程x

x

-=

12

45，解得x=49

1

11

。

所以3点491

11

分时，时针与分针成平角。

（3）设3点x分时，时针与分针成直角。

此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了

30分格，于是得方程x

x

-=

12

30，解得x=32

8

11

。所以3点32

8

11

分时，时针与分针成直角。

二. 度数法

对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以时针1分钟转过的角度是0.5°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。

解析（1）设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x°，分针旋转的角度是6x°。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，于是得方程

60590

x x

-=

.，解得x=164 11

。

（2）设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90°+180°=270°，于是得方程

605270

x x

-=

.，解得x=491 11

。

（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了9090180

?+?=?，于是得方程

605180

x x

-=

.，解得x=328 11

。

练一练

1. 钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合？

2. 钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？

3. 钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角？

4. 钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？

练一练答案

1. 钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合？

2. 钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？

3. 钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角？

4. 钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？

（参考答案：1. 9点491

11

分； 2. 5点43

7

11

或5点10

10

11

分；

3. 3点91

11

分或3点23

7

11

分；4. 2点43

7

11

分。）