第三节函数的极限讲解教学教案
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0, X0,使当 xX时, 恒有|f(x ) A |.
定理 lim f(x)A x
lim f(x)A .
x
lim f(x)A且
x
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A+
A
A–
–X
0
X
x
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A
A
–X
0
X
x
.
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
定义
lim f(x)A
xx0
0, 0,
使当 0 |xx0|时,恒有 |f(x ) A |.
函数的极限 limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
0| xx0|δ时A,+
恒f有 (x)A.
A的邻域,
A
x0的空心 邻域,
该邻域内所有点 x A–
的纵坐标 f(x)落在
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A AA
A
A AA
A
–X
0
X
x
.
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A
A
–X
0
X
x
.
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0
x0
x0
x
.
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
0|xx0|δ时 ,
恒f有 (x)A.
A的邻域,
A
A
x0的空心 邻域A ,
该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A
A
––XX–––XXX– X
0
XX XX XX
x
.
例 1 证明 lx im sixnx0.
注： 如 果 lim f(x)c,则 直 线 yc是 函 数 yf(x) x 的 图 形 的 水 平 渐 近 线 .
二 自变量趋向无穷大时函数的极限
问题: 如何用数学语言刻画下述过程:
当 x 时, 函数 f ( x) “无限接近”确定值A.
定义: 设函数 f (x) 当| x | 大于某一正数时有定义.
如果对任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在
着正数 X , 使得对于满足不等式 |x|X的一切 x,
例 2 用极限定义证明 xl im 12x 0.
注 ：同理可证：当 0q1时，limqx 0. x 而当 q1 时， limqx 0. x
例 3 证明 lx i m 1xx11.
三、自变量趋向有限值时函数的极限
考虑函数
x2 4 y
(x2)
x2
4
2 0
X
问题: 如何用数学语言描述下述过程:
在 xx0的过程中, 函数 f (x)无限趋近于确定值 A.
第一章 函数与极限
第三节 函数的极限
法国多产的数学家柯西.
他在1821~1823年间出版的《分 析教程》和《无穷小计算讲义》是 数学史上划时代的著作. 在书中他 给出了相对精确的极限定义，然后 用极限定义了连续性、导数、微分 、定积分及无穷级数的收敛性.
德国数学家维尔斯特拉斯对此 作了进一步的严格化，使得极限 理论成为了微积分的坚定基础.
f (x)
x
.
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
0|xx0|δ时 ,
一、函数极限的引入 数列可看作自变量为正整数 n的函数: xnf(n),
数列 xn 的极限为 a, 即: 当自变量 n取正整数
且无限增大 (n)时, 对应的函数值 f (n) 无限 接近数 a.
由此引出函数极限的一般概念: 在自变量 x的某个变化过程中,如果对
应的函数值 f (x) 无限接近于某个确定的数A , 则 A就认作 x在该变化过程中函数 f (x) 的极限.
恒有 |f(x ) A | ,
那么常数 A就叫函数 f (x)当x 时的极限, 记作lim f(x)A或 f(x)A(当 x).
x
单侧极限:
(1)x情形: lim f(x)A ,即 x
0, X0,使当 xX时,恒有 |f(x ) A |.
(2)x 情形: lim f(x)A ,即 x
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0
x0
x0
x
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
恒 0|xf有 (xx)0| A δ时 . A,
A的邻域,
A
x0的空心 邻域,
该邻域内所有点 x A
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
定义 设函数 f (x)在点 x 0 的某一去心领域内有
定义. 若对任意给定的正数(不论它多么小), 总存
在正数 , 使当 0 |xx0|时,函数 f (x)都满足
不等式
|f(x ) A | ,
则常数 A就称为函数 f (x)当 xx0时的极限.
记作
lim f(x)A 或
xx0
f(x)A(当 xx0)
0
x0
x0
x0
x
.
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
0|xx0|δ时 ,
恒f有 (x)A.
A的邻域,
A
A
x0的空心 邻域A ,
该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0 x0 xx00 x 0 x0 x0 x0 x0
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0
x0
x0
x
.
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
恒 0|xf有 (xx)0| A δ时 . AAA ,
A的邻域,
A
A
该 x邻0的域内空所心有点邻x域AAA A ,
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
定理 lim f(x)A x
lim f(x)A .
x
lim f(x)A且
x
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A+
A
A–
–X
0
X
x
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A
A
–X
0
X
x
.
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
定义
lim f(x)A
xx0
0, 0,
使当 0 |xx0|时,恒有 |f(x ) A |.
函数的极限 limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
0| xx0|δ时A,+
恒f有 (x)A.
A的邻域,
A
x0的空心 邻域,
该邻域内所有点 x A–
的纵坐标 f(x)落在
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A AA
A
A AA
A
–X
0
X
x
.
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A
A
–X
0
X
x
.
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0
x0
x0
x
.
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
0|xx0|δ时 ,
恒f有 (x)A.
A的邻域,
A
A
x0的空心 邻域A ,
该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A
A
––XX–––XXX– X
0
XX XX XX
x
.
例 1 证明 lx im sixnx0.
注： 如 果 lim f(x)c,则 直 线 yc是 函 数 yf(x) x 的 图 形 的 水 平 渐 近 线 .
二 自变量趋向无穷大时函数的极限
问题: 如何用数学语言刻画下述过程:
当 x 时, 函数 f ( x) “无限接近”确定值A.
定义: 设函数 f (x) 当| x | 大于某一正数时有定义.
如果对任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在
着正数 X , 使得对于满足不等式 |x|X的一切 x,
例 2 用极限定义证明 xl im 12x 0.
注 ：同理可证：当 0q1时，limqx 0. x 而当 q1 时， limqx 0. x
例 3 证明 lx i m 1xx11.
三、自变量趋向有限值时函数的极限
考虑函数
x2 4 y
(x2)
x2
4
2 0
X
问题: 如何用数学语言描述下述过程:
在 xx0的过程中, 函数 f (x)无限趋近于确定值 A.
第一章 函数与极限
第三节 函数的极限
法国多产的数学家柯西.
他在1821~1823年间出版的《分 析教程》和《无穷小计算讲义》是 数学史上划时代的著作. 在书中他 给出了相对精确的极限定义，然后 用极限定义了连续性、导数、微分 、定积分及无穷级数的收敛性.
德国数学家维尔斯特拉斯对此 作了进一步的严格化，使得极限 理论成为了微积分的坚定基础.
f (x)
x
.
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
0|xx0|δ时 ,
一、函数极限的引入 数列可看作自变量为正整数 n的函数: xnf(n),
数列 xn 的极限为 a, 即: 当自变量 n取正整数
且无限增大 (n)时, 对应的函数值 f (n) 无限 接近数 a.
由此引出函数极限的一般概念: 在自变量 x的某个变化过程中,如果对
应的函数值 f (x) 无限接近于某个确定的数A , 则 A就认作 x在该变化过程中函数 f (x) 的极限.
恒有 |f(x ) A | ,
那么常数 A就叫函数 f (x)当x 时的极限, 记作lim f(x)A或 f(x)A(当 x).
x
单侧极限:
(1)x情形: lim f(x)A ,即 x
0, X0,使当 xX时,恒有 |f(x ) A |.
(2)x 情形: lim f(x)A ,即 x
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0
x0
x0
x
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
恒 0|xf有 (xx)0| A δ时 . A,
A的邻域,
A
x0的空心 邻域,
该邻域内所有点 x A
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
定义 设函数 f (x)在点 x 0 的某一去心领域内有
定义. 若对任意给定的正数(不论它多么小), 总存
在正数 , 使当 0 |xx0|时,函数 f (x)都满足
不等式
|f(x ) A | ,
则常数 A就称为函数 f (x)当 xx0时的极限.
记作
lim f(x)A 或
xx0
f(x)A(当 xx0)
0
x0
x0
x0
x
.
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
0|xx0|δ时 ,
恒f有 (x)A.
A的邻域,
A
A
x0的空心 邻域A ,
该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0 x0 xx00 x 0 x0 x0 x0 x0
即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
0
x0
x0
x0
x
.
函数的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
恒 0|xf有 (xx)0| A δ时 . AAA ,
A的邻域,
A
A
该 x邻0的域内空所心有点邻x域AAA A ,
的纵坐标 f(x)落在
A的 邻域 内，